Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

функций на пространстве Е полунепрерывна снизу. В частности, функция со значениями в R, являющаяся пределом (в смысле простой сходимости) возрастающей последовательности непре­ рывных функций, полунепрерывна снизу.

Теорема 1 позволяет распространить на оболочки полуне­ прерывных функций теорему из п. 2 предыдущего параграфа. Получается следующий результат.

снизу числовых функций на Е, верхняя оболочка которых ко­ нечна. Тогда в любом непустом открытом множестве найдется непустое открытое подмножество, на котором семейство fi равно­ мерно мажорировано.

такое открытое множество О, что f мажорирована (§ 2, п. 2, тео­ рема). То есть существует такое конечное число а, что для лю­

метрическое пространство, (/„) — возрастающая последователь­ ность непрерывных функций на Е. Если для любого х

lim fn(x) < + оо,

П-*оо

то в каждом открытом множестве существует открытое подмно­ жество, на котором (f„) равномерно мажорирована.

§ 4. Полунепрерывные функции — оболочки непрерывных функций. Теорема Урысона

Изложенные выше результаты позволяют думать, что и в слу­ чаях достаточно общих полунепрерывная функция является обо­ лочкой непрерывных функций. В действительности существует общий результат, согласно которому для некоторых классов то­ пологических пространств всякая полунепрерывная снизу функ­ ция есть верхняя оболочка непрерывных функций. Мы ограни­ чимся достаточно частными, но весьма важными практически случаями: именно, случаями, когда Е есть метрическое или ком­ пактное пространство. При этом, когда Е — метрическое про­ странство, полунепрерывная снизу функция является даже пределом возрастающей последовательности непрерывных функ­ ций. Вначале мы изложим идею доказательства на весьма элементарном случае.

в точке X значение f(x) (f предполагается конечной). Эта функ­ ция может быть обозначена через fx, где х играет роль пара­ метра во введенных ранее обозначениях. Имеем, следовательно, fx (у) < f (У) Для любого у <= Е, и fx (х) — f (х) ; ясно, что

sup fx = f.

X

Если мы хотим доказать, что всякая полунепрерывная снизу (соответственно сверху) функция является верхней (соответ­ ственно нижней) оболочкой непрерывных функций, то можно по­ пытаться доказать это сначала для характеристических функций открытых или замкнутых множеств на R, и в частности, для характеристической функции открытого множества, являюще­

то для полунепрерывной сверху характеристической функции ф интервала [а, Ь] (компактного) имеем

Фг„ м == inf

Следует отметить, что в первом случае ф не только верхняя оболочка непрерывных функций, но и предел возрастающей по, следовательности, а во втором случае — не только нижняя обо­ лочка, но и предел убывающей последовательности. Это свой­ ство остается верным для любой полунепрерывной функции на метрическом пространстве.

Другим важным фактом в приведенных двух конструкциях является возможность нахождения для произвольных замкнутых множеств А и В из Е (здесь, например, А = [а -f 1 /п, b — 1 /п\, ß = ] — оо, а] U [Ь, +О0 [) непрерывной функции, принимающей значения из [0, 1], обращающейся в нуль на Л и равной 1 на В. Примечательно, что это свойство служит характеристическим свойством нормальных пространств, частным случаем которых являются компактные и полные метрические пространства. Это свойство составляет содержание теоремы Урысона и позволяет показать, что на компактном пространстве всякая полунепрерыв­ ная функция есть оболочка непрерывных функций (свойство, ко­ торое может быть доказано и в случаях более общих, куда вхо­ дят метрические не обязательно полные пространства, но не входят локально компактные пространства).

Переходим к изложению этих результатов.

1. Полунепрерывные функции на метрическом пространстве.

Во втором разделе мы показали, что если f непрерывна и огра­ ничена на топологическом пространстве Е, то линейные комби­ нации характеристических функций открытых множеств /^1Qö>"Ь00!) позволяют равномерно приблизить /. Нами было сделано замечание, что единственное условие, состоящее в том, что множество /~‘(]«, +оо]) открыто, включает возможность применения этого результата к полунепрерывной функции, и при этом функция, приближающая f с точностью до е, была выбрана не превосходящей /.

Следовательно, если f есть полунепрерывная снизу ограни­ ченная функция на Е, то она является равномерным пределом ступенчатых функций gn; при этом gn < / для любого п, и gn является конечной линейной комбинацией характеристических функций открытых множеств. Таким образом, имеем

f = sup gn.

П

Предположим доказанным тот факт, что для любой харак­ теристической функции ф открытого множества из Е суще­ ствует счетное семейство таких непрерывных функций (Д), что Ф = sup/v, тогда это будет верно и для gn, и будет выполняться равенство

gn = sup f„'k, k

330 ГЛ . V I II . Ф У Н К Ц И И В М Е Т Р И Ч Е С К О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

где fn, к непрерывны. Рассмотрим теперь счетное семейство /г, f

эта функция непрерывна как оболочка конечного числа непре­ рывных функций. Последовательность Fn возрастает. В силу свойств операции sup имеем

gi = sup U, /. f = sup gi = sup fi, j = sup Fn.

Остается, следовательно, доказать, что если А открыто в метрическом пространстве Е, где расстояние обозначено через d, то фА является верхней оболочкой счетного семейства непрерыв­ ных функций.

Но, обратившись к 1-му случаю, изложенному в начале этого параграфа, мы видим, что конструкция, принятая для функций fn, верхней оболочкой которых служит функция ф]а Ь1) годится

и для случая метрического пространства с учетом некоторой спе­ цифики в записи. Пусть fn есть функция, определяемая следую­ щим образом:

fn(x) = 1, если х е Л и если расстояние от х до Е — А будет

>1 /п;

fn (х) = 0, если X е Е — А ;

Эта функция fn может быть также записана в виде

fn(x) = ninf (d(x, Е — Л), 1 fn).

А так как постоянная функция х —►1/п непрерывна и так как не­ прерывна функция x-*d(x, Е — Л) (гл. VII, раздел 1, § 7, п. 1, пример 2), та fn также непрерывна.

Из этого же определения функции /„ получаем, что

ФЛ = sup fn.

П

Отсюда вытекает следующий результат.

Те о р е ма . Для любой числовой функции, полунепрерывной снизу и ограниченной на метрическом пространстве Е, сущест­ вует возрастающая последовательность непрерывных функций, для которых f служит верхней оболочкой.

2. Теорема Урысона. Напомним, что нормальное простран­ ство есть топологическое'пространство, в котором два непересекающихся замкнутых множества Л и Л7 могут быть отделены двумя непересекающимися открытыми множествами О и О'.