Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Т е о р е м а Урысона . Для того чтобы пространство Е было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух непересекающихся замкнутых множеств А и А' существовала непрерывная числовая функция на Е, принимающая свои значе­ ния в интервале [0, 1], равная 0 на А и 1 на А'.

1) Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть пространство Е обладает тем свойством, что если А и А' —два непересекающихся замкнутых множества, то найдется числовая функция f, непрерывная на Е,

рассмотрим два замкнутых множества А и А' нормального про­ странства и построим семейство Ot открытых множеств, снаб­

(двоичные дроби могут быть, очевидно, заменены счетным плот­ ным множеством из [0 , 1 ]).

а) Прежде всего заметим, что если в топологическом про­ странстве два открытых множества О и 0 ' не пересекаются, то О и О', с одной_стороны, и О' и О с другой, не пересекаются (но не множества О и б'). В самом деле, если бы Ö П О' Ф 0 , то нашлась бы точка х, принадлежащая Ö и О'; поэтому х есть точка прикосновения множества О, любая открытая окрестность X, содержащая х, пересекает О, и в частности, О' пересекает О.

б) Заметим, далее, что если Е — нормальное пространство, то для любого замкнутого множества А и любого открытого мно­ жества О, содержащего А, существует открытое множество О', содержащее А, содержащееся в О и такое, что 0' а О, или, ины­ ми словами, Ac z O' c z O' c z O (ср. гл. V, раздел 3, § 3, п. 2, тео­ рема 2 ), или, еще: любая открытая окрестность замкнутого мно­ жества содержит замкнутую окрестность.

Действительно, пусть А — замкнутое множество, О — откры­ тое множество, и Л с; О. Тогда А ' = СО замкнуто и А f| Л '= 0 ,

Л сг О' er Ö' сг О.

в) Пусть теперь в нормальном пространстве Е имеются два

А сг О0 с: О0 с: О, = С Л'.

Поскольку множество О0 замкнуто, а открытое множество 0\ его содержит, то найдется такое открытое множество, которое мы обозначим 0 \ß, что

А сг Оо сг Оо с: О1/2 er О1/2 er Oi = СЛ'.

которые обозначим через О1/4И Ощ. Для них будут выполняться соотношения

А с: О0сг Оо сг Оіц er Oi/4 er 0 1/2 er О1/2 er 0 3ң er 0 3/4 c O i = СЛ'.

Так последовательно строим семейство открытых множеств, наделенных в качестве индексов двоичными дробями и обладаю­

щих тем свойством, что Оа сг Оа>для любых а < а'.

г) Построим теперь для любого действительного t е [О, 1] от­ крытое множество Ои являющееся объединением тех открытых множеств Оа, для которых a ^ t :

U ° *

а

Пусть имеются два действительных числа t < t'. Найдутся такие двоичные дроби а, а', что ( < а < а ' < <', и тогда

Ot er Оа er Öa er Oa- er Ov.

Ho Ot er Oa, и значит, Ot er Ot^

Следовательно, соотношение

Ct Ct' Oa СГ Oa',

справедливое для двоичных дробей, верно и для действительных чисел из интервала [О, 1 ] ц для семейства открытых множеств Ot, д) Пусть f — числовая функция на Е, определенная следую­

щим образом: .

если X <= А', то f(x) — 1;

точка из Е\ покажем, что для любого е > 0 существует такая окрестность точки х0, что если х лежит в этой окрестности, то |/(х) — f(x0) I < е, или, иначе,

f (х0) — е < fix) < f ( x 0) + е.

Оf(jc0)+e и С Of(Xo)_E. Стало быть, мы нашли такое содержащее Хо

в нормальном пространстве и О — содержащее его открытое мно­

окрестность точки х, то найдется непрерывная функция f, равная 1 в точке X и 0 вне V.

3 . П о л у н е п р е р ы в н ы е функции н а н о р м а л ь н о м п р о с т р а н с т в е .

В соответствии с исследованием, проведенным во втором раз­ деле, достаточно показать, что характеристические функции от­ крытых и замкнутых множеств являются оболочками непрерыв­ ных числовых функций.

числовую функцию, принимающую значения в [0, 1], равную 1 на F и 0 вне А. Для семейства всех содержащихся в А замкну­ тых множеств F имеем

Фл = sup fP.

Fez А

Если А замкнуто, то открытое Е содержит Л;-_значит, най­ дется такое открытое множество О, что Л с О с Ö. Множество А ' = СО замкнуто; пусть fo— непрерывная числовая функция, принимающая значения в [0, 1], равная 0 на А' = СО и 1 на Л. Каково бы ни было х ф. Л, можно отделить х и Л непересекающимися открытыми множествами, а значит, найти открытое мно­ жество, содержащее Л и не содержащее х. Для семейства всех открытых множеств О, содержащих Л, имеем

Фл = inf f0.

0 = А

Отсюда получаем результат.

Те о р е ма . В нормальном пространстве характеристическая функция открытого (соответственно замкнутого) множества яв­ ляется верхней (соответственно нижней) оболочкой непрерыв­ ных функций.

Ч а с т н ы е случаи. 1) Теорема о том, что полунепрерыв­ ные функции являются оболочками непрерывных функций, при­ менима, следовательно, к компактному пространству.

2) Легко видеть, что если предположить, что пространство Е

нормально и что любое замкнутое множество является пересе­ чением счетного числа открытых множеств (или любое откры­ тое— счетным объединением замкнутых), то для открытого мно­ жества Л функция фа будет верхней оболочкой последователь­ ности непрерывных функций; т. е. это тот же результат, что и для метрического пространства (кроме утверждения о возрастании последовательности).

Г Л А В А fX

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

В главе VII были представлены различные типы векторных пространств, наделенных топологией; эта топология определя­ лась при помощи расстояния или полурасстояния. В настоящей главе будут изложены некоторые свойства этих пространств, и в частности, свойства линейных отображений одного метриче­ ского или нормированного векторного пространства в другое.

Свойства, о которых будет идти речь, в большинстве своем были открыты С. Банахом; наиболее важные теоремы носят его имя, в соединении, иногда, с именами Хана или Штейнгауза. Однако в построении всей теории принимали участие многие математики, и в частности, Ф. Рисе.

Как сами результаты, так и их многочисленные приложения к различным областям (изучение некоторых основных функцио­ нальных пространств, линейные уравнения, уравнения с част­ ными производными, интегральные уравнения и т. д.) были со­ браны воедино Банахом в его работе «Теория линейных опера­ торов» (Théorie des Operations linéaires), опубликованной в 1932 г.

линейное отображение Е на F, то образ окрестности о в Е при отображении / есть окрестность О в F; отсюда вытекает тот замечательный факт, что если отображение / непрерывно и взаимно однозначно, то оно взаимно непрерывно, или, иными словами, отображение f является изоморфизмом Е на F и для алгебраических структур, и для топологических.

Теоремы Банаха.

Т е о р е м а 1. Пусть Е, F — полные метрические действитель­ ные векторные пространства и f — непрерывное линейное отобра­ жение Е на F. Образом в F при отображении f любой окрестно­ сти элемента о ^ Е является окрестность элемента О е F,