Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

336 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Речь идет о том, чтобы показать, что любой открытый шар, центром которого служит нейтральный элемент в Е, имеет своим образом при отображении f множество в F, содержащее откры­ тый шар, центром которого служит нейтральный элемент в F.

Для доказательства этой теоремы мы примем следующие обо­ значения: элементы из Е будем обозначать через х, нейтральный элемент через о, открытый шар с центром х — через Ь(х,г), где

Напомним некоторые определения и простейшие свойства метрического векторного пространства.

Расстояние d инвариантно относительно переноса, т. е.

d (х, у) = d (х + г, у + г)

для любых X, у, г. В частности,

d {х, o) — d(x — x, — х) = d (о, — x) = d {— х, о);

стало быть, если Ь(о,г) есть шар с центром о и радиусом г и если X е Ь(о,г), то - г е і ( о , г ) . Множество точек x-j-a, где X <= Ь{о,г), есть шар b {а, г), ибо

d(x, о) — d(x + а, а).

Если А и А' — подмножества метрического векторного про­ странства и если точки х, х' лежат соответственно внутри А и А',

d {х + х', хо + Хо) < г -f г'.

'Хотя расстояние, вообще говоря, не инвариантно относитель­ но гомотетии с центром' о, но если А открыто (соответственно замкнуто), то множество аА точек вида ах, где х пробегает А при данном а е R, открыто (соответственно замкнуто) при

морфизм пространства на себя. В частности, если Хо— внутрен­ няя точка множества А, то —х0 есть внутренняя точка множе­ ства —Л.

Прежде всего мы докажем, что для любого открытого шара Ь(о,г) в Е замыкание его образа в F есть окрестность элемента О, т. е. содержит шар В (О, р), где г Ф 0 и р Ф 0.

f (nb (о, rl2 )) = nf (b(o, r/2 )).

Пусть x" — произвольная точка из Е; поскольку

то для достаточно больших п имеем

х"/п = х<=Ь(о, г/2 );

значит,

x "^n b (o , г/2 );

следовательно,

Е c:\Jnb (о, г/2);

П

а так как, очевидно,

\Jnb(o, г/2) с= Е,

П

ТО

Е = (J nb (о, г/2).

П

В силу того, что / является отображением Е на F,

F = \Jnf{b(o, г/2)).

П

Но F, будучи полным метрическим пространством, обладает свойством Бэра (гл. VII, раздел 1, § 5). Следовательно, одно из

множеств nf(b(o,r/2 )) имеет внутреннюю точку, а значит, и за­

мыкание f(b(o,r/2)) множества f(b(o,r/2 )) имеет внутреннюю точку у0.

Отображение / линейно, а шар Ь(о,г/2) симметричен относи­ тельно о; поэтому

- f ( b ( o , r/2 )) = f ( - b ( o , r/2 )) = f(b(o, r/2 )),

откуда следует

— f (b (о, r/2 )) = f (b (o, r/2 )).

338 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Стало быть, если у0 — внутренняя точка множества f(b(o,r/2)), то —уо тоже будет внутренней точкой множества —f(b(o,r/2)),

и точка О = г/0 + (— Уо) будет внутренней для множества

f(b(o, г1 2 )) + f(b(o, г1 2 )).

Но множество _________ _________

f(b(o, r/2 )) + f(b(o, г1 2 ))

содержится в замыкании множества

f(b(o, r/2 )) + f(b(o, гІ2 )),

которое в свою очередь содержится в замыкании множества

отображении f (.а не только в замыкании этого образа) откры­ того шара с центром *о, но с радиусом, превосходящим г, на­

димости рі на меньшие числа, можно предположить, что Нтр* = = 0. Утверждение, что В({(х),рі) содержится в замыкании мно­

и значит, стремится к нулю. Таким образом, последовательность (хп) есть последовательность Коши, и в силу полноты простран­ ства Е сходится к некоторой точке х е Е. Но поскольку рас­

стояние от хп до Хо меньше, чем

p- і

г + И+^2+ ••• +/■„_, = г + г 2 1/2',

1

то расстояние от х до х0 будет ^ г -f- г < Зг.

Следовательно, предел х последовательности хп принадлежит открытому шару Ь(х0, Зг). Но, с другой стороны, / есть непрерыв­ ное линейное отображение Е на F; значит, f(xn) имеет своим

ß (/(*o), p)czf(b{xо, Зг)).

Приведем следствия из этой теоремы.

Т е о р е м а 2. Если f — взаимно однозначное непрерывное ли­ нейное отображение одного полного метрического действитель­ ного векторного пространства Е в другое полное метрическое

действительное векторное пространство F, то / взаимно непре­ рывно. н