Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 180

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3 4 0

ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

 

Действительно, согласно теореме 1 всякая окрестность точки

X переводится отображением f

в окрестность точки f(x).

 

Можно также утверждать,

что если отображение f линейно,

взаимно однозначно и непрерывно, то f~! обладает теми же свой­ ствами, или, еще, что f осуществляет изоморфизм между алге­ браическими и топологическими структурами пространств Е и F. Можно также, в более образном выражении, сказать, что линей­ ное взаимно однозначное непрерывное отображение / отождеств­ ляет пространства Е и F.

Другим важным фактом является следующий. Пусть Е — дей­ ствительное векторное пространство; предположим, что Е может быть наделено двумя расстояниями d и б, которые превращают его в полное метрическое пространство. Тогда на Е определяются две топологии; мы покажем, что если одна из топологий сильнее другой, то они совпадают; иными словами, если, например, лю­ бая сходящаяся в (Е, d) последовательность сходится к тому же пределу в (Е, б), то верно и обратное.

В самом деле, достаточно, обозначив через F пространство (Е, 6), рассмотреть линейное отображение f пространства (E,d) на (Е, б), имеющее вид f(x) = x, т. е. тождественное отображе­ ние, которое взаимно однозначно и непрерывно, а стало быть, в силу теоремы 2 и взаимно непрерывно. Отсюда получаем сле­ дующую теорему.

Т е о р е м а 3. Если два расстояния определяют на одном дей­ ствительном векторном пространстве Е две топологии, относи­ тельно которых Е является полным метрическим векторным про­ странством, и если одна из топологий сильнее другой, то они сов­ падают.

Наконец, можно указать необходимое и достаточное условие того, чтобы линейное отображение одного полного метрического векторного пространства в другое было непрерывно. Это состав­ ляет содержание следующей теоремы.

Т е о р е м а 4. Пусть Е, F — полные метрические действи­ тельные векторные пространства и f — линейное отображение Е в F. Для того чтобы f было непрерывно, необходимо и достаточ­ но, чтобы для любой сходящейся последовательности (хп) в Е, для которой последовательность (f(xn)) сходится в F, выполня­ лось равенство limf(xn) = f(\imxn).

Необходимость очевидна.

Обратно, предположим, что отображение f линейно и что для любой сходящейся в Е последовательности (хп), для которой последовательность f(xn) сходится в F, справедливо равенство:

limf(xn) = f(Hmx„). Обозначим через d

расстояние на Е, а че­

рез б — расстояние на F. Если х е Е, х' е

Е, у = f(x), у ' = f(x'),

то мы полагаем

 

D(x, x') = d(x, x')-j-ö(y, y').

1. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

341

Тем самым определено расстояние на Е. В самом деле, если

X = х', то f (х) = f(x'), и значит,

d {х, х') — Ь(у, у') = 0 = D (х, х').

Обратно, если D (х, х') = 0, то

d (х, х') = б (у, у') — 0 и d {х, / ) = 0 4 ^ = х'.

Ясно, что D симметрично, удовлетворяет неравенству треуголь­ ника и превращает Е в метрическое векторное пространство.

Пусть теперь (хп) — последовательность Коши в (E,D ). Имеем

lim D (Хр, xq) = 0;

р - Х » ,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

lim

d (Хр,

Хд) — 0,

 

lim 6(ур, уд) =

0.

р -> о о ,

ОО

 

 

 

р - > ° ° , ? -> 0 0

 

 

Так как (Е, d)

и (F, 6) — полные пространства, то в Я найдется

точка х0, к которой сходится хп, а в F — точка уо, к которой схо­

дится уп = f(xn). Но,

по условию, уо — f(xо). Значит,

 

 

 

 

lim D (хп, х0) = 0.

 

 

 

 

 

П -> оо

 

 

 

 

Следовательно, (E,D )

 

есть полное метрическое векторное про­

странство, так же как и (E ,d ).

Но D (х, x') ^

d (х, х') , и поэтому

всякая сходящаяся

в

(E,D)

последовательность

сходится в

(E,d). Таким образом,

по теореме 3 расстояния D a d опреде­

ляют одну и ту же топологию. Отсюда следует, что если

lim d(xn, Хо) = 0,

то

lim D(xn, x0) = 0,

 

П -> со

 

 

 

ft -> oo

 

 

а значит,

lim 6(f(xn),

f(x:0))==0,

 

 

 

 

 

 

ТЬ

со

 

 

 

 

и стало быть, отображение f непрерывно.

4. Рассмотрим то­

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а

т е о р е м ы

пологическое

пространство — произведение

Я X Я

Напомним,

что его топология как метрического пространства может быть

определена

следующим образом. Для двух точек 1 — (х,у),

= (х',у')

из Е X F полагаем

 

di (І> V) — d{x, х') + б(г/, y').

Обозначим через Г график отображения f, т. е. множество таких точек \ = {х,у) из Е X F, что х<=Е, у = / (х) е F.

Если отображение / непрерывно, то для любой последова­ тельности (хп), сходящейся к х в Я, последовательность /(х,Д сходится к f(x) в F. Если точка 1 = (х,у) из E X F служит

342

ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

пределом

для точек

= (хп, f(xn)) графика

Г в Ey, F, т. е.

d\(ln,%)

стремится к 0,

то хп стремится к х и f(xn)

стремится

к у, то, в силу непрерывности отображения f

имеем

y = f(x),

и стало быть, I е Г. Значит, график Г замкнут.

 

 

Обратно, предположим, что график Г замкнут. Тогда всякая

сходящаяся (в Е X F)

последовательность (£п)

точек из Г схо­

дится к точке из Г. Рассмотрение всех сходящихся последова­

тельностей

(|п) точек графика Г сводится к рассмотрению всех

сходящихся

последовательностей

(хп) из Е, для которых схо­

дятся последовательности — образы f(xn).

 

Если график Г замкнут, то это означает, что для любой по­

следовательности

(хп) из Е, для

которой значения хп сходятся

в Е, а значения

f{xn) сходятся

в F, справедливо

равенство

\m f(Xn) = f ( l i m x n), из которого в силу теоремы 4

заключаем,

что отображение f непрерывно.

Отсюда получаем новую формулировку теоремы 4.

Т е о р е м а 4. Пусть Е, F — полные метрические действитель­ ные векторные пространства и f — линейное отображение Е в F. Для того чтобы f было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы его график в Е X F был замкнут.

Р А З Д Е Л 2

ПОЛУНОРМИРОВАННЫЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Полунормированные пространства являются более специаль­ ными, чем полуметрические пространства. Свойство полунормы быть однородной относительно чисел поля влечет для любой точки существование базы выпуклых окрестностей. Это еще один случай топологии, определяемой семейством полунорм.

Здесь мы ограничимся случаем одной полунормы. Важную роль играет теорема Хана — Банаха: речь идет о продолжении на полунормированное векторное пространство линейной формы, которая предполагается известной только на подпространстве. Доказательство этой теоремы опирается тем или иным способом на аксиому выбора. Мы не будем здесь касаться тех трудностей, которые возникают по этому поводу, и будем предполагать, что всякое множество может быть вполне упорядочено.

Приводимое нами доказательство принадлежит Банаху.

§1. Теорема Хана — Банаха

Те о р е м а . Пусть ,Е — векторное пространство, ѵ — полунор­ ма на Е, Е' — подпространство пространства Е и ср — линейная

форма,

определенная на

подпространстве Е' и такая, что

IФ (х) I ^

ѵ (х) для любого

Тогда существует линейная

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

343

форма f на Е, совпадающая с ф на Е' и такая, что |/ (лг) | ^

ѵ(х)

для любого X е Е.

Идея доказательства состоит в продолжении ф на векторное пространство (подпространство пространства Е), порожденное подпространством Е' и некоторой точкой Хо е Е — Е'. Если до­ пустить возможность полного упорядочения элементов из Е — Е', то ф продолжается на все пространство Е.

Пусть Е' — подпространство пространства Е (предполагаемое

отличным от Е), Хо— точка из Е — Е',

и Е'о— пространство, по­

рожденное Е' и Хо. Точка у ^ Е о

записывается в виде у=х-\-ахо,

где д: е £ ', a ^ R .

 

 

Если существует линейная форма ф0 на Е'0, совпадающая с ф

на Е \ то для нее должно выполняться равенство

Фо (У) = ФО(Х) + ССфо (х0),

а так как ф0(х) = ф(х) для любого х е

Е', то

Фо (У) = Ф (*) + аФо (х).

Следовательно, продолженная линейная форма ф0 опреде­

ляется выражением

 

 

Фо (У) = Ф (х) + а|о

для

у — X + ах0,

где g0— заданное действительное число.

Любое выражение вида <р0(у) =

ф(х) + ago определяет линей­

ную форму на

Ео’; в самом

деле,

если

у ' = х ' + а'х0е

Е', то

сумме у + у' соответствует

 

 

 

 

Ф (х + х') + (а +

а') £о — ф(X) +

а |0 +

ф(x') + a'g0 = фо (у) +

фо (у'),

и

Фо (ßy) = Ф(ß*) + ßaio =

Рфо (У)-

 

 

 

Кроме того,

если взять а = 0, то у =

х, и ф0(у) = ф(х); зна­

чит, сужёние фо на Е' совпадает с ф.

Остается выяснить, можно ли выбрать число go так, чтобы для любого у ^ Е ' 0 было фо ( у ) ^ ѵ ( у ) .

Чтобы неравенство фо(*/)^ѵ(г/) выполнялось для любого

у^Е'о, достаточно, чтобы

Ф(х) + ag0 < ѵ(х + ах0)

для любого х е £ и любого

или, иначе:

ag0 <

ѵ (х +

ах0) — ф(х).

При а = 0 последнее неравенство верно для любого х е Е',

ибо это есть не что иное,

как неравенство ф (х )^ ѵ (х ), которое

верно по условрю.

 

 

344 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

При

а >

О

оно в силу однородности ѵ и

ср

записывается

в виде

 

 

іо < — Ф(х/а) + V(xQ+ х/а).

 

 

 

 

 

 

 

При

а <

0 оно точно так же

записывается

в

виде

 

 

 

— ф (х/а) — ѵ ( — х0 — х/а) < | 0.

 

 

Теперь достаточно доказать, что числа т, М, определяемые

условиями

 

 

 

 

 

т — sup (— ф(х) — V(— ,ѵ0 — х))\

inf (— ф(х) + V(х0+ х)) = М,

і е

£ '

 

 

X е В'

 

 

конечны, и выбрать т ^ іо ^ М.

 

то

 

Но если х'

и х " — произвольные точки из E',

 

Ф (х") — ф (x') =

ф (х" — х ')^.ѵ (х" — х ') ^ ѵ (х" + х0) -+- V (— ха — х'),

откуда

— ф (x') — V (— Х 0 — х') < — Ф (х") + V (х" + АГ0),

и это верно при любых x', х" из Е'\ если попеременно зафикси­ ровать х' и х", то получим

sup

(— ф ( л / ) — ѵ(— ха — х ') ) ^

inf

(—

ф л

ѵ(х" + х0)).

х'^Е'

х"еЕ'

( ;,/) +

§2. Непрерывные линейные отображения

1.Непрерывность. Рассмотрим два нормированных векторных пространства над одним и тем же нормированным полем К■Мо­ жно предположить, что К = R, но, как мы увидим, это предпо­ ложение не будет играть никакой роли.

Пусть Е и F — такие пространства и пусть f —линейное ото­

бражение £ в F;

если х е £ ,

то образ этого элемента в F обо­

значается через

f(x). Норму

элементов х ^ Е и f ( x ) ^ F мы

будем обозначать одним и тем же символом; здесь не может возникнуть никакой путаницы, поскольку в теореме, которая последует ниже, единственными элементами из F будут эле­ менты вида f(x).

Эта теорема отличается от теоремы Банаха о непрерывности линейного отображения одного полного метрического векторного пространства в другое, ибо здесь речь идет о нормированных -пространствах (а значит, более специальных, чем метрические пространства), но не обязательно полных.

Т е о р е м а 1. Пусть Е, F — нормированные векторные про­ странства над одним и тем же нормированным полем К и f — линейное отображение Е в F. Для того чтобы отображение f

Смотрите также файлы