Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
р(г/п)

2. П О С Т Р О Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А Я

387

Точно так же распространяется отношение

f = Hm fn-

п - В . п ^ о о

Это означает, что последовательность fn функций со значениями в R сходится всюду, кроме, быть может, пренебрежимого мно­ жества, к функции /. Иными словами, существует такое пренебрежимое, быть может, пустое, множество е, что если t ф е, то

/( /) = lim /„(/).

П->оо

Этот вид сходимости называется также простой сходимостью почти всюду.

Если задана только последовательность функций fn, относи­ тельно которой известно, что fn(0 сходится в R почти всюду, то, рассматривая функцию f, равную почти всюду

lim f„(t),

получаем

Следовательно, для любой функции g, равной почти всюду функ ции f, будет выполняться:

g = lim fn.

“• “• П->со

Иногда говорят, что предел f определен с точностью до прене­ брежимого множества. Это бывает более удобно, чем отношения эквивалентности (которое нами тоже будет использоваться):

Еще раз отметим, что, по определению, монотонная последо­

вательность Коши сходится почти всюду.

Аксиома

3.

Новая форма аксиомы (Д).

П р е д л о ж е н и е .

(&) эквивалентна аксиоме-.

последовательности

(хп)

{&')

Д л я любой положительной

из Е, убывающей и сходящейся почти всюду к нулю, р(хп) схо­

дится к нулю.

 

Очевидно, что {&')=%> {Sf).

Пусть (уп) — убывающая после­

Покажем, что

довательность, которая сходится всюду, кроме пренебрежимого множества е. Предположим, что аксиома (Д) верна и покажем, что стремится к нулю.

Всамом деле, по определению множества е, существует е\ ш

эе и такая возрастающая последовательность Коши (г„), что

13*

388

 

ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

 

 

p(z„)

ограничена,

z„(0 ~ 1'+ ° ° . если t ^ e u и zn (t) сходится в R,

если у е ei. Рассматривая

в случае необходимости zn — z&, мо­

жем предположить, что zn

0.

Следовательно. —zn(t) —*—о о

на е и сходится к значению ^ 0 ,

если t

у п — zn. Если

t е еь то

Введем теперь

последовательность

г/п(0 — zn {t) —1

о°; если

^

к

то yn(t) — zn(t) имеет предел

sg:0,

ибо уп (і)

стремится

нулю,

а —z „ ( /) ^ 0 .

Значит,

(УпЬ)

— zn(t))+ сходится

к

0

для любого

t и убывает как

Уп — Zn. В силу аксиомы

{%), р((г/„— Zn)+)

стремится к нулю.

Итак, записываем:

 

 

 

 

 

 

Р (Уп) = Р (у,г — Zn) + р (z„) < р ((г/„ — zn)+) + р (z„).

Так как уп убывает и р(г/п) ^ 0 (а значит, ограничена), то (уп) есть последовательность Коши, р (уп) имеет конечный пре­ дел, и

0 < lim р (уп) < lim р (z„).

Теперь достаточно положить а = 1ітр(2„)

и заменить zn

на егп/а,

где е >

0 — заданное число, чтобы получить неравен­

ство 1іш(р(г/„)) ^

е; тем самым доказано, что

(Зг)ф (З г').

4.

Свойство последовательностей Коши относительно просто

сходимости почти всюду. П р е д л о ж е н и е . Из любой последо­ вательности Коши в Е можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Из любой последовательности Коши в Е, эквивалентной нулю (г. е. такой, что полунормы ее эле­ ментов сходятся к нулю), можно выбрать подпоследователь­ ность, сходящуюся почти всюду к нулю.

Пусть Е — пространство Рисса числовых функций, определен­

ных на

множестве А, р — положительная мера на Е. И пусть

Hjtll = р (|х |) для любого х е £ .

Если

(хп) — последовательность Коши, то ПтЦхр — xq\\ = 0.

Пусть бh— последовательность таких положительных действи­

тельных чисел, что 2 еА< + °°> и Ph — последовательность та­ ких бесконечно возрастающих целых чисел, что||лгРД;+І — xPk\< e k

(гл. VII, раздел 2, § 1, п. 4)).

Пусть, далее,

V

= 2 I xpk+1— Xpk |;

последовательность (yv) возрастает. Согласно свойствам р имеем

* V V

II УѴІІ<: 2 I X Pk +l ~ X Pk II < 2 ek>

2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА X

389

 

значит, (уѵ) ограничена. Таким образом, (уѵ) есть монотонная последовательность Коши, сходящаяся почти всюду. Следова­ тельно, ряд

2 (x p k+1( t ) - x Pk(0)

абсолютно сходится почти всюду, И Хрк (t) сходится почти всюду.

Если

lim lUp f|= 0,

р-> оо

 

то будет также выполняться неравенство 2 || xPk|| <

-f- оо, откуда

следует сходимость почти всюду ряда 2 | xPk (t) |

и сходимость

почти всюду к нулю последовательности xPk(t). Тем самым до­ казана вторая часть предложения.

§ 2. Построение пространств J S и L

1. Определение пространстваgjß и пространства L и отобра­

жение È на L.

Определения. Обозначим через 9? множество всех функций, определенных на А, принимающих значения в R и являющихся почти всюду пределами последовательностей Коши в Е.

Обозначим через 3?, или через L, факторпространство про­ странства SP по отношению эквивалентности f — g между эле-

П . В .

ментами пространства &.

Класс эквивалентности функции / е і ? будет обозначаться /. Пусть / е і ? и пусть (xn)— последовательность функций из Е, сходящаяся почти всюду к f и являющаяся последовательностью

Коши в Е. Можно предположить, что

и что ряд

 

2 іі*» + і — Хп \і<. + со

2 и

„ + , - д г „ |

сходится почти всюду (см. предыду­

 

 

щий параграф, п. 4). Согласно свойствам абсолютно сходящихся

рядов,

ряды

 

I

2 - (-Х/і-и

 

с

 

2 ( * п + ,

х п)

Х п )

 

 

 

 

 

 

положительными членами сходятся почти всюду.

 

Функции

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уѵ ===і Х \ 1Н"" .2 І Xfl + 1 Хц L

 

 

 

 

V

 

 

 

 

Фѵ = Х? +

S

(хп+і — Хп)+,

*■

 

 

 

V

 

 

...................... -ф ѵ =

(Хп+ 1 — Х п Г

390 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

образуют возрастающие последовательности, а поскольку <рѵ ^ ^ Уѵ, tv ^ Уѵ, то это будут монотонные последовательности

Коши. Последовательность (срѵ)

сходится почти всюду к fi е S ,

(tv) — к /2 «=

и

 

 

 

f ‘ п т г . х * ^

(х п + і ~ х п ) + >

 

оо

 

 

 

f2 пТ^. Х~

+І ~ Х„) >

 

п. в.

 

 

Следовательно, всякая функция из S

есть разность функций,

являющихся

пределами возрастающих

последовательностей

функций из Е.

почти всюду возрастающей по­

Обратно,

пусть f\ — предел

следовательности Коши функций хп ^ Е ,

f2— предел почти всю­

ду такой же последовательности функций уп. Тогда последова­ тельность хп — Уп сходится почти всюду к fii — f2, а так как

\ Хр Ур

(Хд

Уд) I ==

 

 

 

 

 

ТО

 

I (Хр

Хд)

(Ур

‘ Уд) I

I Хр “ “ Хд I “1 I Ур

Уд ],

Хр— Ур — (Хд — Уд) К

 

Хр — Хд I) + Ц (I Ур — Уд |),

 

И (I

Ц (I

 

чем доказано, что (хп — уп)

есть последовательность Коши в Е

и следовательно, /у —- f2 е

S ’.

 

 

 

 

Итак, получено характеристическое свойство элементов из S ,

выражаемое следующей теоремой.

 

принадлежала S ,

не­

Т ео р ем а .

Для того чтобы функция f

обходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде разности двух функций из S , являющихся почти всюду преде­ лами возрастающих последовательностей Коши элементов из Е.

Важность этой теоремы станет ясна в дальнейшем: в боль­ шинстве случаев свойство функции f е S будет получено путем доказательства того, что оно верно для любого х ^ Е и для пре­ дела монотонной последовательности Коши функций из Е.

Теперь мы рассмотрим пополнение Ё пространства Е и опре­

делим отображение ё на SE. Читатель будет

(по мере надобно­

сти) отсылаться к главе VII, раздел 2, § 1.

сходящаяся

почти

Если (Хп) — последовательность

Коши,

всюду к f е і ? , то поскольку

(1х„|) — тоже последовательность

‘Коши, (|хп|) определяет |f|

и сходится к \f\

почти всюду. Сле­

довательно, f <= S

^ S .

Но,

кроме того, х+ есть

после­

довательность Коши, сходящаяся почти всюду к f+, и, точно так же, Хп есть последовательность Коши, сходящаяся почти

всюду к

Смотрите также файлы