Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Пусть X — элемент из Е; это есть множество последователь­ ностей Коши из Е, эквивалентных одной из них. Выберем неко­

торую последовательность Коши (хп) е і ; выделим из нее под­ последовательность (хпк), сходящуюся почти всюду (предложе­

ние из п. 4, § 1) и, значит, определяющую некоторый элемент f s 2 .

Пусть, далее, имеется другая последовательность ( 4 ) е 1 сходящаяся почти всюду; и пусть f ' — элемент из 2 , который она определяет. Так как (хП/і) и (хЬ) эквивалентны, или

(Xnk — x'itj эквивалентна нулю, то можно выделить подпоследо­ вательность (xnk — 4 Ѵ), сходящуюся почти всюду к нулю (там же). Но X и x'k уже сходятся к f и f' почти всюду; поэтому

f ~ шf'. Иными словами, / и f' е f — одному и тому же элементу

из S ’.

Таким образом, каждому X е Е ^соответствует некоторое/е

Более того, можно продолжить на 2 положительную линей­ ную форму р. Действительно, если (хп) ~ последовательность Коши, сходящаяся почти всюду к f, то р(х„) имеет конечный предел, поскольку

если (хп) и (x') принадлежат одному и тому же X из Е, то р(х') имеет конечный предел, равно как и и(х„), и р(х') —р(л:п) стремится к нулю; стало быть, р(х') имеет тот же предел, что и р (хп). Следовательно, предел последовательности р (х„) зависит лишь от класса X, и мы можем записать

p(f) = lim р(х„).

Таким образом, 2 тоже является группой Рисса, и тогда р

продолжается до линейной формы на 2 .

Теперь речь идет о том, чтобы выяснить, можно ли отожде­ ствить Е и 2 . Определенное выше отображение есть отображе­ ние È на 2 , сохраняющее отношения сложения и порядка.

следовательно,

== inf (УI, /ij, • • • > Ут, пт)

тоже стремится к нулю почти всюду.

Но тогда последовательность (zm) убывает, и в силу аксиомы

Итак, lim ц (хп) — 0.

Мы придадим этой фундаментальной теореме другой вид, ко­ торый сделает более выпуклым отношение между двумя совер­ шенно различными понятиями предела. Пусть (Е, ZTи) — про­ странство Рисса Е, наделенное топологией полунормы, опреде­ ленной посредством р. Не существует никакой естественной топологии в множестве измеримых функций, в которой сходи­ мость последовательностей была бы равносильна сходимости почти всюду; однако можно рассматривать сходимость почти всюду как сходимость в некотором индуктивном пределе топо­ логических векторных пространств.

В теореме об интегрировании рассматриваются последова­ тельности, которые будут последовательностями Коши одновре­ менно в (Е, £Гц) и в смысле простой сходимости почти всюду. Итак, мы придадим ей следующую форму.

Т е о р е м а об и н т е г р и р о в а н и и . Пусть Е — простран­ ство Рисса числовых функций, ^ — топология, определенная посредством положительной меры р. Во множестве последова­ тельностей, являющихся последовательностями Коши, одно­ временно в (Е, £Гд) и относительно сходимости почти всюду, сходимость последовательности к нулю почти всюду равносильна сходимости последовательности к нулю в (Е,ёГф).

З а м е ч а н и я . 1) Ясно, что теорема верна, если предполо­ жить только, что Е есть группа Рисса.

2)Пространство 9? зависит от А, Е, р.

3)В разделе 3 мы покажем, что продолженная положитель­ ная линейная форма р снова является мерой на 3?, т. е. удов­

летворяет аксиоме (9)-, после этого станут оправданными вы­

из Е, то это будет верно и для g.

Говорят также: произвольное изменение значений в R инте­ грируемой функции в точках множества А, образующих пренебрежимое множество, снова приводит к интегрируемой функции,

иинтеграл, равный lim р(хп), не изменяется.

Вчастности, всякая функция, равная нулю почти всюду, ин­ тегрируема, и ее интеграл равен нулю. Это верно и для функции,

равной нулю почти всюду и принимающей в остальных точках значения ±°о.

Определение. Пренебрежимой функцией называется любая Функция, равная нулю почти всюду.

Однако, если |і(/) == 0, то, вообще говоря, не будет

сходящаяся почти всюду. По теореме от интегрировании, она сходится почти всюду к нулю, и / =_0. Отсюда получаем