Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

396

ГЛ. X.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

П р е д л о ж е н и е .

Для

того чтобы интегрируемая положи­

тельная почти всюду функция была пренебрежима, необходимо и достаточно, чтобы ее интеграл был равен нулю.

Отсюда очевидным образом следует, что

и(І/() = о=#/ = о.

§ 2. Последовательности Коши в <5?

Чтобы распространить результаты предыдущего раздела на последовательности Коши элементов из & (а не только элемен­ тов из Е), необходимо, в частности, выяснить, должно ли быть изменено понятие пренебрежимого множества. Иными словами, будет ли достаточно того понятия пренебрежимого множества, которое определено при помощи последовательностей Коши эле­ ментов из Е, когда будет идти речь о последовательностях элементов из SB, без того, чтобы возникла необходимость об­ ращения к монотонным последовательностям Коши в 2Е? От­ вет утвердителен. Результат дает первое из приводимых ниже предложений.

П р е д л о ж е н и е 1. Из любой последовательности Коши в 3? можно выбрать подпоследовательность, мажорированную почти всюду (т. е. всюду, кроме, быть может, пренебрежимого множе­ ства, определяемого монотонными последовательностями Коши элементов из Е).

Пусть еп — последовательность положительных чисел, удов­

летворяющих условию 2 б л < + 00• Выделим из последователь­ ности Коши в S? такую подпоследовательность (f„), что

II fn+i — fn| | < е Л,

Каждой функции fn поставим в соответствие такую последо­ вательность (х„, fc)ft<=jv Функций из Е, что

II fn— хП' k II < е„/2k

для любого k, и рассмотрим

последовательность (у „) функций

из Е следующего вида:

 

Занумеруем функции хц, j

для і ^ п, / ^ п следующим об­

разом:

 

и запишем

 

II Уп— х1, 1 l l ^ l lх1,2— х1, 1 II + II * 1 ,3 — Х П 2 II + • • • + II х 2 , 1— х\,пII І " • • •

3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА Я

397

 

(гл. VII,

раздел 2, § 1, пп. 3 и 4). Имеем

 

 

 

 

II х т, к—

ft

I K

II X m , k — fm II +

II fm — Xm , k + l I K em (1/2* +

l/2*+I),

 

x m + 1, 1 —* «X, m<+„i II ^

II X m , n — f m

II

+

 

fm

 

f m + 1II +

II fm +

— X m + Il , ||

II

 

 

 

 

 

II

 

—

^

em/2" +l

 

em +

e/n+l/2-

Отсюда

l a . -

* l l l | | < 3 2 e fcf

 

и

 

II У п 11=^11 ^ i,

1 11+ 3 2

e fe.

 

 

l

 

 

 

Итак, (yn) есть возрастающая последовательность функций из Е; а поскольку \\уп\\ ограничена, то (у„) есть и монотонная последовательность Коши, значит, сходится почти всюду к неко­

торой функции F е 2 ,

и

 

 

 

 

 

У п

<

 

 

 

 

 

п. В .

хг-, ,• ^ Уп, следовательно, для

Но для i sg: я

и / ^

п имеем

k

п имеем

 

 

 

 

 

 

 

x k, п ^

У п

Е •

Если зафиксировать k,

то

 

 

 

 

 

X k ,

п

F

 

 

 

 

п. в.

 

а так как (хи,п)п сходится почти всюду к /*, то

 

 

 

f k < P ,

что и требовалось доказать.

 

 

Сл е д с т в и е .

Всякая монотонная последовательность Коши

из S

сходится почти всюду.

 

 

В самом деле

(для определенности предположим, что после­

довательность возрастает), из нее можно выделить мажориро­ ванную почти всюду последовательность; а так как последова­ тельность возрастает, то она сходится почти всюду.

Из этого предложения мы получаем распространение на по­ следовательности Коши из S результатов, полученных в преды­ дущем разделе для последовательностей Коши из Е.

П р е д л о ж е н и е 2. Из любой последовательности Коши в S можно выделить сходящуюся почти всюду подпоследователь­ ность. Из любой эквивалентной нулю последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к 0.

Доказательство ничем не отличается от доказательства предложения из § 1 (п. 4), раздел 2. Наконец, можно уточнить следующий пункт: если (fn) — последовательность Коши в S ’,

то в силу полноты

пространства

S ’ существует такая

функция

f е S ’, что ||/ п — fll

стремится к

нулю. Стало быть,

применяя

398

 

 

ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

(f„ — f), заключаем,

вторую часть предыдущего предложения к

что существует подпоследовательность последовательности

(/п),

сходящаяся почти всюду к f.

 

 

 

Эти результаты подытоживаются следующей теоремой.

Су­

Те о р е ма . Пусть

(fn) — последовательность Коши в 3 .

ществует такая функция f е 3 ,

что

 

 

 

 

 

üm ||/ „ - f || = 0,

 

 

 

 

 

П - » о о

 

 

 

где Ц/Il = p(|f|),

и такая подпоследовательность (f„A) последо­

вательности (fn),

что:

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

а)

2|[/nft+1— fnk I

есть сходящийся ряд-,

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

б)

S (fns+I(0 — fnk (t)) есть

абсолютно

сходящийся почти

всюду ряд, и его сумма равна почти всюду функции f.

§ 3. Интегрирование последовательности функций из Jg

Одним из важнейших вопросов является вопрос о так назы­ ваемом переходе к пределу. Если (fn) — последовательность функций из 3? и если fn сходится в каком-либо смысле к некото­ рой функции f, то возникает вопрос: будет ли f принадлежать 3?

и будет

ли p(f)

= lim p(fn), или,

иными словами, при каких

условиях

можно

почленно

интегрировать

последовательность?

1. Теорема Беппо Леви.

Если

(fn) — возрастающая почти

всюду последовательность

функций

из 3 ,

интегралы которых

мажорированы, то она сходится почти всюду к некоторой функ­ ции f из 3 , и

р ( /) = lim p(fn).

П-+оо

В самом деле, условия теоремы означают, что (f„) есть по­ следовательность Коши в и значит, найдется такая функция f e . 3 , что р(|/ — fn I) стремится к нулю. Но так как существует последовательность fnk, сходящаяся почти всюду к /, и так как

fn возрастает, то fn сходится почти всюду к /. А так как, кроме того, f — fn&z 0, то

следовательно,

р ( / ) = 1 і т р ( / „ ) .

Из теоремы Б. Леви вытекают следующие три предложения.

П р е д л о ж е н и е 1. Если (fi)— счетное семейство элемен­ тов из 3 , мажорированное (соответственно минорированное)

3. С В О Й С Т В А П Р О С Т Р А Н С Т В А St

399

элементом g <= 3 , то верхняя оболочка sup / і (соответственно нижняя оболочка inf /г) принадлежит 3 .

Достаточно заметить, что последовательность, образованная Функциями

g ^ s u p / , ,

возрастает, мажорирована функцией g, и значит, p(gn) ^ p(g),

и sup f i = sup g i \

после

этого предложение следует из теоремы

Б- Леви.

 

Положительная линейная форма ц, про­

П р е д л о ж е н и е 2.

долженная с Е на S ’, есть положительная мера на 3 .

Действительно,

если

(fn) — убывающая последовательность

положительных функций из 3 , то fn сходится к функции f е 3 (предложение 1). Так как последовательность ц(/„) положи­ тельна и убывает, а значит, имеет предел, то (fn) есть последо­ вательность Коши; следовательно, предел f принадлежит 3 , и

H(f) =

lim n(f„). В частности, если /„

стремится к нулю почти

всюду,

то ц(/„) имеет пределом ц(0) =

0, так что аксиома (3)

выполнена для формы ц, продолженной на 3 .

пренебрежимых

П р е д л о ж е н и е 3. Счетное объединение

множеств есть пренебрежимое множество.

пренебрежимых

В самом деле, пусть et — счетное семейство

множеств, ц>е<— их характеристические функции и

Поо

e'n= [Jeh

е = []е {.

1

1

Последовательность множеств е'п возрастает, последовательность

Функций <ре' тоже возрастает и сходится (просто) к сре. Так как

Л

п

п

то ^qpg/j есть последовательность Коши. Стало быть, она схо­

дится (просто, в данном случае в каждой точке) к интегрируе­ мой функции, каковой будет <ре, причем ц(фе) = 0, так как ц ^<pe/j = 0; тогда

ЧѴ-ГТ.0-

Таким образом, множество, на котором cpe(t) Ф 0, пренебре­ жимо; но множество точек, где <ре(0 ф 0, есть множество, на котором cpe{t) = 1, т. е. представляет собой множество

оо

e = \Jei.

1

Смотрите также файлы