Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

2. Теорема Фату. Пусть (/п) — последовательность положи­ тельных функций из ST, сходящаяся почти всюду к функции f и такая, что р(/п) ограничена. Тогда f ^ S ’ и р(/) ^ sup p(f„).

В самом деле, пусть

gn = inf fr,

І>П

g r i d s ’ при любом п, последовательность gn возрастает и схо­ дится почти всюду к /, как и последовательность fn. Кроме того, g n < / n ; значит, p(g'n) < р(/п); а поскольку p(fn) ограничена, то отсюда следует, что (gn) есть монотонная последователь­ ность Коши в ЗТ. Стало быть, / е З " , и

ций из 3?, сходящаяся почти всюду к функции f. Предположим,

С другой стороны, возьмем точку < е Л , в которой fn(t) имеет конечный предел Я; каково бы ни было е > 0, для любого до­ статочно большого п имеем

Согласно теореме Б. Леви ф„ и фп сходятся почти всюду к функ­ ции из 3?, которая, таким образом, почти всюду равна f , откуда

А так как р,(ф„) и р(фп) сходятся к одному и тому же пре­ делу, то

Р (Фр — Ф9) + Р (Фр — ФР)

стремится к нулю, и значит, (fn) есть последовательность Коши в 3 . Стало быть условия, наложенные на (/„) в теореме Ле­ бега, позволяют заключить, что (/„) есть последовательность Коши в 3 .

2) Приведенные выше теоремы, очевидно, могут быть сфор­ мулированы и для того случая, когда речь идет о рядах функ­ ций из 3 . Например, если uh е 3 , если

оо

Sw*

сходится почти всюду и если последовательность

странства Е. Мы же попытаемся здесь выяснить, какую роль играет простая сходимость почти всюду.

Пусть f е S \ функция f является пределом почти всюду по­ следовательности Коши (хп) элементов из Е, и кроме того, мы можем предположить, что \\хт — хп\\ < 1/2П для любого т ^ п . Положим снова

У т , п == S lip {Х{), Zт , п == inf {Х().

Известно (см. там же), что

ций из Е, минорированная элементом хт, который является ко­

(ут ) убывает, (zm) возрастает, и эти две последовательности являются последовательностями Коши, эквивалентными после­ довательности (хт), которая сходится почти всюду к функции /. Значит, ути Zm сходятся почти всюду к f. Стало быть мы полу­ чили следующий результат.

П р е д л о ж е н и е 3. Для любой интегрируемой функции f существуют убывающая последовательность (ут) и возрастаю­ щая последовательность (zm), состоящие из конечных интегри­ руемых функций и такие, что:

1) для любого m функция ут является простым пределом воз­ растающей последовательности элементов из Е, а zm— простым пределом убывающей последовательности элементов из Е\

2) zm < f < ym\

п. В . п. в.

3) f == lim zm = lim ym)

4) р if) = lim ц (zm) = lim ц (ут).

Это предложение приводит к характеристическому свойству интегрируемых функций, которое долгое время служило для по­ строения пространства S , но которое менее гибко, чем приводи­ мое выше (раздел 2, § 2, теорема) и чем то, которое содер­ жится в определении (там же).

Стало быть, последовательность 2 „m, сходящаяся почти всюду к /, мажорируется некоторой функцией ynj, и значит, по теореме Лебега, f е 3 . Теперь можно, следовательно, вывести из

z < f < у,

что p ,(z)^ ц ( И ^ р(г/), а так как ц(уп — zn) стремится к нулю, то

р if) = lim ц іуп) = lim р (z„).

Отсюда и получаем искомое предложение.

П р е д л о ж е н и е 4. Для того чтобы положительная число­ вая функция f была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого s > 0 существовали конечная положительная интегрируемая функция z — предел убывающей последователь­ ности функций из Е, и конечная интегрируемая функция у — предел возрастающей последовательности функций из Е, удо­

следовательно, оно может служить определением интегрируемых функций. В этом случае поступают следующим образом: рас­ сматривают функции из Е, затем монотонные последовательно­ сти функций из Е, интегралы которых сходятся к некоторому конечному значению; указанное предложение служит для опре­ деления интегрируемых функций, но затем необходимо доказы­

Допустим, однако, что характеристическая функция qu мно­ жества А принадлежит 3 (что сводится к предположению об