Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

446

ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

 

 

Стало быть, для почти всех у имеем

 

 

 

J <р (х, у) dy = О,

 

 

откуда следует, что

ср = О pi-почти всюду для почти

всех

у.

Итак, получили предложение:

меры

рі

П р е д л о ж е н и е .

Для почти всех х относительно

(соответственно у относительно меры ѵ) сечения в постоянной

точке X (соответственно у)

множества е

из А у^В ,

имеющего

со = рі X ѵ-нулевую меру,

являются множествами из

В

(соот­

ветственно из Л), имеющими ѵ-нулевую

(соответственно

\і-ну-

левую) меру.

 

 

 

 

Р А З Д Е Л 8

 

 

 

 

МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

 

 

 

Числовая прямая заслуживает специального изучения по причине многочисленных приложений теории интеграла к слу­ чаю действительных функций одного действительного перемен­ ного.

Если пытаться найти все возможные меры на числовой пря­ мой (ограничиваясь только положительными мерами), стараясь при этом сохранить основные элементы, в частности, свойство интервалов быть измеримыми, то, как легко видеть, такие меры определяются монотонными функциями (или функциями огра­ ниченной вариации, если мера не обязательно положительна).

Для монотонной функции рі, или, что будет сводиться к тому же, для некоторой меры рі, будет определен интеграл действи­

тельной функции X

действительного

переменного

t

(интеграл

Лебега — Стилтьеса); он будет обозначаться J

xdp.

Но в эле­

ментарных случаях

можно

писать

J л: dpi =

J х Dpi dt,

где

Dpi — производная от рі; это,

в частности, сводит

 

вычисление

к интегралу, определенному исходя из меры Лебега. Если

рі —

монотонная функция, то Dpi существует почти всюду

(в смысле

меры

Лебега), но этого недостаточно

для

сведёния

интеграла

J xdy,

к интегралу,

построенному исходя

из меры

Лебега.

За­

дача связана с детальным изучением монотонных функций: с их разложением и дифференциальными свойствами. Этому и будет посвящен первый параграф.

Поскольку числовая прямая есть счетное объединение интер­ валов, то мы будем предполагать в дальнейшем, что множе­ ство А действительного переменного / есть компактный интер­ вал (например, интервал [0, 1]).

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

447

§I. Монотонные функции, функции ограниченной вариации

1.Общие свойства монотонных функций. Пусть f — возрас­ тающая действительная функция действительного переменного t.

Вкаждой точке t функция / имеет предел справа, обозначае­

мый f(t 4- 0) или / ( / + ) ; это есть предел значений

/(/'), когда

t' > t стремится к t\ точно так же /

имеет предел слева, обозна­

чаемый f(t — 0) или f (t —). Имеем

 

 

Положительная величина f(t)— f(t — 0) называется скачком

слева в точке t, а

f (t + 0) — f (t)— скачком справа

в точке t,

а f(t + 0) — f(t — 0)

называется скачком в точке t.

непрерывна

Функция f непрерывна слева

(соответственно

справа, непрерывна), если ее скачок слева (скачок справа, ска­ чок) равен нулю.

Функция f имеет не более чем счетное множество точек раз­ рыва-, в самом деле, на интервале [а, b] сумма любого конечного

числа

скачков не превосходит f(b + 0)— f (а — 0) (на ]а,

Ь[

она не

превосходит f (b — 0) — f(a + 0)); значит, найдется

ко­

нечное число точек интервала, в которых скачок заключен ме­ жду 1/ ( « + 1) и 1 In, откуда следует, что множество точек раз­ рыва может быть только пустым, конечным или счетным.

Из этого вытекает, что семейство скачков суммируемо, или, иначе, что если занумеровать скачки в некоторую последова­

тельность ип, ТО ряд 2 м/г

будет сходящимся.

Функция t - * f ( t — 0)

непрерывна слева. Действительно,

предположив, что t" < t' <

t, получаем

/ Г К ( ( / Ч 0 К / ( / ' - 0

) < / Ю < / Г + 0 ) < / ( ; - 0 К ( ( / ) ;

когда t" стремится к t слева, t' также стремится к t, а так как f(t") стремится к }(і — 0), то /(/' — 0) стремится к /(/ — 0).

Точно так же *-*/(* + 0) непрерывна справа.

f(t — 0),

Заметим, помимо

того, что f (t'+ 0)

стремится к

когда t' стремится к t

слева, и что f(t' — 0) стремится к /(/+ 0 ),

когда t' стремится к t справа.

монотонной

функции.

2. Функции скачков и разложение

Функцией скачков возрастающей функции f называется функ­ ция, определяемая как

S (0 =

2 (f (I + 0)—/ (I - 0)) + f (t) - f (t - 0).

Запись

i«

S ( / ( i + o ) ~ / ( i - o ) )

 

448

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛ.

X.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

означает

п ол ож ител ьное

число,

равное сум м е сум м ируем ого

се­

 

м ейства,

состоящ его

 

из всех ска чко в в

то ч ка х

|

<

 

і. (Н а п о м ­

 

ним , что / изучается

на ком пактном

интервале ;

если

бы

мы за ­

 

хотели это уто ч н и ть ,

то мы записал и бы

2

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф ун кц и я

 

очевидно,

возрастает.

а<5<< / '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s,

О н а

имеет

те

же

ска ч к и ,

 

что и

ф у н к ц и я

f

(и

те же

точки

р а з р ы в а ) .

В самом деле, пусть,

 

к прим еру,

і

<

t'.

И меем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s (П =

2

 

( /

(g

+ о) -

 

/

(г -

о ))

+

/

(t') —

— о) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K t '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= S (

 

) + f ( t + 0 ) - f ( t - 0 ) +

 

2 (

) + f ( t ' ) - f ( t ' ~ 0).

 

 

 

K t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K K t '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К о гд а

 

t'

стрем ится

к

 

t справа , f ( t ' )

стрем ится

 

к

/

(^ -f- 0 ),

 

равно

ка к

и

f ( t ' — 0) .

А

та к

к а к

пересечение

о ткр ы ты х

и н те р ­

 

валов

] t ,

t' [

пусто и р яд

ска чко в

сход ится ,

то

2

 

стрем ится

 

к н ул ю .

С тал о бы ть,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

t < K t '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s ( * + 0 ) = 2

(/(І +

0 ) - / ( І — 0)) +

/(/ +

0 ) - - / ( / — 0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s (0 +

 

 

 

0) — f

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

f (t +

(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s ( t +

 

0) —

s(t) =

f ( t

+

0) —

 

 

 

 

 

 

 

 

Т очно та к ж е,

s ( t ) - s ( t - 0) = f ( t ) - f ( t - 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О тсю д а

сразу

следует

первы й

в а ж н ы й

результат.

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

1. В с я к а я

 

возр а ст а ю щ а я

ф у н к ц и я

есть

сум м а

 

д в у х в о зр а ст а ю щ и х

ф у н к ц и й ,

о д н а

 

из

которых

есть

ф у н к ц и я

 

с к а ч к о в , а д р у г а я — н е п р е р ы в н а я ф у н к ц и я .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е сли

снова

взять вы р аж ен и е

для

s ( t ' ) ,

то

м о ж н о

н аписать

 

еще,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s ( t ' ) = s( t ) + f ( t + 0 ) - f ( t ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

S

( /tè

+

0) -

f

( É

- 0)) +

f

{ f

)

- f

(

t ' - 0

) ,

 

или

 

 

 

 

 

 

 

t < K t '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s ( t ' ) - s ( t ) = f ( t + 0 ) - f ( t ) +

 

2 (

) +

 

 

 

 

 

0),

 

 

T.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t < K t '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

e.

п ол учи л и

сум м у

 

всех ска чко в

справа

и слева

 

ф ункц ии

f,

 

 

 

 

 

 

 

на [

t, t']\

эта

сум м а

не п р е в о с х о д и т /( К ) — f ( t ) ,

 

рассм атриваем ой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и значит,

s ( t ' ) ~ s ( t ) ^ f ( t ' ) - f ( t ) ,

или

f ( t ) - s ( t ) ^ f ( t ' ) - s ( t %

 

 

 

 

 

 

 

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

 

 

 

 

 

 

449

С тал о

бы ть,

ф ункция

g ,

определяем ая

равенством

g ( t ) =

= f ( t ) —

 

s ( t ) , возрастает.

Н о

т а к

к а к s h

/ им ею т

одинаковы е

ска чки ,

то ска чки

ф ун кц и и g

р авны н ул ю ;

и ны м и

 

словам и , g не­

преры вна :

/ =

g - f

s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е гк о

 

построить

в о зр а ста ю щ ую

ф ун кц и ю

 

с

заданны м и

точка м и

 

разры ва

и

 

с зад анны м и

скачкам и . Д л я

этого

 

д о ста ­

точно

задать

счетное

семейство

 

точек tn

и

связать

с

ним и две

последовательности

и п,

ѵ п

п о л о ж и те л ьн ы х

чисел

та к ,

 

чтобы

2 («« +

ѵ„)

<

+

оо;

ип

б у д у т

ска чка м и слева,

а

ѵ п —

ска чка м и

справа

(в то ч ка х

/ „ ) .

Д л я

этого

 

п ол о ж и м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sn ( t ) =

2

(цп +

 

ѵп),

если

t ¥ = th

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*<U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s ( t i ) —

2

 

(и п +

Ѵп) + Ut>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*п < *і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что записы вается та к ж е

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s{t)

=

 

2 и п +

2 ѵп.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*П<*І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н ако не ц , отм етим , что

s м о ж е т

бы ть и стол кована

к а к сум м а

ряда

2 sn

в о зр а ста ю щ и х

ф ун кц и й ,

к а ж д а я из

ко то р ы х

 

имеет

ед и нстве нн ую

т о ч к у

разры ва ;

в

самом деле, д остаточно

п ол о ­

ж и т ь

s n (t) —

0,

если

t <

tn ,

s n (tn ) =

и п и

sn (t) —

 

и п +

ѵ п, если

tn <

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Функция ограниченной вариации.

 

П у с ть

 

/

—

числовая

ф ун кци я ,

определенная

на

[а,

Ь].

И

п усть

имеется

подразбиение

и нтервал а [а,

Ь]

точкам и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g = a < | , < | 2<

 

. . .

 

=

 

 

 

 

 

 

 

Е сли м нож ество сум м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 і / ( | г +і ) - / ( Ы І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о граничено для

всех в о зм о ж н ы х

 

под разб иений ,

то ф ун кци я

/ н а ­

зы вается

ф у н к ц и е й о г р а н и ч е н н о й

в а р и а ц и и

на

[а,

 

Ь].

 

 

 

 

В е р хн я я

гр ан ь

п ривед енны х

вы ш е

сум м

назы вается

п о л н о й

в а р и а ц и е й

ф у н к ц и и

f

на [а,

b]

и обозначается

V ( f ,

а,

Ь)

(и л и

V ( a , b ) ,

или V ( f ) ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е гк о

видеть,

что

если

а

<

с

<

Ь,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ { а , Ь ) = Ѵ { а , с ) + Ѵ { с , Ь ) * ) .

*) Доказательство

аддитивности

полной вариации:

см., например,

Г. Е.

Ши л о в ,

Математический анализ,

М., 1961, стр. 279;

А. Н. К о л м о г о ­

р о в

и С. В.

Ф о м и н,

Элементы теории функций и функционального ана­

лиза,

М., 1972,

стр. 314.

 

 

 

Смотрите также файлы