Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

254

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. Б

1)

если

при всех п а(Е/З» п)Ф/\>

то f — нигде не

определенная

КФ;

k cr(c73>

2)

если

при некотором

k) == Л ,

то можно

найти

рациональное

число г такое,

что If (г).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Искомый

алгорифм

с строим

так, чтобы

< * № ,

" ) ^ [ / ] ( Р ц ( / 2 > ) ) ,

/!(/0)

числом

Рц(/г(&))

не более чем за l\{k)

шагов. Следо­

вательно, КФ f определена в точке Рц(/г (&))•

Лемма

10 позволяет

свести доказательство теоремы 2

к случаю,

когда

f — непустая функция.

Действительно,

пусть

мы

располагаем

алгорифмом 91

таким, что для

всякой

непустой

КФ ф

алгорифм 0£Фз

есть

последова­

тельность

полных

полигональных функций,

сходящаяся

СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ

255

построить

последовательность

псевдополигональных

функций F1

так, что при всяких

тих

(28)

если !/(х), то

IF1 (т, х)

и

(29)

\f(x)~Fxm(x)\<2-m-\

Построим далее последовательность КФ у

так,

что

КФ ут определена лишь на интервале — 2~т~1

V

2~т~\

и если х принадлежит этому интервалу, то

Y (т, х) =

х.

мощью леммы

4.)

F2 так, чтобы

Построим

алгорифм

F2(tn,

С у (т, F]

(m +

1, х) — Fl (т,

x)),

если

m >

0;

x) ~ \ .

.

v

I F ' ( l , Д

если

m =

0.

Отметим

некоторые

свойства

F2.

(30)

При

всяких

т

и

х ,

если \f{x),

то I F ^ W

(это

следует

из

(28)

и

(29))

и

при т >

0

F2 (m,

х) =

f L + i

(Х) — Fm

(х).

(31)

При

всяких

тих,

если

!/(*),

то

f(x)-^FUx)

k=0

(32)

При

всяких

т>0

и х, если \F2(m,

х),

то

| f L w l < 2 ' B - ' .

Используя

лемму

5,

можно

показать,

что

при

вся­

ком

т алгорифм

F2m

является

псевдополигональной

таким

образом, что

при всяких k,

I НкЛ является пол­

ной полигональной

функцией, причем

(33)

для всякого

т и х таких,

что \F2(m, х), можно

найти I так,

что при

ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ

257

Ниже

через

х Д у

обозначается

произвольный

сег­

мент

положительной

длины,

а

через

f — произвольная

всюду определенная КФ.

1.

Обозначим через f0

такую функцию, что

2

х

-

З

1

+

2

х—

1.

Нетрудно

убедиться,

что

f0(x)~0

при

J ; G j1 A - f ,

/0 (*)

=

2 . * - - i

при

-

< /

Л

п

-

2

^ ^ -

j

( Р и с -

14).

Очевидно,

Ы 0 ) = - | ,

/ о ( 1 ) = | -

Т е о р е м а 1 ( Ц е й т и н

[1], [2],

[6]*)).

Невозможен

алгорифм

а,

перерабаты­

вающий

всякое

КДЧ

z

та-

кое,

что

2

z <

2

,

в

— у <

-д

КДЧ,

при

котором

f0(a{z))

=

z.

Рис.

14.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть такой алгорифм а по­

строен. Построим

алгорифм

ос' так,

чтобы

а ' ( 2 ) ^ Р з ( 1 ,

-§-,

а(г)) .

Очевидно

(см. теорему

21

§ 3

гл. 2),

а

перерабаты-

2

2

вает

всякое 2

из

интервала

— ^ - у

j

в

1 и

л и

в 2,

при-

чем:

1) если

a ' ( z ) = l ,

то

a(z)<-^i

откуда,

ввиду

f (a ( 2 ) )

=

2 , следует z

<

0;

2) если a'

( 2 )

=

2, то a ( 2 )

> -у ,

откуда

вытекает

z ^ O .

Следовательно,

а'

указывает

для

2

2