ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 1
Упражнение 4.10. Проверить, что радиолокационная функция неопреде ленности обладает следующими свойствами [10]:
|
а) |
|р ? (т, v)|2 = |p v (— т, —v )|2, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
б) |
|P v (T,v)|2 < | p v (0, 0) |2= ||г ||4=4||х||4, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
^ |
|P v (x, |
v) |2 dxdv = | pv (0, |
0)|2, |
|
|
|
|
|||||
|
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r) |
^ |
| pv (r, |
v )|2e |
/ « - ^ * d |
v |
= |p v (5(11) |2. |
|
|
|
||||
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Z a d e h |
L. |
A. A general theory |
of |
linear signal |
transmission |
systems. — |
|||||||
2. |
«J. Franklin Institute», 1952, v. 253, |
p. 293—312. |
Гостехиздат, |
1948. |
|
|||||||||
Т и т ч м а р ш |
E. Введение в теорию Фурье. М., |
|
||||||||||||
3. |
L i g h t h i l l |
М. |
|
J. Introduction |
to |
Fourier |
analysis and |
generalized |
||||||
4. |
functions. |
Cambridge |
University Press, |
1958. |
|
|
|
trans |
||||||
B r e m e r m a n n |
H. Distributions, |
complex variables and Fourier |
||||||||||||
5. |
forms. Addison—Wesley, |
1965. |
Г. |
Е. Обобщенные функции и действия |
||||||||||
Г е л ь ф а н д |
И. |
M. |
и |
Ш и л о в |
||||||||||
6. |
над ними. Серия «Обобщенные функции», вып. 1. М., |
Физматгиз, |
1959. |
|||||||||||
Г е л ь ф а н д |
И. |
М. |
и |
В и л е н к и н |
Н. Я. Некоторые применения гар |
|||||||||
|
монического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Серия «Обоб |
|||||||||||||
7. |
щенные функции», выгг. 4. М., Физматгиз, 1961. |
|
1946, pt. |
Ill, |
v. 93, |
|||||||||
G a b o r |
|
D. Theory |
of |
communication. — «J. 1ЕЕ», |
||||||||||
p. 429—457.
8.В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене ниями к радиолокации. М., «Сов. радио», 1955.
9. |
Dugundji J. Envelopes and pre-envelopes |
of |
real |
waveforms. — «Trans. |
||
10. |
IRE», 1950, v. IT-4, № 1, p. 53—57. |
|
|
|
«Сов. |
|
К у к |
Ч., Б е р н ф е л ь д M. Радиолокационные сигналы. М., |
|||||
11. |
радио», |
1971. |
|
станций с частотной моду |
||
Теория |
и расчет импульсных радиолокационных |
|||||
|
ляцией.— «Зарубежная радиоэлектроника», |
1961 |
№ |
1. Авт.: К л а у д е р. |
||
12. |
П р а й с , Д а р л и н г т о н , Э л б е р з г а й м . |
|
|
|||
К л а у д е р. Радиолокационные сигналы с высокой разрешающей способ |
||||||
|
ностью |
по дальности и скорости. — «Зарубежная |
радиоэлектроника», |
1961, |
||
|
№ 1. |
|
|
|
|
|
5
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Во всех системах, кроме самых элементарных, сигналы подвергаются раз личным изменениям, проходя через отдельные блоки. Преобразователи, скани рующие устройства, модуляторы, усилители, фильтры, кодирующие устройст ва, каналы передачи и т. д. — все они видоизменяют сигнал, и это должно учи тываться при анализе работы системы в целом. Ввиду большого разнообразия
100
форм употребительных сигналов желательно, очевидно, иметь общий способ для описания преобразующих свойств отдельных узлов системы. Помимо опи сания преобразований, производимых различными блоками, правомерно также рассматривать обратную задачу о синтезе физических блоков, подсистем или схем, реализующих то или иное преобразование сигнала.
Такие задачи встают, например, в связи с устройствами обработки сигналов, когда в систему специально вводятся некоторые блоки для достижения той или иной цели. Примерами могут служить корректирующие звенья, компенсирующие искажения в преобразователе и в канале передачи, а также фильтры, уменьшаю щие влияние мешающих сигналов и шума.
С точки зрения теории систем преобразование сигнала есть указание связи входа с выходом для системы или цепи, представляемое просто в виде блока, как показано на рис. 5.1. Математически преобразование трактуется как отображе ние одного множества сигналов в другое (см. § 1.3).
Лросггранс/ттво входовX Пространство выходов У
x e . jp
Устройство, преодразующее сигналы
Рис. 5.1. Отображение сигнала.
Мы не противопоставляем эти трактовки. Наоборот, для понимания часто удобно интерпретировать математические операции в виде блок-схем. Соответ
ственно, отображаемая область есть в нашем случае пространство |
входов ЗС, |
а пространство выходов ^ должно быть выбрано так, чтобы оно |
включало, |
всю область значений данного преобразования, т. е. образы всех входных сигна лов. В общем случае, для описания отображения Ж мы должны знать все пары вход — выход 1х, Ж(х)}, т. е. граф отображения. Но в большинстве случаев полный граф построить не удается просто потому, что в нем необходимо указать и как-то упорядочить слишком много пар вход — выход. Если, однако, ограни читься линейными преобразованиями, то оказывается, такое отображение можно полностью описать, используя сравнительно небольшое подмножество из всех возможных пар вход—выход. Другими словами, образ произвольного входного сигнала можно представить через образы сигналов из некоторого подмножества. Эта важная особенность известна как свойство суперпозиции линейных пре образований. К счастью, в большинстве систем имеется много линейных или ква зилинейных блоков, так что подробное изучение линейных преобразований весьма важно для практики. Следует отметить, что линейные цепи выполняют линейные преобразования во всех случаях, когда они находятся в состоянии по коя до подачи сигнала на вход. В этих случаях выходной сигнал зависит только от входного и не связан с какими-либо переходными процессами в других ис точниках энергии, имеющихся в схеме. Но, если последнее условие не выпол няется, выходной сигнал не будет линейно зависеть от входного.
В этой главе мы разработаем методы представления линейных преобразо ваний, подобные представлениям сигналов. Как выяснится, здесь имеется непо средственная аналогия. Но задача представления достаточно широкого класса линейных преобразований значительно сложнее, чем соответствующая задача
101
для сигналов. Полное ее исследование выходит за рамки книги, и мы ограничим ся сравнительно простыми вопросами, достаточными, однако, для дальнейших
применений.
5.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Линейное преобразование 55 это отображение, определенное на линейном пространстве 95 и обладающее следующими свойствами:
SB (хх + х2) = SB (хх) + SB (x2) ,
35 (ax1)=aSB (xx) |
(5.1) |
|
|
или, что эквивалентно, |
|
SB (ахх+Рхг)—0.35 (Xj) -f- PSB (x2). |
(5-2) |
Здесь xt и x2 — произвольные векторы из 35, a а и P — произвольные скалярные величины. Отсюда следует, что SB (0) = 0 и SB (—х) = — 5В(х); следовательно, множество линейно преобразованных векторов есть линейное пространство с тем же множеством скаляров, что и область определения данного преобразо
вания.
Поскольку множество скаляров само образует линейное пространство (R или С), ясно, что линейные функционалы, обсуждавшиеся в § 2.6, есть част ный случай линейных преобразований (с одномерной областью значений). Неко торые свойства линейных функционалов можно распространить на линейные преобразования. Кроме того, в ряде случаев линейное преобразование удобно выражается с помощью упорядоченной последовательности линейных функцио налов.
Если входные и выходные линейные пространства нормированы, то они являются метрическими, и мы получаем возможность исследовать вопрос о непре рывности линейных преобразований. Линейное преобразование обладает тем свойством, что непрерывность в одной точке (скажем, при х = 0) эквивалентна непрерывности во всех точках, т. е. непрерывности преобразования. Чтобы по казать это, напомним, что непрерывность в начале координат означает, что для
любого е > 0 существет такое б (е) > 0, что |
|
||
II |
х _ |
о И< б =► || SB (х)-S B (0) II < е . |
(5.3) |
Но поскольку 35 (0) = |
0, |
то |
|
|
|
!1х || < б =>-1 5? (х) || < е . |
(5.4) |
Теперь, рассматривая произвольную точку х0, заменим х на х — х0 |
и ис |
||
пользуем те же 8 и б, |
что и выше. Тогда получается |
|
|
П х -Х о ||< 6= ^||аУ (х -Х о )|| = |# ( х ) - Ж ( х 0)||< в. |
(5.5) |
||
Следовательно, непрерывность в начале координат и непрерывность вообще эквивалентны.
Другое важное свойство состоит в том, что, как и в случае линейных функ ционалов, непрерывность и ограниченность эквивалентны. Преобразование SB
называется ограниченным, если существует действительная константа К, такая, что
|| £? (х) К / ( I х || для всех х ^ 3 0 . |
(.5.6) |
Полагая в (5.4) б = е/К, заключаем, что ограниченное линейное преобразование непрерывно. С другой стороны, чтобы доказать ограниченность непрерывного
линейного преобразования, |
достаточно |
показать, что || SB (х) || < К при всех |
|
х, для которых || х || = 1. |
Пусть х = |
2xj/6, |
тогда |
DXII = 1 =MI *i|| < б =Ц SB (xj II < |
е => II SB (х) II < 2е/б. |
||
102
Таким образом, непрерывность предполагает ограниченность, и мы показали что для линейных преобразований ограниченность и непрерывность эквива лентны.
Для общей теории линейных преобразований важно, что множество всех линейных преобразований некоторого линейного пространства само является линейным пространством, в котором определены векторное сложение и умноже ние на скаляр**:
SB =SBi + SB2=*- SB (X) = 5?! (x) + SS2 (x),
| для всех x£ ЗС, |
(5.7) |
SB —aSBi =>- SS (x) = |
(x) |
Я |
в |
Рис. 5.2. Схемы эквивалентных векторных и скалярных операций над линейными преобразованиями: сложение (параллельное соединение): SB = SB 1 +SB2 (a)l умножение на скаляр: SB = aSBi (б); векторное умножение (каскадное соеди нение): SB=SS\SB2 (е).
Эти операции имеют простые схемные аналоги, показанные на рис. 5.2; сложению соответствует параллельное соединение блоков, а умножению на ска ляр — последовательное соединение блока и идеального усилителя с коэффици ентом усиления а. Усилитель может стоять как на входе, так и на выходе блока.
Пространство линейных преобразований можно нормировать подобно тому, как это делалось для линейных функционалов:
|^ |l = su p {||^x ||; ||х ||< 1> |
(5.8) |
или, что эквивалентно,
|| SB ||= inf {К\ l l ^ x I K K I I x l l . X € ЗС). |
(5.9) |
Если пространства входов и выходов идентичны, линейное преобразование называется линейным оператором. Таким образом, линейный оператор — это линейное преобразование, отображающее область своего определения в себя. Для операторов естественно ввести еще одну векторную операцию, называемую произведением. Произведение двух операторов есть составное отображение вида
SB=SB1SB2^ S C (x)=SB1[SS2(x)]. |
(5.10) |
Физическим эквивалентом произведения является каскадное соединение (в нуж ном порядке) блоков, реализующих операторы — сомножители (рис. 5.2, в). Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, так что
ss1(ss2+ SB3)=SB1sei+ se1sc.3, 0^1 + se2)sbz= sbxsb2+ sb2sb3.
(5.11)
*> Далее мы, обозначая линейные преобразования, отбрасываем скобки, так что вместо SB (х) мы будем писать SB х. Если ЗС — функциональное простра нство, и мы хотим записать х (t) вместо х, обозначение преобразования'будет иметь вид SB-x (I). Этим подчеркивается, что SB есть отображение функции вре мени, а не скаляра.
103