ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 1
Тогда, используя (5.32), получаем
СО |
|
1/(0= 5 G(f, /) X (f) d/, |
( 5 . 3 3 ) |
—оо |
|
где G (t, /) выражается через импульсную реакцию следующим образом:
G (t, f) = |
^ h(t, х) е.,2л^х dx. |
(5.34) |
—ОО
Способ, дуальный описанному выше, может служить другим полезным примером [7] представления оператора по отношению к смешанному базису;
в этом случае ср (t, s) = б (t — s), |
cp (t, s) = e'2lts* и тогда |
|
|
ОО |
|
Y (f)= |
J K(f, t)x(t)dt, |
(5.35) |
—00
где
|
00 |
|
K(f, 0 = |
5 Л(т, 0 Q~l2nfx dx. |
(5.36) |
|
— 00 |
|
Классификация операторов
Основные свойства линейных систем отражаются в структуре функциональ ных ядер, представляющих операторы. Свойства ядер удобны для классифика ции операторов. Ниже указаны некоторые часто встречающиеся классы. Мы предполагаем, что область определения операторов есть L2 (—<х-, оо).
Операторы, инвариантные во времени. Для элементов многих физических систем характерно, что выполняемые ими преобразования не зависят от времени прихода сигнала. Независимость от времени есть инвариантность преобразова ния по отношению к временным сдвигам в том смысле, что для любого х и любого ta, если у (t) = SB х (t), то у (t — t0) = SB x (t — t0).
Оператор инвариантен во времени тогда и только тогда, когда импульсная реакция h (t, т) зависит только от разности аргументов t — т. Такую импульсную реакцию обычно записывают как h (t — т) или, еще чаще, просто h (t), подра зумевая, что сигнал поступает на вход в момент т == 0. Согласно (5.29) оператор приобретает форму
|
ОО |
|
|
y( t ) = |
^ |
h (t —х) х (х) dx |
(5.37) |
----- ОО |
|
||
т. е. у есть свертка h и х; свертку |
часто обозначают символически так: у = |
||
= h®x. Изменив переменную интегрирования в (5.37), получим другую запись |
|||
преобразования |
|
|
|
y( t) = |
^ |
k (о) х (а + t) da, |
(5.38) |
|
----- |
ОО |
|
где k (о) = h (—а). Мы пришли |
к |
обычному описанию сигнала, |
получаемого |
в результате операции сканирования. Если пространственно распределенный сигнал х, например, оптическое изображение считывается сканирующим уст ройством, причем перемещение сканирующего «окна» происходит с постоянной
109
скоростью, то выходной сигнал как функция времени соответствует выражению (5.38), где k (о) есть аппаратная функция «окна»**. Сканирование часто исполь зуется в различных системах обработки, и важно помнить, что эта операция эквивалентна фильтрации (инвариантной во времени).
Частотное описание инвариантного во времени оператора особенно удоб но. В этом случае (5.31) принимает вид
|
|
00 |
|
|
H{f, |
V ) = |
$$ |
h ( t ~ x ) z - i 2nlt + i2nvxdi dx^ |
|
о о |
|
|
' е/2л (f—"v) т dxda = H (/) б (/—v) |
|
= 5 h (а) е—,2я^а |
(5.39) |
|||
—00 |
|
|
00 |
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
Y( f ) = |
J |
H ( f ) &( f - v) X ( v) d v = H( f ) X( f ) . |
(5.40) |
|
|
— оо |
|
|
|
Функция Я (/) называется |
переда т очн ой ф у н к ц и е й инвариантной во |
времени |
||
цепи.
Используя аппаратную функцию k (о) операции сканирования, можно
записать также |
(5.41) |
У (/) = К* (?)Х (/). |
Другое важное свойство инвариантных во времени операторов состоит в том, что их произведение (5.10) коммутативно. Это следует из того факта, что переда точная функция каскадного соединения инвариантных во времени блоков есть обычное (коммутативное) произведение их передаточных функций, следова тельно, порядок включения блоков не имеет значения.
Тождественный оператор. Тождественный оператор 3 описывается урав
нением х = 3 х для всех х. |
Ясно, что это инвариантный во времени оператор, |
и его импульсная реакция h |
(/) = б (t). Соответствующая передаточная функция |
Н (/) = 1. |
|
Оператор задержки. Близким к тождественному и практически важным оператором (поскольку он реализуется с помощью линии задержки с распреде ленными параметрами) является оператор задержки, отображающей л: (/) в х (t — t0). Соответствующая ему импульсная реакция есть h (t) = б (t — t0),
и передаточная |
функция имеет вид Н (/) = |
е—,2л(°^. |
|
Оператор |
стробирования (умножитель). |
Многие физические устройства |
|
(модуляторы, строб-каскады и т. д.) |
осуществляют преобразование вида |
||
|
у (t) = |
w (t)x (0- |
(5.42) |
Ясно, что этот оператор не инвариантен во времени (кроме тех случаев, когда w (t) — константа, т. е. производится просто умножение на число). Им пульсную реакцию оператора стробирования можно записать в виде
h (t, т) = |
w (t) б (t — т) |
(5.43) |
или, эквивалентно, |
|
|
h (t, т) = w (т) б (t — т). |
|
|
В частотной записи, используя (5.31), |
получаем |
|
ОО
H(f,v) = 55 w ( t ) d ( t - x ) e ~ ‘2n^ + i2nvx dtdx =
** Как ясно из предыдущего, аппаратная функция есть отклик на входное воздействие типа б-функции. В данном примере k (о) есть изображение точечного источника света, получаемое через «окно». Зависимость от а характеризует
изменения выходного сигнала при перемещении «окна» относительно светящейся точки. — Прим. ред.
ПО
ОО
= ^ w (х) е ~ ;2я <f~v) Td t = W (/—v). |
( 5 . 4 4 ) |
—ОО |
|
Следовательно, в частотном представлении рассматриваемая операция |
|
характеризуется интегралом свертки |
|
ОО |
|
К (/)= ^ W ( f — v) X( v) dv. |
(5.45) |
Физически реализуемые операторы. На операторы, описывающие физи чески реализуемые устройства, наложено существенное ограничение: они долж ны быть неупреждающими, или каузальными. Это условие легко выразить через импульсную реакцию. Из (5.29) мы видим, что если выходной сигнал у (t) дол жен зависеть только от предыдущих значений входного сигнала, то необходимое и достаточное условие, налагаемое на импульсную реакцию, есть
h (t, т) = 0 при всех т > t. |
(5.46) |
Это ограничение часто вводят в запись самой операции:
<
y{t )= § h (t,%) х {%) dx,
-----ОО
не оговаривая условие на функцию h (t, т). Но обычно удобнее, не изменяя пре делы интегрирования, оговорить дополнительное условие, которому должна удовлетворять импульсная реакция. Мы запишем такое условие в виде
h (t, т) = |
w (t — т) h (t, |
т), |
(5.47) |
||
где |
|
|
|
|
|
w(t) = |
1 |
для |
t > О, |
|
|
О |
для |
t |
0. |
|
|
Оператор дифференцирования конечного порядка. Характеристики пере дачи многих физических систем могут быть приближенно описаны дифферен циальными уравнениями конечного порядка. Обычно при анализе линейных систем их приближенно представляют цепями с сосредоточенными параметрами. Методы построения дифференциальных уравнений для таких цепей хорошо из вестны. Известно также [8], что для дифференциального уравнения
п |
dl у (t) |
|
dl x (t) |
|
bi (t) |
||
2 ai W |
dt‘ |
(5.48) |
|
dtl |
|||
i= о |
|
|
|
где aj (t) и bi (t) — непрерывные функции; соответствующая импульсная реак ция есть
n |
|
2 ■чъ (о е* м при 1 |
(5.49) |
Ik=i |
|
Если коэффициенты уравнения0 постоянны,прито параметрыt х. системы не зави сят от времени. Кроме тех частных случаев, когда полином
п |
|
Q (р) = 2 |
ai Р1 |
/= |
0 |
11
имеет кратные корни, импульсная реакция получает выражение
|
Ph(<—т) |
при t > х, |
h { t — %)■- |
2 айе |
|
ft=l |
(5.50) |
|
|
О |
при t < т, |
где pk — корни уравнения Q (р) = 0. Передаточная функция для такого инва риантного во времени оператора есть рациональная функция частоты
|
«ft |
|
(5.51) |
ft= 1 |
}2n f — ph |
|
или, что эквивалентно,
Р(У2я/) Q (/2л/)
где полином в числителе имеет вид
л—1
р (р)= V Ьг Р г.
1= 0
Вырожденный оператор. Операторы, действующие в L2 (—оо, оо), область значений которых конечномерна, т. е. имеющие конечный ранг, называются вырожденными. Функциональное ядро вырожденного оператора обладает свой ством разделимости, что очень удобно для приближенного представления и чис
ленного решения операторных уравнений. Импульсная реакция вырожденного оператора /г-го порядка имеет вид
П
|
h (*. т) = |
2 |
'Фг № е* W . |
(5.52) |
|
1 |
= 1 |
|
|
где {ф; (0> i |
1, 2, . . . , п) и {0г- (t); |
t = |
1, 2...........л} |
есть линейно-независимые |
системы функций в L2 (—оо, оо). Отображение х, получаемое с помощью такого оператора, выражается через п линейных функционалов:
П |
(х>°;)^ (*)• |
|
y(t)—2 |
(5.53) |
|
i= |
1 |
|
Сходство импульсной реакции (5.52) с импульсной реакцией системы конеч ного порядка (5.49) обманчиво, так как система конечного порядка в общем слу чае не является вырожденной из-за различия в поведении для t > т и t <" т.
Упражнение 5.5. Получить выражение для импульсной реакции последо вательно примененных инвариантного во времени оператора и оператора стро бирования (для обоих случаев их взаимного расположения). Найти для этих
двух случаев ядро Н (/, v) в частотной |
записи |
(5.31), |
а также ядра G (t f) |
и А У ) в частотно-временной записи |
(5.34) и (5.36) соответственно) |
||
Упражнение 5.6. Записать ядро |
Н (/, v) |
для |
вырожденного оператора |
с импульсной реакцией (5.52). Показать, что разделимость сохраняется при
любом выборе пары базисных ядер для пространства входов и пространства вы ходов соответственно. у
Упражнение 5.7. Описать область значений и нуль-пространство для вы рожденного оператора с ядром (5.52).
112