Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Скачать файл (12,20Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следовательно, операторы не только образуют линейное пространство, но формируют также алгебру [1]. Алгебра операторов не коммутативна (в общем случае Х 2Х± Ф X i X 2), но она содержит единичный элемент У , определяемый условием Ух — хдля всех х. Если оператор осуществляет взаимно-однозначное отображение области определения на соответствующую область значений, то существует обратное отображение, и можно показать, что оно^также линейно. Такой оператор называется ^сингулярным, он имеет обратный по умножению

оператор ,21т1, такой, что
Х Х ~ 1 = Х ~ 1Х = У .	(5-12)

5.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Если область определения линейного преобразования есть конечномерное пространство, в котором определено скалярное произведение, то имеются простые и естественные пути для получения представлений линейных преобразований. Эти пути приводят к различным представлениям, каждое из которых имеет те или другие преимущества. Мы будем иметь дело с конечномерными подпростран ствами функционального пространства L2 (Г), в которых скалярное произведе ние определено согласно (3.3).

Преобразования на конечномерных подпространствах рассматриваются, главным образом, потому, что результаты такого рассмотрения можно обобщить применительно к более важным случаям, например полному пространству L2 (Т).

Представление с помощью вектор-откликов

	Положим сначала, что пространство входов 37 натянуто на линейно неза
висимый		базис	{?*•; г =	1, 2, ...,	п), для которого	сопряженный базис есть
{0г;	г' =	1, 2, ...,	п}. Пусть пространство выходов ^			есть я-мерное пространст
во,	включающее		область	значений	преобразования	X . Такое пространство

всегда можно найти, так как число измерений области значений не может пре

восходить размерность	исходной		области	определения. Тогда		для произволь
ного х £ 37 из (3.2) и (3.7)		имеем
		п
	x( t) = V		(х> ог)ср,(*);		Т.	(5.13)
		»•= 1
Следовательно, учитывая линейность X,
			п
	y{t )=Xx{t ) = 2			(х> ° i) ^ ( 0 .		(5-14)
			i= 1
где множество
МТ'>	Фг	(t) = X	фг (0.	t — 1,	2.......n}

содержит отклики на все базисные функции пространства ЗС как на входные сигналы для X.

Ясно, что отображение любой точки пространства ЗС есть линейная комби

нация {фг-}	с тем же я-мерным набором коэффициентов а = {ар, а* = (х, 0,-);
1 ~ 1 .2,.....	я},	что и в представлении х £ 37. Таким образом, мы можем рас
сматривать	{$г;	i = 1,	2,	.... я}	как представление для X по отношению к ба
зису {<рг-; 1 = 1 , 2 , . .. ,			я}	в 37.	В отличие от сигнала, который представляется

я-мерной вектор-строкой, линейное преобразование представляется упорядо

ченной	последовательностью я векторов в	относящихся к конкретному ба
зису в	37.

104

Хотелось бы рассматривать {ф;; i = 1, 2, п} как базис пространства выходов <У'. Но этого нельзя утверждать, поскольку нет уверенности, что мно жество векторов ф; линейно независимо. Если это так, то (по определению ли нейной независимости) существует некоторый отличный от нуля входной сигнал х, который отображается в нуль в Если же существует хотя бы один такой сигнал, то должно существовать целое подпространство, отображаемое в нуль. Это подпространство 9С называется нуль-пространством линейного преобразо вания. Ввиду того, что преобразование получается типа много в одно, обратного отображения не существует, и линейное преобразование является сингулярным. Для сингулярного преобразования размерность пространства выходов меньше п, поскольку {ф;} линейно зависимы, и ‘у не натянуто на них. Действительно, легко показать, что сумма числа измерений пространства выходов и числа из мерений нуль-пространства равна я. Число измерений пространства выходов называется рангом линейного преобразования.

Представление последовательностью линейных функционалов

Другой способ состоит в представлении SB упорядоченной последователь

ностью п векторов в ЗС. Для этого, положим, что {cp*; i = 1, 2, ..., п)						есть мно
жество линейно независимых векторов,			на	которые натянуто	у .	И пусть
{0;; г =	1, 2, ...,	п) — соответствующий		сопряженный базис.	Тогда любой
вектор	из ‘У можно представить в виде
		y ( t ) = S (У, 0, )$ ,(* ).				(5.15)
		/= 1
Подставляя (5.14)		в (5.15), получаем
			П
		y ( t ) = S B x ( t ) = ' 2 i		(x,		(5.16)
			/= 1
где		П
		П
		<Oj(t)= 2	(»}.			(5.17)
		i= 1

Следовательно, упорядоченная последовательность {шу; / = 1, 2, ..., п} представляет SB по отношению к выбранному базису в *у. Нуль-пространством является просто подпространство векторов изSC, которые ортогональны ко всем оij. Если {tap / = 1, 2, ..., п) линейно независимы, то ранг преобразо вания равен я. Можно трактовать этот способ представления как упорядочен ную последовательность я линейных функционалов (преобразований единичного

ранга) вида fj (х) = (х,	/ = 1,2	.......я, с помощью которых преобразование
выражается следующим образом:		П
		П	(5.18)
	« * ( о =	2 fi м ч./ (о •	(5.18)
		/= i
Матричное представление
Поскольку векторы фг	в первом методе или векторы		во втором можно

представить я-мерным набором коэффициентов (вектор-строкой), линейное пре образование может быть представлено таблицей из я X я скаляров — матри цей. Для получения такого представления положим

105

		Ф/ (0 — 2 hji	фj (t) ,	(5.19)
		Ф/ (0 — 2 hji	фj (t) ,
где	bjt = Wi. Ъ) = {ЭВчи б})-			(5.20)
	bjt = Wi. Ъ) = {ЭВчи б})-			(5.20)
Теперь,	подставив (5.19) в (5.14), получим
	п	п	п
	</(0=2	2 ^«гф;(0= 2 РуфПО.		(5.21)
				(5.21)
		аг = (х, ег)
	Pi — (у> 0j)— 2		а‘	(5.22)
		/= 1
или, в обычных матричных обозначениях,
		Р =L «,
где а	и р есть «-мерные векторы, являющиеся представлениями х и у по бази
сам в ЗС и У соответственно; L — матрица размером « X п с элементом				=

=(<£W bl) в t-й строке и /-м столбце, представляющая преобразование S3.

Упражнение 5.1.

Показать,

что область

значений {у; у =

S6x,

ЗС }

и нуль-пространство

{ х ; ^ х = 0 } есть линейные

пространства. Если число

измерений ЗС есть «, то показать,

что сумма

числа измерений области значений

преобразования и нуль-пространства равна «.

Упражнение 5.2.

Пусть матрица L есть представление S3 согласно (5.22).

Показать, что определитель L равен нулю тогда и только тогда,

когда S3 имеет

нуль-постранство, отличное от нуля.

Упражнение

5.3.

Показать,

что элементы

= (S3 <fj,

0j),

матрицы

L в (5.22) можно выразить в форме Хц — (<pj,

to;),

где { м ;}

определены со

гласно (5.17).

Рассмотрим два линейных преобразования: S31

: ЗС -*■

Упражнение 5.4.

-►у- и й?2 : °У -> ЗС,

где ЗС, ^

и Ж «-мерные линейные пространства;

‘ty

со

держит область значений преобразования SBlt

& ЗС — ту же область

для

S32.

Выбрав произвольные базисы для ЗС, <У~ vCS£, показать, что составное пре

образование

S3 =

S32,

S3X представляется

обычным произведением

матриц

L = L2Lx, где

L2 — матрицы, представляющие S3\ и S32 соответственно.

5.4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ

В ПРОСТРАНСТВЕ L 2 (Т )

Рассмотренные представления удобны для конкретных

преобразований,

но если мы попытаемся применить их для описания линейного

преобразования

вообще, рассматривая его как один из элементов множества линейных преобра зований, то здесь мы столкнемся с серьезными трудностями. Эти трудности связаны не столько с тем, что мы ограничили число измерений пространства входов, сколько с тем, что области значений могут быть существенно различны ми для разных преобразований. Класс преобразований, для которого все эти области содержатся в некотором одном «-мерном пространстве выходов, слишком узок и потому не представляет большого интереса. С другой стороны, класс ограниченных линейных преобразований, определенных на всем пространстве L2 (Т), включает большую часть преобразований сигналов, представляющих интерес для практики. Заметим, что ограниченное линейное преобразование, определенное на L2 (—оо, оо), всегда является линейным оператором, поскольку согласно (5.6) отображения ограниченных сигналов ограничены. С физической

106

точки зрения условие ограниченности оператора указывает лишь на необходи мую устойчивость реализующей данное преобразование системы в том смысле, что сигналу с ограниченной энергией на входе соответствует выходной сигнал также с ограниченной энергией.

С аналитической точки зрения линейные операторы, действующие в L2 (Г), удобнее всего представлять по отношению к непрерывным базисам, описанным

вгл. 4.

Всоответствии с этим, входные и выходные сигналы х (t) и у (/) могут быть

представлены функциями и (s) и v (s) соответственно по отношению к базисному ядру Ф (t, s):

		х (t)	u (s) ф (t , s) ds,						(5.22)
			S						(5.23)
									(5.23)
		</()—§ « (S)<P (. s) ds■
			s
Для оператора X имеем
		у (t) —X	х (t) u (s) ф (t,s) ds,						(5.24)
			S
где ф (t, s) =	Xq> (t,	s) — есть функция,		полученная в результате воздействия
оператора X	на ф (t, s), рассматриваемую				как функцию t			при фиксированном
параметре s.	Как уже упоминалось в гл.			4,	функция ф (t,		s)	может не принадле
жать L2 (Т).
Из (4.1 б) имеем
		«(«)= $ 1/(0 6(5. )•							(5.25)
			т
Комбинируя (5.24) и (5.25), получаем
	v (s)	^ и (о) ф (t,	а) 0 (s,	t) dadt		L (s,	а) и (о) da,		(5.26)
где		т S
где
		L(s, а)	0 (s,		o)dt.				(5.27)
			Т

Аналогия между (5.27) и соотношением (5.20) для дискретного случая очевидна. Дискретные переменные / и i в (5.20) заменены непрерывными пере менными s и сг в (5.27), а представления для входных и выходных сигналов по от ношению к базису ф (t, s) получены интегральными преобразованиями. Интег

ральное	преобразование и, следовательно, оператор, характеризуется ядром
L (s, а),	аналогичным матрице L в (5.22). Из (5.27) мы видим также, что ядро пол

ностью описывается набором откликов на базисные синалы ф (t, s), рассматривае мые при всех значениях параметра (рис. 5.3).

В качестве конкретного примера рассмотрим вначале часто используемый базис ф (t, s) = б (t — s) при Т = S = (—оо, оо). В этом случае мы имеем просто и = х и v = у. Реакция на базисные сигналы ф (t, s) — h (t, s) есть импульсная

реакция цепи. Как функция t,	импульсная реакция есть отклик на входной им
пульс, приложенный в момент времени s. Из (5.27) имеем
	ОО
L(s, а) =	^ б (s—t ) h ( t , a ) d t —h ( s , a ) i	(5.28)
	—ОО

107

Следовательно, один из способов характеризовать отношение вход—выход состоит в использовании в качестве ядра импульсной реакции

		ОО
	y ( t ) =	^	h(t, т) х (т) dx.	(5.29)
		—	СО
Другим часто используемым базисом является				ф (/, s) = e*2nst, причем
Т = S = (—оо, оо).	Такой базис приводит к частотному представлению сигна
лов и операторов.	Здесь u — X	и	v = У , причем	X и У — преобразования

Фурье от х и у. Применяя импульсную реакцию цепи, находим отклик г)’ (С
s) на базисные сигналы cl2ltst.	Согласно (5.29)
		СЮ
я)J(t,s)=		^	h(t, x)e'2nsXdx.	(5.30)
		—ОО
x(t)			y(t)=&-x(i)
x(t)			v(s)=fs L(s,6)u (6)d6
u(s)			v(s)=fs L(s,6)u (6)d6
y>(t,s)			ip(t,s)-£-^(t,s)
(базис)			(отклик на базис)
Рис. 5.3. Свойства линейного преобразования сигнала.
Следовательно, из (5.26) и (5.27)
		ОО
У (И =		§	H(f, v)X (v)dv,
		---- СО
где
ОО
H(f, v )= ^	h(t,		т) e ~ /2ltf* e/2ltvt dtdx.	(5.31)