Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5.5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ. ДЕЙСТВУЮЩИХ В L2 (Г)

Представляя операторы в L2(T) функциональными ядрами интегральных преобразований, мы обошли важный вопрос о конечных численных представле­ ниях для этих операторов. Существо проблемы в том, чтобы найти оператор,

выражаемый матрицей размера п X п,

как в § 5.3, который дает подходящее,

в некотором смысле, приближение для

интересующего нас оператора в L2 (Т).

Полезный и прямой путь состоит в ограничении области определения конечно­ мерным подпространством из L2 (Т), в кото­

ром множество входных

сигналов

адекватно

 

 

 

 

представимо

линейными

 

комбинациями

ко­

 

 

 

 

нечного числа базисных

функций. Например,

 

 

 

 

можно принять, что первые п

функций

одной

 

 

 

 

из полных ортонормальных

систем,

описан­

 

 

 

 

ных в § 3.3,

обеспечивают

адекватное

пред­

 

 

 

 

ставление для всех входных

сигналов.

Было

 

 

 

 

бы совсем удобно представить выходные сиг­

 

 

 

 

налы относительно того

же

базиса.

В соот­

 

 

 

 

ветствии со

сказанным,

обозначим через

Мп

 

 

 

 

подпространство, натянутое

на

{ф*; i =

1,2,

 

 

 

 

..., п }.

В общем случае изображения векторов

 

 

 

 

х £ Мпоператором SS в L2 (Т), который мы хо­

Рис. 5.4. Приближение операто­

тим аппроксимировать, не содержатся в Мп.

Выберем в качестве аппроксимирующего

та­

ра,

действующего в L2(T), в ко­

кой оператор SSn, который

отображает

х в

нечномерной

области.

 

ортогональную проекцию

изображения

у =

 

 

 

 

= SS\

на М п. Это иллюстрируется на рис. 5.4.

 

 

 

 

Согласно (3.9) ортогональная проекция у на Мп есть

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

У (t)=sen x ( t ) =

^

(у,

0г) ф г ( 0 = 2

°i)(Pi(0>

(5.54)

 

 

 

 

 

I—1

 

 

 

 

i = 1

 

 

 

а х£Л4п выражается так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( t ) =

 

п

ajq>j(f);

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

«/ =

(х,

6j);

/ =

1, 2........п.

 

 

(5.55)

Поэтому, подставляя (5.55) в (5.54), получаем

 

 

 

 

 

 

y{t )= 2

 

2

 

 

 

бг) a j

Фг ( 0

= 2

Р г ф г ( 0 = ^

 

 

 

i ss 1 / = 1

 

 

 

 

 

г — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^Р г=

2

 

 

 

= ^ = L*-

 

(5.56)

 

 

 

 

 

 

/•■=1

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом, оператор

 

 

представляется п X п

матрицей

L относительно

базиса

{фjj

i — 1, 2, ...,

п}. Элементы матрицы L имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

Xij = (SS?j,

б;).

 

 

 

(5.57)

Пример 5.1. Чтобы проиллюстрировать применение представления опе­ раторов матрицей, рассмотрим пример, в котором входные и выходные сиг­ налы представляются рядами по смещенным во времени функциям. Пусть Мп — подпространство, натянутое на {<рг-; ф; (<) = ф (t—ix), г= 0, 1, ..., п— 1}, гдеф; (i) — ортонормальные интерполяционные функции. Выбрав п достаточно большим, а т достаточно малым, можно получить произвольно точное представ­

113

ление сигнала на интервале 0 < t < (п — 1) т. Теперь положим, что X — инвариантный во времени оператор, соответствующий цепи с импульсной реак­ цией h (t). Тогда

оо

SB-ffj ( 0 = J

h ( t —а) ф (а—jx)do=ty (1— /т),

(5.58)

где ф = h <gj ср есть отклик

цепи на базисный интерполяционный

импульс ф.

Зная этот единственный импульсный отклик, мы можем полностью описать опе­ ратор Х п, так как из (5.57) имеем

 

 

 

ОО

 

—/т)ф(/—ix)dt =

 

h } = (Se-ij,

? г )

=J

Ф ( *

 

Оо

 

— ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [

1)3 (а) ф (а —(t — /) т) da=hi_j.

(5.59)

Таким образом, матрица

L может быть построена путем последовательных

сдвигов 2п — 1 элементов

{hf,

i =

0,

±1,

±2, ...,

±(п — 1)}:

 

-h0

 

h-t- • -hi-n

 

 

 

hx

ho

h-1- • - hi-n

 

 

L=

h2

 

ho . ■•h3-n

 

 

 

-hn-i

hn _ 2

■■ho

-

 

Множество из п таких элементов {hf, i = 0,

1, 2.......

(п — 1)>

образует вектор-

строку, представляющий исходный импульсный отклик i|) (/), спроектированный на Мп,

П—1

 

 

 

 

 

 

Ф (0 = 2

A i9i(0-

 

 

(5.61)

 

 

 

 

 

 

/

=

о

 

 

 

 

Здесь

учтено,

что {фг-;

i =

0,

1, 2, ...,

 

п — 1} — ортонормальная система.

 

Если

X

— физически

реализуемый

оператор

[h (t) = 0 для t

< 0], то

элементы {Л;; i — —1, —2, ...,

1—п} должны быть малыми. Приняв их равными

нулю, получим треугольную матрицу

L (все элементы выше главной диагонали

равны нулю),

и

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi — 2

%ij

 

2 hi - j &j ’

1 = 0 ,

1 ,...,

П—1,

(5.62)

 

 

 

/= 0

 

 

/= 0

 

 

 

 

 

 

где

а и

g — вектор-строки,

представляющие входной

и выходной

сигналы

соответственно. Из формулы (5.62) ясно, что она описывает просто правило ум­ ножения полиномов; это приводит к некоторым описаниям, применимым в зада­ чах о преобразовании физически реализуемыми цепями сигналов, представлен­

ных сдвинутыми во времени функциями,

например, к описанию

посредством

г-преобразования [9]. Чтобы показать это,

введем полиномы (п — 1)-го порядка

л—1

л—1

 

А ( г ) = 2

a i 2' и Н (г)=

2 ^ г 1.

(5.63)

г =

о

 

г = о

 

Тогда п первых коэффициентов полинома

2л—2

 

 

В {z) = H (z) A (z)=

 

(5.64)

2

P i 2'

.

 

1—0

 

 

имеют значения, соответствующие отсчетным значениям выходного сигнала. Остальные коэффициенты в В (г) представляют ту часть выходного сигнала,

114

которая оказалась вне Мп, но эти коэффициенты малы, если малы коэффициен­ ты высоких порядков в А (г) и Н (г).

Рис. 5.5 иллюстрирует случай ступенчатой аппроксимации сигнала, по­

лучающийся при

прямоугольном

интерполяционном импульсе qp. Мы полагаем,

что исследуемая

цепь

есть однозвенный

PC-фильтр; и для упрощения выби­

раем т = 1 и RC = 1.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

h (t)=Q

при t > 0;

 

 

 

 

1—

при 0 < t <

1,

 

 

^ (0 = | (е— 1)

 

при t >

1;

 

 

 

 

«•+1

 

 

 

 

А* = (Ф.

? г ) =

i

$(t)dt =

 

 

0,368

для

г'=0,

 

 

 

1,085е_‘ для

(' > 1.

 

 

* а )

Линейная

 

 

 

 

инвариантная

 

 

ос

 

во времени

 

 

J3

 

 

цепь 7т(£)

 

 

 

yp(t)

__ _I_I I_I ' ' ' '

0 1 2

п t

а

B (z)=(1+3z + 2 z 2- z 3+0+ 0,5z *+...)(Q,37+0,HOz +0 ,15г 2+

+0 ,0 5 z3+ ,.)= 0,37+ 1,51z ->-2,09z г+0,9 7 z3+0,05z 0 ,1 4 z5+...

Рис. 5.5. Пример представления инвариантного во времени оператора с помощью смещенных во времени базисных функций: отклик на базисный импульс (а): от­ клик на произвольный сигнал (б).

Упражнение 5.8. Пусть

i =

1, 2,

...,

п)

— другой базис для того же

пространства Мп, натянутого на {фг;

i =

1, 2,

...,

«}. Показать, что матричное

представление (5.57)

для SS по отношению к новому базису есть L = Г - 1 ЬГ,

где элементы п X п

матрицы Г имеют вид у,-/=

6,-). Говорят, что матрица

L связана с L преобразованием

подобия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П5

Упражнение 5.9. Показать, что операция ортогонального проектирова­ ния любого х £ L2 (Т) на Мп может характеризоваться вырожденным ядром

 

Р ( t , s ) = 2 j W (0

W-

Соответствующий оператор

называется оператором ортогонального проекти­

рования. Показать, что

— идемпотентный

оператор, т. е. 0О%= &. Какова

норма ^й?

 

 

Приближение операторов по норме

Как только мы попытаемся исследовать степень приближения оператора S3, действующего в L2 (Г), посредством его матричного представления 33п, по­ лучаемого согласно (5.57), выявляются недостатки такого представления. Труд­ ность состоит в том, что в Мп существуют точки, для которых величина ошибки || SSx — S3„x || может быть велика, и, более того, эту ошибку не всегда удается уменьшить простым увеличением п. Трудно ответить на вопрос, связан ли этот недостаток со свойствами исходного оператора S3 или дело здесь в том, как мы выбираем подпространство Мп. Чтобы обойти этот вопрос, будем считать, что

область определения всех рассматриваемых нами операторов есть L2 (Т).

Тогда

S5n — это вырожденные операторы вида

 

 

у (t)=S5n -x(t) = \ Ln (t, s)x(s)ds,

(5.65)

f

 

где

 

 

Ln (t, s)=

4>t (O0*(s)

 

/= 1

И

Ifi (0=<2?-ф*(0-

Поскольку мы определили норму операторов (5.8), можно характеризовать расстояние между оператором и его приближением в порождаемой этим опреде­ лением метрике:

d (SB, SSn)—\\S5~-S5n К= sup {\\S3x— S3n x ||; || x || < 1, x £ L2 (T)}. (5.66)

Такой подход приводит к задаче, несколько отличной от задачи об аппрокси­ мации сигналов в L2 (Т) полными ортонормальными системами. Мы хотим найти

в L2

(Т) двесистемы функций {ф^ (^);

i =

1, 2, ...}

и {0, {t)\

i = 1, 2, ...}, та­

кие,

что соответствующий вырожденный

оператор

SBn (5.65)

аппроксимирует

произвольный оператор S3 в том смысле,

что || S3

— S3n || может быть сделана

произольно малой за счет достаточно

большого п. Для расширения возможных

применений мы будем далее считать,

что функциональное пространство есть

L2 (—оо, оо).

 

 

 

 

Компактные операторы

Может показаться, что при достаточно большом п любой ограниченный опе­ ратор можно с желаемой точностью аппроксимировать вырожденным оператором порядка п. Это неверно, и имеются простые примеры ограниченных S3, для кото­ рых ни одна последовательность {53п} не сходится по норме к S3 при п -+ оо. Трудность заключается в том,что вырожденный оператор имеет конечномерную область значений, и, следовательно, может аппроксимировать только те опера­ торы, для которых область значений ограничена как-то так, что все ее точки близки к конечномерному подпространству. В частности, требуется, чтобы мно­ жество отображений точек единичной сферы {х; || х || = 1} было близко к ко­ нечномерному подпространству. Не достаточно, чтобы это множество отображе­ ний было просто ограниченным. Рассмотрим в качестве примера тождественный

Ив

оператор, который является ограниченным. Отображения ортогональной после­ довательности {фг (0; i — 1, 2, ...} образуют ограниченное множество, но рас­

стояние между любыми отображениями равно~]/2; следовательно, для любого за­ данного конечномерного подпространства мы можем найти ф;, которое не явля­ ется достаточно близким ни к одной точке этого подпространства. Для того что­ бы оператор мог быть аппроксимирован вырожденным оператором, необходимо наложить на отображение единичной сферы более жесткое условие, чем огра­ ниченность. Такое условие связано с понятием о равномерной ограниченности множеств. Множество S с введенной в нем метрикой d называется равномерно

ограниченным, если для

любого в > 0 существует

конечное

подмножество

{х,; i ~ 1, 2, ..., N (в)},

называемое е-сетью, такое,

что d (х,

х;) < е для не­

которых i и любых х из S. Другими словами, множество S достаточно «компакт­ но», и можно выбрать конечное число N (е) точек множества, таких, что любая другая точка множества находится не больше, чем на расстоянии &от одной из выбранных точек. Равномерная ограниченность в метрическом пространстве

эквивалентна более общему

понятию компактности в абстрактных топологи­

ческих пространствах [1]. Легко видеть, что равномерно ограниченное множе­

ство близко

к некоторому конечномерному подпространству: мы можем пост­

роить базис

из точек е-сети,

и подпространство, натянутое на этот базис, бу­

дет содержать точки отстоящие не дальше чем на е от любой точки множества.

Теперь предположим, что подмножество Мп , содержащее s-сеть для множе­

ства {J6x; || х ||

= 1), натянуто на {(р,-

(t)\

i — 1, 2, .... я}. В качестве аппрок­

симирующего оператора 5Вп мы выберем

оператор, который отображает х в

ортогональную

проекцию X х на Мп,

т.

е.

п

SGn-x{t)= 2

( ^ х > 0г) фг (0-

(5-67)

i= 1

 

 

Следовательно, 56п х есть точка в Мп,

ближайшая к 56х, и

поскольку Мп

содержит е-сеть для отображений единичной сферы, то

 

на?—а?пП<е,

(5.68)

где е может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большом п. Для получения функционального ядра вырожденного оператора 56п перепишем

(5.67) иначе:

2 n - x ( t ) = 2

j

j L(o,

s) x (s) вИ (a) ds do

ЧЧ V) =

 

 

i = 1

—00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

2

 

ч>г (0

]'

*(s)<m (s) ds>

 

(5.69)

 

t=i

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПО

 

 

 

 

CO; ( t ) = 3 1 '

-Oi (() =

J

I *

(or, t ) e i ( a ) d a ,

(5.70)

 

 

 

 

— OO

 

 

 

причем 56' — оператор, сопряженный с 56, определенный в § 5.7.

 

В результате, функциональное ядро оператора 56п

есть

 

 

 

 

 

П

 

 

 

(5.71)

 

Ln it, s ) = 2 f > (0®? (s) '

 

 

 

 

i= 1

 

 

 

Операторы,

обладающие

 

свойством

отображать ограниченные

множества

в равномерно

ограниченные

 

(компактные),

называются компактными или

вполне непрерывными [2, 3]. Мы видим, что задача аппроксимации была бы не­ сложной, если бы не трудность нахождения е-сетей для операторов. Для более

117

Смотрите также файлы