Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

узкого класса операторов метод спектрального представления, рассматривае­ мый в § 5.7, удобен для отыскания наилучшей аппроксимации. В заключение данного параграфа рассмотрим некоторые операторы с точки зрения их ком­ пактности.

Как уже отмечалось, тождественный оператор не является компактным. Действительно, любой инвариантный во времени оператор (свертка) не компак­ тен в L2 (—оо, оо) (см. упражнение 5.10), даже, если функция импульсной реак­ ции принадлежит L2 (—оо, оо). Используя частотно-временную дуальность, можно легко показать, что и оператор стробирования не компактный; однако, как будет показано ниже, последовательное соединение этих двух операторов

может быть компактным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие компакт­

Операторы Гильберта—Шмидта. Удобное достаточное

ности состоит в том, что ядро

оператора должно быть функцией с интегриру­

емым квадратом (операторы

Гильберта—Шмидта)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

( L ((,

s) j^dtdsCoc.

 

 

 

 

 

(5.72)

 

 

 

 

jf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представляется

естественным

искать

представление

для

такого

ядра

L (t, s)

с помощью разделимых ядер Ln (t, s). Это действительно можно сделать,

и можно показать [3],

что Ln

(t, s) сходится к L

(t, s) в том смысле,

что,

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jj’ lL ( n s ) —Ln (t, s) |2 dtds

 

0

при n ^

oo,

 

 

(5.73)

если L

(t, s) удовлетворяет условию (5.72),

и ядра в (5.73)

имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.74)

 

 

 

 

Ln (t, S)= 2

Ь

 

(*)ef(s),

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

£= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% ( 0 =

L(t,

s) Фг (s) ds

 

 

 

 

 

и {6j}

есть сопряженный

базис для полной системы

г = 1,

2,

... }. Мно­

жество

г = 1, 2, ... } принадлежит L2(—оо,

оо), поскольку SB ■— ограничен­

ный оператор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы пояснить, почему оператор Гильберта—Шмидта отображает еди­

ничную сферу в компактное множество, положим,

что {cpi} — ортонормальная

система, так

что 0г =

<рг,

тогда, объединяя

(5.74)

и (5.73),

получаем

 

00

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

J]

| L(t,

s) — Ln (t, s) \2dt d s=

jj‘ \L

(t, s)\2dtds— y

||фг-|2 >

0.

(5 75)

— 00

 

 

 

 

— oo

 

 

 

 

i =

i

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

II ФiII2 <

00.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i —1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. e. только конечное число отображений фгисходных базисных векторов чц i может заметно отличаться от нуля. Поэтому мы можем считать, что область зна­ чений оператора SB «приблизительно» конечномерная.

Покажем, что SBn в нашем случае действительно стремится к SB. Для этого обозначим

Чп (t) —

-

1/2

I L (t, s)—Ln (t, s) Is ds

(5.76)

118

Тогда согласно (5.73) qn (t) принадлежит L2, и

|| ->0

при п ->■ оо. Исполь­

зуя неравенство Шварца, получаем

 

 

*

\ SS- x( t ) - SSn -x (О!2 «<7п(*)1М2-

 

Следовательно,

 

 

 

I! S e x - S B n X f

<\\qn IP II х

I P ,

 

T. e.

при n ->■oo.

(5.77)

|| SB—SSn || -> 0

Пример 5.2. Для иллюстрации применения этого простого условия, достаточного для компактности оператора, рассмотрим произведение опера­ торов, получающееся при каскадном включении инвариантного во времени опе­ ратора и оператора стробирования, как показано на рис. 5.6. Для SB = SB]SB2 имеем

 

СО

 

 

 

L{ t , т )=

J h ( t ,

a) L2(o, т) da —

 

 

-----ОО

 

 

 

ОО

 

 

 

 

= J h(t — о) 8 (о —i)w (о) da = w (т) h (t—т).

(5.78)

Оператор Инвариантный

 

стро&ира-

во времени

 

 

вания

оператор

 

 

х

И м п у л ь с ­

 

 

н а я

 

 

 

 

р е а к ц и я

l( t,r) = zofc)h(-£ -т)

 

 

h (t]

 

 

^ (t,T) = h (t - z J

w (t )

L (tfr) = w (t)d'(t-T)

а

Рис. 5.6. Примеры операторов Гильберта — Шмидта

при

||w|l<oo

и ||h|] < оо.

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

j j \ L( t ,

т) |2di!rfT= JJ \w(x)\2 \ h ( t — T)|2d(cfx —|| w f

||h ||2.

(5.79)

— OO

— oo

 

 

 

Следовательно, результирующий оператор есть оператор

Гильберта—Шмидта

(компактный) в том случае, если w (t) и h (t) принадлежит L2 (—оо, оо),

хотя по­

рознь операторы

и SB2 не компактны. Аналогично для

произведения SB =

= SB2 SB-l получаем

 

 

 

 

L (t, т) = w (t)h (t — t)

 

 

 

и

со

 

 

j j | L(i, т) |2<ftdT= ||w||2||h(j2,

(5.80)

— СО

 

 

так что такое произведение также

есть оператор Гильберта—Шмидта, если

w (t) и h (i) принадлежат L2 (—оо, оо).

соответствующий

Чтобы определить, является ли

компактным оператор,

некоторой физической системе, часто полезно иметь в виду,

что каскадное сое­

динение (в любом порядке) одной из схем, показанных на рис. 5.6, и произволь­ ного ограниченного оператора также дает компактный оператор (см. упражне­

ние 5.11).

Показать,

что

инвариантный

во

времени

оператор

 

Упражнение 5.10.

в I 2 (—оо, оо) — не компактный. Показать, что оператор стробирования также

не компактный.

 

 

 

 

 

 

0,

± 1,

±2,

Указание', является ли множество lx,; Х( (t) — х (t — »т), г =

...} ограниченным в L2 (—оо,

оо)?

Является ли

множество {уг =

h ® хг-;

г =

0, 1, 2, ... } равномерно ограниченным?

 

 

 

 

 

 

Упражнение 5.11.

Показать,

что каскадное соединение (в любом порядке)

ограниченного и компактного оператора дает компактный оператор.

 

 

 

5.6. РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

 

 

 

Имеется обширная литература по методам физической реализации цепей,

операторы которых обеспечивают приближение к желаемым

инвариантным во

времени операторам. Соответствующие

методы сводятся

в основном к аппрокси­

мации нужной импульсной реакции (приближение во

временной области)

или

передаточной функции (приближение в частотной области). Если аппроксимация выполняется с помощью экспоненциальных функций времени, или соответственно рациональных функций частоты, то получается оператор цепи конечного поряд­ ка, и для отыскания конкретной схемной реализации применимы классические методы синтеза цепей.

Для более широкого класса инвариантных во времени операторов методы синтеза реализующих цепей разработаны далеко не столь полно. Однако имеется ряд канонических схем, которые (при некоторых модификациях) могут реали­ зовать произвольный вырожденный оператор. Следовательно, в свете сказанного в предыдущем параграфе мы можем считать,что существуют способы прибли­ женной реализации для любого компактного оператора.

Упомянутая необходимость в модификациях связана с тем, что реакция физической системы не может быть упреждающей. Используя временное пред­ ставление вырожденного оператора й -го порядка, мы видим, что его импульсная реакция разделима:

П

Ln (t, т) = А (/, т )= ^ 'Фг (0 0* (т) •

(5.81)

Выходной сигнал у = §вп х зависит, таким образом, от скалярных произ­ ведений (х, 0j), которые нельзя вычислить за конечное время, кроме тех слу­ чаев, когда х или 0гесть функция конечной длительности. Другими словами, система должна «увидеть» входной сигнал целиком до того, как она сможет дать правильный сигнал на выходе. Это позволяет понять условия, при которых опе­ ратор вида (5.81) может быть физически реализован. Если входной и выходной сигналы можно считать ограниченными по времени, например интервалом 0 < t < Т, то скалярные произведения могут быть получены с помощью умно­ жителей и физических интеграторов:

t

 

J 0* (т) х (т) d% —(x, 6;) для t > Т.

(5.82)

о

120

Таким образом, принимая, что функции (I) ограничены тем же времен­ ным интервалом, и допуская задержку на Т сек и более, мы можем получить желаемый выходной сигнал, с помощью набора выходных умножителей, вклю­ ченных, как показано на рис. 5.7.

Допустимая во многих устройствах обработки задержка на длительность сигнала Т есть, таким образом, условие, необходимое для схемной реализации импульсой реакции конечного порядка (5.49).

Не удивительно, что рассмотренная схемная реализация импульсной ре­ акции (5.81) не является единственной. Известны общие методы получения экви­ валентных реализаций [8, 10].

Рис. 5.7. Каноническая схемная реализация вырожденного оператора с вре­ менной задержкой.

Эквивалентные реализации применяются для преодоления некоторых практи­ ческих ограничений. Например, нередко приходится удовлетворяться не иде­ альными интеграторами, а интеграторами с «утечкой», имеющими импульсную

реакцию е~а‘*; t > 0; aj > 0. В этом случае импульсная реакция цепи, пока­ занной на рис. 5.7, будет

h(t, т )= 2 Ъ (* ~ Т )е а‘ 'в ? (т)е°‘ *.

(5.83)

i—1

 

Однако из (5.83) ясно, что нужная импульсная реакция может быть полу­ чена в аналогичной схеме, но с измененными умножителями, как показано на рис. 5.8.

Можно построить и другие эквивалентные схемы, содержащие п каналов с входными и выходными умножителями, разделенными инвариантным во вре­ мени блоком. Такие эквивалентные схемы легко получаются на основе хорошо известного метода переменных состояний, используемого для описания систем.

121

Соответствующие результаты кратко изложены ниже. Пусть инвариантная во времени часть схемы рис. 5.9 есть 2п-полюсник, описываемый системой из я уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

.

л

 

 

—

zi ( 0 = 2

1’= 1 > 2........ п •

(5.84)

dt

/= 1

 

 

Полная схема, эквивалентная приведенной на рис. 5.7, получается, если изменить опорные функции умножителей согласно следующему правилу:

6 * (0 = 2 ci h(t)Q*k (t),

k=1

 

/ = 1 , 2 ,..

я,

(5.85)

п

 

 

 

 

Ф* (0 = 2

bki ( t ) ^ h { t - T ) ,

 

 

k= 1

 

 

teik) и

 

где зависящие от времени

матрицы

преобразования С

в =

задаются в виде

 

 

 

 

 

С = еА',

'

 

(5.86)

 

 

 

 

в = с - 1= е- А<,

причем А есть я X я матрица (возможно, комплексная), характеризующая инвариантную во времени часть реализующей схемы.

Интеграторы с затуханием

Рис. 5.8. Схемная реализация, эквивалентная приведенной на рис. 5.7.

С этой более общей точки зрения реализция с помощью схемы рис. 5.8 получается при диагональной матрице А, а с помощью схемы рис. 5.7 — при нулевой матрице. Интересно заметить, что рассмотренная «-канальная основ­ ная структура применима в качестве канонической формы для представления

122

Смотрите также файлы