Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

цзпей с периодически изменяющимися во времени параметрами [11], в кото­ рых условие о конечной протяженности сигналов не налагается. Заслуживает внимания и тот факт, что бывают нетривиальные случаи, когда величины 0,- и ф, постоянны, и рассмотренная n-канальная схема эквивалентна инвариантной во времени цепи (см. упражнение 5.12). Это приводит к некоторым полезным приемам для получения других реализаций передаточных функций с помощью инвариантных во времени цепей [12] при ограничениях не столько на про­ тяженность сигналов, как рассматривалось выше, сколько на полосу частот на входе и на выходе.

Упражнение 5.12. Показать, что изображенная на рисунке двухканальная схема, содержащая одинаковые инвариантные во времени блоки, включенные между умножителями, эквивалентна некоторой инвариантной во времени цепи. Какова передаточная функция этой цепи?

5.7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ

Методы представления, которые мы рассматривали до сих пор, можно трактовать как обобщение конечномерного представления, описанного в § 5.3, использующего отображения базисных функций.

123

Теперь рассмотрим обобщение другого метода (5.16), где преобразование представляется некоторым множеством входных векторов {to;}. Вначале мы оп­ ределим подмножество векторов S, инвариантных относительно оператора SB в том смысле, что без учета масштабных множителей они преобразуются сами в себя

S = {x; <2?х=Ях, Х(^С].

(5.87)

Во многих случаях множество S вместе с соответствующим

множеством

масштабных множителей полностью определяет оператор и это приводит к очень удобной форме представления. Чтобы показать, каким образом это достигается, мы снова рассмотрим второй метод §5.3 для случая одинаковых входного и вы­ ходного пространств.

Положив в (5.17)

срг- =- tfi, получим

 

 

 

 

® /(О = ?(0 у ,

ФО 0f (/),

(5.88)

где

 

Ь (t)=SS<ti (О-

 

 

 

 

Теперь предположим, что базисные функции

(t) выбраны из S:

 

 

'fidS=$~b(t)=%№(t)--

(5.89)

Тогда (5.88) принимает вид

 

 

 

 

 

(Oj(t)=XjQj(t).

(5.90)

Подставляя (5.90)

в (5.16), получаем отображение любого х в-лространст-

ве, натянутом на

:

 

 

 

 

y ( t ) =5 B- x ( t ) =2lXj’ (x,

0j)q>j(t)=2Pj<pj(()=*-Pj =

 

 

i

 

i

 

 

 

= kja.j

для

всех /.

(5.91)

Из (5.91) мы видим, что преобразование сводится к простому покоординатному сжатию для каждой компоненты вектора х.

В этом параграфе мы покажем, что для сравнительно широкого класса операторов множество S содержит достаточное количество линейно-независимых векторов, чтобы на них могло быть натянуто интересующее нас пространство, и преимущества представления (5.91) действительно могут быть реализованы. Мы увидим также, что в ряде случаев задача наилучшей аппроксимации опера­ тора становится аналогичной наилучшей аппроксимации сигнала с помощью ортогональных проекций.

Собственные значения и собственные пространства

Значения Я, при которых уравнение

SBx —Xx

(5.92)

имеет нетривиальные решения (х ф 0), называются собственными значениями оператора SB. Соответствующие решения (обычно нормированные) называются

собственными векторами (или собственными функциями в L2 (Г)). Уравнение

(5.92) может иметь несколько линейно-независимых решений для одного собст­ венного значения. Если имеется щ линейно-независимых решений для Я = Яг-, то говорят, что собственное значение Я; имеет кратность щ. гс;-мерное подпрост­ ранство Q{, натянутое на эти векторы, инвариантно относительно SS в том смыс­ ле, что х £ =>- SB х £ Q;. Это подпространство называется собственным пространством для данного Яг-. Для упорядочивания и нумерации собственных значений и собственных векторов, можно рассматривать только' различные значения Я, удовлетворяющие (5.92), и соответствующие им собственные нрост-

124

ранства; можно также нумерован, каждое Яг- гц раз и сопоставлять каждому соб­ ственному значению один собственный вектор. Оба эти способа бывают полезны.

Операторы, обладающие тем свойством, что их пространство входов натя­ нуто на их собственные векторы, называются простыми операторами [5]. Мы рас­ смотрим некоторые подклассы простых операторов, для которых можно развить сравнительно несложную теорию представлений.

Сопряженный оператор

Для определения этих подклассов простых операторов очень полезно по­ нятие сопряженного оператора. Оператор, сопряженный с SB, есть отображение SB', такое, что для всех х и у из области определения

(SBx, у) = (х, SB' у).

(5.93)

Из этого определения легко выводятся следующие свойства сопряженного опе­ ратора:

а)

SB' ( а х + Py) = aS?'x-|-f}S?'y,

(линейность)

б)

(SB')'=SB,

 

в)

(а25)’ = а *SB',

(5.94)

г) Ц5?' n = im ,

 

д)

|| % '% [1= 1SBSB' ||= || SB |Р,

 

е)

{se^SB%y=gs'<iSB[.

 

V (t,

Если L (t, s)

—

функциональное

ядро,

представляющее

SB, то ядро

s) оператора

SB'

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

V

(t, s) =

L* (s, t).

(5.95)

Если

SB — простой

оператор

с собственными

векторами {ф;},

то собственные

векторы оператора SB' представляют собой взаимные векторы {0*}, а соответст­ вующие собственные значения оператора SB’ комплексно сопряжены с собствен­

ными значениями

оператора SB.

положим х произвольным и рассмотрим

Чтобы доказать эти утверждения,

скалярное произведение:

 

 

 

 

(SB'Qi,

x )-(S ? '8 b 2 (х , 07.)Ф у)=2(0j,

х)(Ж '0ь Ф;-) =

 

= 2(0,/.

х)(0ь SBcfi) = 2

> X) (0/,

? / ) = ^ ( ° Ь

X)-

(5.96)

/

 

/

 

 

 

 

Поскольку

для

произвольного х (SB’ О;, х) =

(Я* 0г-, х), то

SB'bi =

Я* 0,.

Простые операторы, которые мы будем далее исследовать, называются нормаль­ ными. Эти операторы коммутативны со своими сопряженными. Если SBSB' = = SB' SB, то S3 — нормальный оператор. Собственные векторы нормального оператора совпадают с собственными векторами сопряженного оператора, т. е.

SB х =

Ях =>- SB'x = Я*х. Чтобы показать это,

рассмотим оператор

Ж — SB —

— Я «7, который

нормален, если

нормален

оператор S3, а также оператор

Ж' =

5?' — Х*У.

Мы имеем

 

 

 

 

|| Жх\\* = (Жх, Жх) = (х, Ж' Жх) = (х, ЖЖ' х) =

 

 

 

= (Ж' х,

Ж' х )=\ \ Ж' х ||2.

(5.97)

Следовательно, Жх — 0 тогда и только тогда, когда Ж' х = 0. Поскольку опе­ ратор SB нормален, собственные векторы операторов SB и SB' взаимны и тож­ дественны и можно ожидать, что эти собственные векторы образуют ортонормальную систему. Действительно, легко показать, что собственные векто­ ры, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Мы имеем

<?j) = (2?Фг. ¥/) = (¥г.

=

hj <fj) =Xj (<рг, <?j).

(5.98)

Следовательно,

если в

(5.98) X* ф Хр то

(tp*, <fj) = 0.

Для

собственных

значе­

ний,

кратность которых больше единицы,

мы

можем построить ортонормаль-

ную систему

(скажем,

с помощью

процедуры Грамма—Шмидта), на которую

будет

натянуто

соответствующее собственное

пространство.

Можно

сказать,

что собственные пространства

попарно

ортогональны,

т.

е.

(хг, xj)

=

0 для

xi £

Qj

и

Xj

£

Qj при i ф /. Таким образом,

мы установили,

что собственные

векторы

нормального оператора образуют

полную ортонормальную систему**.

 

Упражнение 5.13.

Проверить

свойства сопряженных

операторов

(5.94)

и (5.95).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 5.14. Записать импульсную реакцию и нарисовать схему,

реализующую

операторы,

сопряженные

с

операторами,

приведенными

на рис.

5.6.

При

каких условиях

на h (t)

и w (t) эти операторы нормальны?

 

Упражнение 5.15.

Показать,

что

инвариантный

во времени

оператор

нормален.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спектральное представление нормальных вырожденных операторов

Теперь применим предыдущие положения для представления вырожден­ ных операторов на L2 (—оо, оо). Как и прежде, запишем ядро оператора S6n, ранг которого равен п, следующим образом:

П

 

Ln(t, S ) = 2 l> i(O 0* («).

(5-99)

i—1

 

где О])* (/); i — 1, 2, ..., n) — линейно-независимые функции, на которые на­ тянуто подпространство Мп . Ясно, что Мп — инвариантное подпространство оператора S6n, и собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, расположены только в этом подпространстве. Если оператор SSn также нормален, то из (5.95) мы имеем

п

 

Ln(t, s ) = 2 0i (0 4>?(s)-

(5.100)

i=i

 

Следовательно, Мп натянуто также и на систему векторов {0j (t); i =

1, 2, ...,

п}. Отсюда следует, что нуль-пространство для S6n есть ортогональное дополне­ ние Мп, поскольку любой вектор, ортогональный ко всем {б;}, должен отобра­ жаться в нуль. Это бесконечномерное подпространство является собственным пространством Q0 для К = Я0 = 0. Таким образом, задача сводится к конечно­ мерной, т. е. к нахождению х £ Мп, которые являются решениями уравнения SBnx — Хх. Это эквивалентно такому уравнению:

 

 

(SSn х, 0;)—Мх, 0г)=О; /= 1 ,2 ,..., л.

(5.101)

Система

{?г-}

взаимна

по отношению

к {6;}. Поэтому, положив

в (5.101)

п

приходим

к матричному уравнению

 

х =

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

(L —Ы)а = 0,

(5.102)

где I — это

п X п единичная матрица,

a L — п X п матрица с элементами

^•ij ~ (Ф^> вг-).

Известно [4], что уравнение (5.102) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы L — Х\ равен нулю. Этот определи­ тель представляет собой полином п-й степени относительно X и называется ха-

*> Полнота системы следует из определения оператора. — Прим. ред.

126

рактеристическим полиномом для L. Таким образом ненулевые собственные значения оператора SBn являются корнями уравнения

Р (A,)=det [L—Я1] = 0.

(5.103)

Соответствующие собственные пространства определяются решениями

(5.102).

Множество собственных значений, которое приведет в конце концов к нужному

численному представлению оператора, называется спектром оператора (точнее

точечным спектром [2]).

Поскольку собственные пространства попарно ортогональны, полное про­

странство есть прямая сумма собственных пространств,

так что для произволь­

ного х £ L2 (—оо, оо) мы имеем

 

 

 

т

т

 

£gn x = 2!n (х0+ х 1+ х2-1-----+ хт) = 2 ^ ' xi =

2

х i (так как Я0 = 0),

 

г = о

i — 1

(5.104)

 

 

 

где хг £

— ортогональные проекции х на

здесь предполагается, что по­

лином Р (Я) имеет т < п различных корней. Ортогональные проекции могут

быть

охарактеризованы соответствующими

операторами проектирования SPi

(см.

упражнение 5.9), такими,

что 0>i х =

х* для любого х из L2 (—оо, оо).

Окончательно, SSn может быть

представлен

так:

П

S S n ^ 'Z h & i-

(5.105)

1= 1

 

Мы получили спектральное представление оператора SBn. Другая форма спектрального представления получается, если каждое собственное значение повторить столько раз, какова его кратность, так что спектр получается в виде {Яг-; i = 1 , 2 Используя соответствующее множество ортонормированных собственных векторов {»>,; i = 1, 2, ..., п), можно представить 5вп следующим образом:

 

 

 

 

S5n = ^ l l i &i ,

 

(5.106)

 

 

 

 

i= i

 

 

где

все

— одномерные операторы

ортогонального

проектирования, т. е.

@ 1

х (t) =

(х, <«,)

сог (t) для всех х из

L2 (—оо, оо). Функциональное ядро вы­

рожденного оператора S5n,

соответствующее спектральному

представлению,

имеет простое выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

Ln {t, S)=

 

 

(5.107)

 

 

 

 

t=i

 

 

 

Резюмируя

предыдущие

рассуждения, отметим,

что, как

мы показали,

для нормального оператора ранга п можно найти ортонормальный базис в об­ ласти его определения, такой, что изображение любой точки из области опреде­ ления получается простым покоординатным изменением масштаба для каждой из его компонент. Масштабными множителями служат собственные числа, опреде­ ляемые как корни характеристического полинома я-го порядка. Отметим также, что эти корни могут быть комплексными, даже если SB—действительный опера­ тор; это является важной причиной, указывающей на целесообразность приме­ нения комплексных пространств сигналов.

127

Спектральное представление нормальных компактных операторов

Обобщая предыдущие результаты, логично далее перейти от вырожден, ных операторов к компактным, действующим в L2 (—оо, ос). Поскольку мы пока зали,что компактные операторы могут быть аппроксимированы вырожденными’ следует ожидать, что имеется существенная общность в их спектральных пред­

ставлениях. Действительно, единственное различие состоит в том,

что в общем

случае компактный оператор имеет бесконечное число ненулевых

собственных

значений.

Мы можем показать, однако, что собственное значение Я* стремится

к нулю с увеличением г. Если принять обратное допущение, т. е., что Я,-

не стре­

мится к нулю, то должно существовать бесконечно много таких Я,,

что

| Я^ |

>

> б > 0.

Линейно независимое множество (у;; уг = SBxt,

|| х; || =

1}

в этом случае не будет равномерно ограниченным, и, следовательно, оператор SB не будет компактным. Отсюда непосредственно следует также, что для ком­ пактного оператора кратность любого ненулевого собственного значения конечна. Спектральное представление нормального компактного оператора имеет вид

С»

Ж = 2 Я , г $ г .

(5.108)

i ~ 1

 

Это уравнение является прямым обобщением (5.106). Функциональное ядро для SB выражается через собственные векторы следующим образом:

СО

 

ч * . s)= 2 Jb i© i(0 « > ?(s>-

(5. 109)

/=1

 

Это ядро называется ядром Гильберта—Шмидта при условии, что

2 I I2 < °°- i= 1

Часто полезно упорядочить собственные значения так, чтобы они образовали невозрастающую последовательность:

( Ят |X Яг ! X Я3 1> • • •

(5 .110)

Когда это сделано, первое собственное значение приобретает особое значение,

так как оно равно норме оператора.

Чтобы показать это, положим, что

 

 

ОО

 

 

 

 

*(*)--= 2

*(о.

 

 

 

тогда

k= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8а?хк*=(я?х, s?x)=

оо

 

(5.111)

k=i

 

Если jj хlj= l, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

laftl2= l.

 

(5.112)

*=

1

 

 

 

 

и сумма в (5.111) достигает максимума

при [ ^ 1 =

1, |a fel

= 0 при k > 1.

Таким образом,

 

 

 

 

 

т

м х

-

 

(5.113)

Одно из практических применений спектрального представления достаточ­

но очевидно. Если мы хотим определить оператор цепочечной схемы (рис.

5.10).

состоящей из одинаковых звеньев,

нужно возвести

оператор

SB одного

звена

в k-ю степень.

 

 

 

 

 

128

Смотрите также файлы