Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Учитывая (5.108), имеем

i = 1

Обобщением схемы рис. 5.10 является часто применяемый в устройствах обработки трансверсальный фильтр, показанный на рис. 5.11. Используя фор­

мулу (5.108) для представления оператора одного звена, получаем для фильтра в целом

определяет собственные значения трансверсального фильтра через собственные значения звена. Мы получили удобную схему для реализации широкого класса операторов, так как обычно нетрудно выполнить требуемое усиление в каждом отводе цепочки. Если все собственные значения оператора звена SB различны, то, изменяя коэффициент усиления, можно реализовать произвольные k собст­

венных значений оператора SB для фильтра в целом.

Рис. 5.10. Спектральное представление цепочки одинаковых звеньев.

Теперь обратимся к вопросу о наилучшей аппроксимации компактного опе­ ратора с помощью вырожденного оператора ранга п.

Для некоторого подкласса нормальных операторов спектральное представ­ ление приводит к ясному результату и простому выражению для ошибки аппрок­ симации. Речь идет о подклассе самосопряженных операторов, определяемых соотношением SB' = SB. Прежде всего отметим, что собственные значения сопря­ женного оператора всегда вещественны. Поскольку самосопряженный оператор

нормален, то SBxi = X;xj =$-SB'xi X*xi, следовательно, X* = X/. Предполо­ жим далее, что собственные значения упорядочены согласно (5.110), т. е. обра­ зуют невозрастающую последовательность.

В качестве аппроксимирующего оператора SBn для компактного самосо­ пряженного оператора SB мы возьмем его спектральное представление, в котором просто отброшены члены порядка выше п:

ОО п

показывает, какого порядка нужно взять аппроксимирующий оператор, чтобы получить необходимую точность.

В заключение рассмотрим кратко спектральные представления для некото­

Рис. 5.11. Спектральное представление трансверсального фильтра.

130

v

Указание: использовать результата упражнения 5.8 и следующее свойство детерминантов:

det А В — (det A) (det В).

Упражнение 5.18. Показать, что оператор ортогонального проектирова­ ния — самосопряженный.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I.ЛИТЕРАТУРА ПО ОБЩИМ ВОПРОСАМ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

5.3 а д е А. А. и Д е з о е р Ч. А. Теория линейных систем. Метод прост­ ранственных состояний. М., Наука, 1970.

II. ЛИТЕРАТУРА ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ РАЗДЕЛАМ

6

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Помимо рассмотренных представлений сигнала мы часто исполь­ зуем его описание с помощью нескольких важных параметров, таких, как ширина полосы, энергия, максимальная амплитуда, длительность и т. д. Поэтому, как и в задаче представления, мы хотим найти под­ ходящие отображения пространства сигналов в числовые величины. Однако линейные функционалы, столь удобные для формирования представлений, могут оказаться неподходящими для определения ука-

занных параметров. Характеризуя сигнал некоторыми параметрами, мы стремимся прежде всего выяснить с помощью каких измерений можно сравнивать системы друг с другом. Выявление подходящих чис­ ловых характеристик для сигналов в различных точках системы яв­ ляется основной предпосылкой для оптимизации сигналов и улучше­ ния качества системы в целом.

Ограниченные возможности линейных функционалов в части выяв­ ления числовых характеристик сигнала связаны с необратимой при­ родой таких отображений (преобразование типа «много — в одно»). Напомним, что линейный функционал можно выразить через скаляр­ ное произведение ДДх) == (х, у); следовательно любой сигнал, ортого­ нальный к у, если его добавить к х, дает то же отображение, что и х. Кроме того, задачи оптимизации сигналов, естественно, сводятся к отысканию экстремальных значений соответствующего функционала. Но если сигналы характеризуются только линейными функционала­ ми, то всегда можно найти сигнал, функционал от которого принимает произвольное значение. Чтобы обойти эту трудность, нужно использо­ вать функционалы других типов, имеющие определенный максимум и минимум. В этой главе мы рассмотрим частный тип функционалов, а именно квадратичные функционалы. Эти функционалы обладают рядом удобных свойств. Принципиальным их преимуществом является воз­ можность достаточно полного математического исследования, в част­ ности, при установлении условий экстремума, а также легкость, с ко­ торой квадратичные функционалы можно выразить через линейные отображения сигналов. Другое преимущество состоит в том, что ква­ дратичные функционалы выражают величины, которым легко придать физическое содержание, и которые широко применяются в теории свя­ зи и систем управления.

Произведение длительности на полосу

В качестве вводного примера рассмотрим задачу оптимизации сиг­ нала, которая вероятно, считается классической— задачу о минималь­ ном произведении длительности сигнала на его полосу частот [1].

Позаимствуем из теории вероятностей определение ширины (длитель­ ности) функции через второй центральный момент. В отличие от плот­ ности вероятности сигнал х (/) не обязательно неотрицателен, и его второй момент может не характеризовать длительность сигнала, если последний в достаточной мере колебательный. Чтобы обойти эту труд­ ность, рассмотрим второй центральный момент функции х2 (t), и по­ скольку площадь функции х2 (/) (нулевой момент) не обязательно рав­ на единице, мы нормируем второй момент, взяв за меру длительности сигнала величину

132