Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

где

00

j tx2 (f) dt

oo

j x2(t) -OO

— нормированный первый момент функции x2(t).

Другая простая аналогия состоит в том, что мы можем рассма­ тривать второй момент как момент инерции, предполагая, что масса распределена по закону х2 (t). В этой связи можно трактовать Т х как «радиус инерции» сигнала х (t). Подобным образом мы можем опре­ делить и ширину полосы сигнала через второй центральный момент квадрата модуля его преобразования Фурье:

со

j' ( f - h ) 2\ X(f)\2df

oo

j i X(f )\ 2df

— oo

где /о = 0 в силу того, что для вещественных сигналов X (/) симметрич­ но относительно начала координат. Поскольку модуль | X (/) | не за­ висит от смещения х (t) во времени, можно положить t0 = 0, и выра­ зить произведение длительности на полосу через скалярные произ­ ведения**:

(х, х) (X, X)

Скалярные произведения в (6.3), представленные в частотной об­ ласти, можно преобразовать во временную область, используя ра­ венство Парсеваля (4.14): (ху) = (XY). Так как / 2nfX (/) есть пре­ образование Фурье от производной по времени сигнала x (t), (6.3) при­ нимает вид

( г х ^ , ) 2= [-^ ) 2 • ( 6 -4 )

Поскольку Тх и Wx не зависят от || х|| — (х, х)1/2, мы можем положить

Интегрируя по частям, можно показать, что правая часть (6.5) не зависит от х (t), если ||х|] = 1. Действительно,

*) Мы использовали обозначения tx и fX для функций tx (t) и [X (f) соот­ ветственно. Аналогично используемый дальше символ wx обозначает произведе­ ние w (ОДО-

133

§ tx(t)x(t)dt = -^~ ^ t -jjj- [хй(/)] dt =

oo

Таким образом, минимум произведения длительности на полосу имеет значение

и этот минимум достигается сигналом, для которого неравенство (6.5) переходит в равенство, т. е. для которого

x { f)^ c xtx (t) =*►at [logх (0] = Eli.2

Поэтому мы заключаем, что сигнал с минимальным произведени­ ем длительности (6.1) на полосу (6.2) есть гауссов импульс. В данном случае оптимизация оказалась столь простой потому, что удалось не­ посредственно применить неравенство Шварца. В более сложных при­ мерах мы не будем иметь такой возможности. В последующих парагра­ фах развивается общая методика, применимая к подобным задачам оптимизации сигналов лишь при условии, что сохраняется квадартичная структура функционала. В литературе по теории связи и теории систем управления содержится много интересных примеров на задачи этого типа. Общий подход позволяет значительно глубже понять за­ дачу и упростить ее решение. Мы увидим, что некоторые необхо­ димые условия, которым должно удовлетворять решение, можно за­ писать сразу же, как только задача поставлена (если она поставлена правильно). В дальнейшем мы сконцентрируем внимание на частотных и временных свойствах сигналов, поскольку эти аспекты особенно важ­ ны, но следует помнить, что те же методы применимы к любым линей­ ным представлениям сигнала.

6.2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Квадратичный функционал образуется из билинейного функциона­ ла, который отображает пару сигналов х и у в числовую величину f (х, у) и обладает следующими свойствами:

/ К х х + а2х2, у) = аxf (хъ у) + а2/ (х2, у),

f (М Pi У1 + Рг Уг) = К f (х, Уг) + К f (х, Уа)-

Например, скалярное произведение / (х, у) = (х, у) является билиней­ ным функционалом. В случае вещественного пространства f линейно зависит от обоих аргументов х и у. Билинейный функционал называет-

134

ся ограниченным, если можно указать такое вещественное число К, что для любых х и у

Заметим, что /л(х, у) = (Ах, у) есть также билинейный функцио­ нал от х и у. Далее можно показать, что любой ограниченный били­ нейный функционал может быть записан в такой форме, и что

где | «учесть норма линейного оператора^, определенная согласно (5.8). Определим квадратичный функционал от аргумента х, просто за­

менив у на х в / (х, у):

линейными функционалами. Ранее мы показали, что линейные функ­ ционалы образуют линейное пространство (сопряженное простран­

линейное пространство, не удивительно, что квадратичные функцио­ налы также образуют нормированное линейное пространство, причем согласно (6.12) это пространство изометрично пространству линейных операторов.

Чрезвычайно полезно в дальнейшем понятие сопряженного опера­ тора (5.93). Если А ' есть линейный оператор, то ясно, что (х, А ' у)

то, по определению, А' есть оператор, сопряженный с А. Сопряжен­ ный оператор легко получить из любого представления оператора. Пусть А представлен ядром во временной области A (t, т). Тогда

135

Изменив порядок интегрирования в (6.16), находим, что ядро со­ пряженного оператора имеет вид

женный оператор. Его называют также эрмитовым (или симметрич­ ным, если А — вещественный оператор). Более широкий класс, вклю­ чающий самосопряженные операторы, есть класс нормальных опера­ торов, которые коммутативны со своими сопряженными операторами

функционала просто выполнить с помощью сопряженного оператора. Пусть х = Ху, тогда

так что оператор Х'АХ определяет тот же квадартичный функционал, но с аргументом у вместо х.

со

F '? x = ljije i2nnt- X)x (x)dxdf,

136

гд е я д р о

j e- /2«f«-x)d/==6(^ _ T)

----00

соответствует тождественному оператору. Из (6.22) мы снова получаем

равенство Парсеваля (4.14):

Применяя (6.20) и (6.22), можно путем подходящих преобразова­ ний операторов выразить заданный квадратичный функционал как

в частотную и обратно при описании свойств сигналов. Нужно помнить, однако, что скалярные произведения в (6.23), (6.24) предполагают ин­ тервал интегрирования (— оо, оо) в каждой из областей. В задачах, где пределы полубесконечны или конечны, можно сохранять простую фор­ му соотношений (6.23) и (6.24), если использовать бесконечные интер­ валы, но применить соответствующие видоизменения операторов с тем, чтобы расчет в действительности выполнялся в ограниченном интервале. Этот метод мы применим в ряде дальнейших примеров.

В заключение отметим, что операторы ® и ^ в (6.24) имеют много общих свойств. Действительно, все описанные выше свойства (самосо­ пряженность, нормальность, унитарность, положительная определен­ ность) справедливы для одного из этих операторов в том и только в том случае, если они справедливы и для другого. Эта общность вытекает из унтитарного характера преобразования Фурье и связи между опе­ раторами 33 и Л {А — f ' 33f = f 3 3 f , называемой преобразовани­ ем подобия.

6.3. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ

Для упрощения дальнейших исследований полезно рассмотреть характерные квадратичные функционалы, широко применяемые в задачах оптимизации сигналов.

Пусть

оооо

А= j*|*WI2^ = J |-^(/)|2df —(х, х)= (X, X)= ||х||2. (6.25)

137