ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 1
Таким образом, квадрат нормы сигнала есть квадратичный функ ционал, соответствующий тождественному оператору. Как упоминалось, этот функционал обычно служит для оценки энергии, содержащей ся в сигнале. В некоторых задачах важно учитывать различие с физи ческим понятием энергии (см. пример 6.5).
Функционал
со |
|
/ 2 = (wx, х)= j да (t) | х (t) |2 dt |
(6.26) |
•—со
есть «взвешенная» энергия с произвольным вещественным весом да (t). Этот функционал используется для того, чтобы как-то учесть различ ные распределения энергии во времени. Соответствующий оператор А 2 (t, т) имеет «диагональную» структуру:
|
А 2 (t, х) = да (t) 6 (t— т) |
= wxl2 (t)wl/2 (т)6 |
(t— т). |
(6.27 |
|
> 0 |
Можно показать, что этот оператор самосопряженный. Если да (t) > |
||||
при |
всех t, то / 2 — положительно-определенный функционал. |
||||
|
|
|
|
Таблица 6.1. |
|
Некоторые квадратичные функционалы и соответствующие им операторы |
|||||
|
|
во временной и частотной областях |
|
|
|
I |
(Ax, x) =(39 X, X) |
A(t, T) |
B(f, |
v) |
|
h |
|
(X, x) = (X, X) |
6 (t— %) |
S (f—v) |
|
h |
|
(wx, x) = |
w (t) 6 (t—x) |
W(f -v) |
|
|
CO |
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
^ w(t)\x (t) \2dt |
|
|
|
— oo
Is |
00 |
(VX, X) = |
|
V (t —t ) |
|
|
|
|
|
||
|
V(f)\X(f)\*df |
|
|
||
= |
$ |
|
|
||
|
—• oo |
|
|
|
|
h |
(w [h ® x ], |
h ® x) |
OO |
||
|
|
|
^ |
w(a)h (а—т) X |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
—OO |
|
|
|
|
|
|
X h*(a— t) da |
h |
(VHX, |
HX) |
00 |
v(o)h (y—o—%) x |
|
|
|
|
^ |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— oo |
|
|
|
|
|
|
X h* (y—t) dyda |
h |
(x, |
g) (h, |
x) = |
|
h (t) g* (t ) |
|
= (X, G)(H, X) |
|
|
||
V(f)6(f-v)
H* (f) H (v) W (f-v)
V (/) i // (/) i2 6 (/—V)
H (f) G* (v)
138
Аналогично функционал
оо
/ 8 = (VX,X)= |
J V(/)| X( f ) \2df, |
(6.28) |
|
|
— оо |
|
|
где V (/) — вещественно, есть «взвешенная» |
энергия |
в частотной об |
|
ласти, Iз — самосопряженный, и при V (/) > |
0 для всех / также поло |
||
жительно-определенный оператор. |
|
|
|
В качестве дополнительного примера рассмотрим случай, когда |
|||
аргументы функционалов / 2 и / 3 |
подвергаются инвариантному во вре |
||
мени линейному преобразованию: |
|
|
|
оо
x(t)= J /i( / —r)x(r)dx.
Тогда
Л(х) = /j(x) = (w[h® х], h® х), |
^б29^ |
/ 5 (х) = / 3 (х) = (VHX, НХ) = (V | Н |* X, X).
Другой полезный квадартичный функционал образуется из двух линейных функционалов путем перемножения одного из них и сопря женного со вторым:
/6 (х) = (х, g) (х, h)* = (X, g) (h, x) = (X, G) (H, X). |
(6.30) |
Рассмотренные функционалы и соответствующие им операторные |
|
ядра во временной и частотной областях приведены в табл. 6.1. |
|
6.4. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ |
|
В строгой формулировке задача оптимизации сигнала |
состоит |
в нахождении сигнала х (i), максимизирующего или минимизирующе го функционал I (х). Это вариационная задача без дополнительных огра ничений. Мы рассмотрим такую задачу, чтобы выявить вариацион ные методы отыскания необходимых условий, которым должно удовле творять решение. Если х — вещественная переменная, а не функция, мы просто должны найти точки, в которых dlldx = 0, и вычислить зна чения / во всех этих точках, чтобы установить, где достигается мак симум, а где минимум. Если х — вектор, то произвольное приращение х — также вектор, и величина приращения I неоднозначна, она зави сит от направления. Иными словами, мы не можем однозначно опре делить производную от 1 в точке х. Единственное, что можно сделать, это вычислить приращение / при изменении х вдоль определенного на
правления. |
Пусть х и и — элементы нормированного линейного про |
|||
странства, |
и || и || = |
1, тогда для |
действительного е > |
0 производная |
по направлению от I |
по х вдоль и определяется следующим образом: |
|||
|
Du /(x) = I im H i± S W W , |
(6.30 |
||
|
|
Е - 0 |
S |
|
139
причем предполагается, что этот предел существует, если I — непре рывный функционал.
/ |
Теперь потребуем, чтобы в стационарной точке функционала |
|
(например, в х0) производная по направлению DUI (х0) обращалась |
||
в нуль для всевозможных и. |
||
е |
В противном случае, |
если D U1 (х0) Ф 0, то при достаточно малом |
величина / (х0 -f- еи0) |
может быть как больше, так и меньше, чем |
|
I (х0). Поскольку для характеристики сигналов мы будем использо вать линейные и квадратичные функционалы, заметим, что
а) для / (х) = (х, g) |
|
A ,/(x ) = (ufg); II u|= 1 , |
(6.32) |
б) для /(х) = (Ах, х) |
|
Du I(x) = (Au, х) + (Ах, и); ||и||=1. |
(6.33) |
Из (6.32) видно, что производная по направлению линейного функ ционала не зависит от х, чего и следовало ожидать по аналогии с функ циями действительного переменного. Продолжая аналогию, мы могли бы ожидать, что производная по направлению квадартичного функцио нала должна быть линейным функционалом от х; однако из (6.33) видно, что это не совсем верно. Сказанное верно для вещественных линейных пространств, когда (А п , х) = (х, А и). В этой связи было бы жела тельно ограничиться вещественными пространствами. Хотя рассмотре ние только вещественных функционалов от вещественных сигналов не вносит ограничения с практической точки зрения, важно, чтобы мы мог ли рассматривать и функционалы,аргументами которых являются ком плексные функции. Например, X (f) может быть комплексным для ве щественного сигнала. Заметим, однако, что вещественное пространство может иметь комплексные базисные функции при условии, что все ска ляры (скалярные произведения) вещественны. Если мы ограничим об ласть допустимых функций частоты, такими, что X (/) = X* (— /), то все линейные функционалы и все квадратичные функционалы, соответ ствующие операторам во временной области, будут вещественными и, кроме того, (В X, Y) = (Y, В X) для всех допустимых X и Y. Главное преимущество подобного рассмотрения, ограниченного веществен ными пространствами, состоит в том, что в этом случае все производ ные по направлению от функционалов можно выразить через вектор градиента.
Градиент линейного и квадратичного функционалов
Пусть {ф^; k = 1,2, ...} — полная ортонормальная система в ве щественном пространстве и пусть / ■— вещественный функционал. Положим
и = 2А«р*. 2б|=1.
k k
140
Теперь, |
предполагая, |
что Du I (х) |
есть непрерывная функция от |
|||||
х при любом и, мы можем написать |
|
|
|
|||||
Du I (х) = Ж |
D4 / (х) = |
2 |
(u, <ря) D4 I (х) = (V/, и), |
(6.34) |
||||
где вектор V/ |
к |
|
- к |
|
ф я - г - ^ с /'‘ |
|
||
может зависеть от х, |
но не от и: ' |
|
||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
(6.35) |
где T)ft= D,pfc/(x). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
В любой точке производную по направлению и всегда можно |
||||||||
выразить как скалярное |
произведение |
векторов VI и и. Вектор VI |
||||||
называется градиентом I . |
имеем |
|
||||||
Из неравенства |
Шварца мы |
|
||||||
|
|
I Du I (х) | = | (V/, и) | < || V/1 || и».= || V / [I, |
(6.36) |
|||||
где равенство |
достигается только в случае, когда и пропорциональ |
|||||||
но VI, при |
этом величина производной по направлению максимальна |
|||||||
и равна норме |
вектора |
градиента. Некоторые численные методы |
||||||
отыскания |
стационарных точек |
функционала используют последо |
||||||
вательные приближения |
и состоят в вычислении значений функцио |
|||||||
нала в последовательных точках, причем перемещение от точки к точке каждый раз происходит вдоль вектора градиента. При этом предполагается., что мы быстрее всего достигнем экстремума, если будем двигаться на каждом шаге по направлению максимального
изменения функционала. Эти методы называются |
методами наиско |
рейшего спуска (или подъема)*). |
|
Сравнивая (6.32) и (6.34), мы видим, что в случае вещественного |
|
линейного функционала градиент имеет вид |
|
7(х) = (х, g)=^V/ = g, |
(6.37) |
а из (6.33) находим градиент для вещественного квадратичного функ ционала
I (х) = (Лх, х) =>■ VI = (Л 4- Л') х. |
(6.38) |
Предположим, что задача оптимизации состоит в отыскании экстремума функционала, представляющего собой линейную комбина цию квадратичного и линейного функционалов. Тогда
/ = (Лх, х)4- (х, g), |
|
|
где |
|
|
Л ^ Ж Л р |
g = 2 M ; . |
(6-39) |
i |
i |
|
Необходимым условием экстремума является существование ста ционарной точки функционала I, т. е. точки, в которой VI обращается в нуль. Действительно, DUI (х) = (VI, и) = 0 при всех и тогда и толь ко тогда, когда VI — 0. Следовательно, необходимое условие экстре мума есть
> Их называют также градиентными методами. — Прим. ред.
141