Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

— СО

На основании этих условий можно сделать несколько общих за­ мечаний о задаче поиска экстремума. Если ограничиться функциона­ лами, состоящими из линейных и квадратичных функционалов, то необходимые условия экстремума выражаются линейными уравнения­ ми (в общем случае интегральными уравнениями Фредгольма), для решения которых известен ряд методов [2]. Заметим, что ядро интег­ рального уравнения всегда самосопряженное. Если функционал не включает линейной части, получается однородное уравнение, и нетриви­ альное решение существует только в случае, если оператор (A-j-A') —

без ограничений на допустимые функции. Такие практические усло­ вия, как, например, конечная величина энергии сигнала, обычно огра­ ничивают область допустимых рещений. Иными словами, функции, максимизирующие (минимизирующие) функционал, должны одновре­ менно удовлетворять некоторым дополнительным условиям. К счастью, с помощью метода множителей Лагранжа необходимые условия в за­ даче с ограничениями получаются в основном таким же путем, как в задаче без ограничений. Этот метод рассмотрен в следующем параграфе.

Упражнение 6.1. Показать, что для непрерывного комплексного функцио­ нала I (х), определенного на пространстве со скалярным произведением, произ­ водная по направлению (комплексная) имеет вид

DUI (x) = (u, f) + (g, u),

где f и g могут зависеть от х, но не от и.

Упражнение 6.2. Показать, что, если — ограниченный оператор, то производная по направлению от функционала ( А х, х) в (6.33) есть непрерывный функционал от х при любом и.

6.5. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Пусть мы хотим максимизировать (минимизировать) функционал / (х) при условии J (х) = с0. Естественный подход к задаче состоит в следующем. Сначала находим ограниченную дополнительными усло­ виями область S0 допустимых функций

142

Удобно трактовать подмножество S0 как поверхность или линию в неограниченном пространстве. Заметим, что в общем случае 50 — нелинейное подпространство. Теперь задача в том, чтобы найти в S 0 точки, в которых I принимает экстремальные значения. Необходимое условие состоит в том, что I должен быть стационарен в этих точках при вариациях х, принадлежащих S0. Такие вариации описываются следу­ ющим образом: {u; Du I (х) = 0; х £ 50}. Стационарные точки образу­ ют подмножество 5, такое, что

S = {x, x £ S 0, DUI (х) = 0 для всех и, при которых DuТ(х)=0}. (6.43)

Хотя с принципиальной точки зрения множество 5 легко опреде­ ляется, решение задачи в подмножестве 50, учитывающем все ограни­

азатем определяют Я = Я0, удовлетворяющее ограничению J (х (Я0)) =

=со-

Наиболее существенный вывод, который можно сделать из ана­ лиза (6.44), состоит в том, что необходимые условия получаются так же, как для нового функционала / = I + KJ без дополнительных ограничений. Константа Я называется множителем Лагранжа.

Если мы имеем дело с вещественными функционалами, для кото­ рых производная по направлению задается с помощью вектора гра­ диента, то условие касания получает простую геометрическую интер­ претацию.

143

Рис. 6.2. Минимизация квадратичного функционала при ограни­ чении, заданном линейным функционалом.

нахождения х, соответствующего экстремуму квадратичного функцио­ нала {Ах, х) при условии, что функциональный аргумент х имеет еди­ ничную норму (х, х) = 1. Если ^ — самосопряженный оператор, не­ обходимое условие (6.46) превращается в уравнение для собственных значений оператора А:

144

поскольку Л — самосопряженный оператор. Пусть км и кт есть со­ ответственно наибольшее и наименьшее собственное значение, тогда

Рассмотренный метод применим также к задачам оптимизации, где имеется несколько ограничений, выраженных в виде линейных или квадратичных функционалов; при этом ищутся стационарные точки для линейной комбинации всех функционалов. Поэтому функционал вида (6.39) описывает и задачу с ограничениями, причем некоторые из <%1 и ргследует трактовать как рассмотренные выше множители Л аг­ ранжа.

До сих пор ничего не говорилось о достаточных условиях, кото­ рым должны удовлетворять стационарные точки, чтобы они были ре­ шениями задачи оптимизации. Обычно достаточность для одной из ста­ ционарных точек бывает ясна из физических соображений, приведших к постановке такой задачи. Но после того, как выполнены необходи­ мые условия, остается задача определения параметров (множителей Лагранжа), при которых одновременно оптимизируется функционал и удовлетворяются ограничения. Следовательно, остается нерешенной вторая часть задачи с ограничениями, правда значительно меньшей размерности. К сожалению, уравнения для этих неопределенных па­ раметров не всегда получаются линейными, и часто приходится ис­ пользовать численные методы, чтобы завершить решение. Прежде чем заниматься общим анализом этой проблемы, мы покажем, как посту­ пают в некоторых частных случаях и рассмотрим несколько примеров, взятых из практических задач синтеза сигналов.

6.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

Пример 6.1. Пусть линейный, инвариантный во времени фильтр, показанный на рис. 6.3, имеет импульсную реакцию h (t). Какую фор­ му должен иметь входной сигнал фиксированной энергии, чтобы энер­ гия на выходе фильтра была максимальной?

Положим

Из (6.50) следует, что X (/) должно быть равно нулю всюду, кро­ ме частот, где [ Я (/) (2 -= — к. При этом энергия на выходе будет It = = —Я(х, х) = —к. Трудность, связанная с этим решением, состоит в том, что не существует сигнала единичной энергии, преобразование Фурье которого отлично от нуля лишь при / = ±/о> однако можно получить

145

сколь угодно точное приближение к этому условию с помощью предель­ ного перехода:

(lim T -1/2cos(2n/o^ + 0) при |* |< 7 \

При этом, чтобы выходная энергия была максимальной, частота /0 вы­ бирается так, что | Я (/„) | > | Я (/) | при всех/. Такой результат интуи­ тивно ясен, он просто означает, что мы должны сконцентрировать входной сигнал фильтра на той частоте, для которого коэффициент уси­ ления максимален. Если | Я (/) | — постоянна и максимальна в некото­ ром частотном интервале, возможны также другие решения.

Рис. 6.3. Максимизация энергии на выходе фильтра.

Пример 6.2. Более интересный пример того же рода дает зада­ ча, рассмотренная Чоком [3], о максимуме энергии на выходе фильтра, когда входной сигнал ограничен по длительности. Оказывается, легче учесть ограничение длительности прямым способом, а не с помощью множителей Лагранжа. К функционалам примера 6.1 мы добавим ог­ раничение

w (t) х (t) = х (t) для всех t,

В этой задаче необходимое условие снова выглядит проще в час­ тотной области:

где ядро Л -1 (t, т) = w (t) w (т) k (t — т) соответствует самосопряжен­ ному оператору, а преобразование Фурье k (/) есть просто

146