Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

может быть упрощено

г

J k (t—т) х (г) dr — Кх (t) для 11[ Т\ (6.56)

—т

здесь изменен знак X, чтобы придать (6.56) стандартную форму урав­ нения для собственных значений. Частный случай, для которого ура­ внение (6.56) решено в [3], соответствует однокаскадному £?С-фильтру низких частот с полосой fQ= \!2nRC. В этом случае

Продифференцируем (6.58) по t дважды:

г

Xx(t) = nf0 j [—4я/06(г'—т) + (2л;/0)2е - 2я:^1;- т1] x(r)dr =

—г

Подставив решения уравнения (6.60) обратно в (6.58), найдем, что соб­ ственные значения образуют две последовательности

Если в качестве входных сигналов берутся отрезки этих функ­ ций заданной длительности, то соответствующие собственные значения дают ту часть энергии, которая проходит на выход фильтра. Следо­

147

вательно, собственная функция, обеспечивающая максимум выходной энергии фильтра, соответствует наибольшему собственному значению из последовательности Хп. Соответствующее значение % лежит в интервале 0 < аг < я/2. Для малых величин f0T получаются малые а1( и оптимальный входной сигнал близок к прямоугольному импульсу. Для больших f0T величина аг стремится к я/2, а оптимальный сигнал приближается к «полукосинусному» импульсу, показанному на рис. 6.4. Пример 6.3. Дан инвариантный во времени линейный фильтр с им­ пульсной реакцией h (/). Каким должен быть входной сигнал х (/) заданной энергии, максимизирующий выходной сигнал фильтра в мо­ мент t = /0? Пиковое значение выходного сигнала у (t0) есть линейный

функционал от х (/). Так как у = х ® h, то

Условие для стационарной точки функционала Д + XI2 одинако- ■ во просто как во временной, так и в частотной форме. Воспользуемся частотной записью:

так что с точностью до задержки во времени на /0 входной сигнал есть импульсная реакция фильтра, инвертированная по времени. Сигнал, обладающий такими свойствами, называется согласованным с фильтром. Пик выходного сигнала фильтра, достигаемый при согласованном вход­ ном сигнале, равен у (/0) = || х || • || h ||. Это можно проверить с помо­ щью неравенства Шварца.

Пример 6.4. Предыдущая задача, очевидно, связана с проблемой наилучшего обнаружения импульсов на выходе канала с передаточ­ ной функцией Н (/). Для повышения разрешающей способности таких импульсов в случае их близкого (во времени) расположения на входе приемника следует выбрать сигнал, минимизирующий энергию отдель­ ного импульса на выходе при заданном пиковом уровне, о котором гово­ рилось выше (скажем, при / = /0). Минимизация энергии при заданном пиковом значении приводит к сужению импульсов и уменьшению пе­ рекрытия соседних импульсов во времени. Таким образом, мы хотим минимизировать функционал

/х = (у, У) = (НХ, НХ)==(|Н|2Х, X)

148

\JUJTM_

Заметим, что эти уравнения нелинейны.

Из общего решения (6.70) видно, что если лх достаточно велико по сравнению с | Я (/) | 2, решение приближается к сигналу, согласован­ ному с каналом передачи. С другой стороны, если Ях мало, то спектр сигнала X (/) является обратным по отношению к передаточной функции канала Я (/). Интуитивно ясно, что это отличие результатов зависит от того, насколько жестко ограничение, налагаемое на пиковое зна­ чение выходного импульса. Если пиковое значение лишь на пределе может быть получено при входном сигнале единичной энергии, этот

149

сигнал должен быть близок к согласованному. С другой стороны, если заданное пиковое значение получить легко, то большую часть единич­ ной входной энергии можно «погасить» на выходе с помощью фильтра, частотная характеристика которого приблизительно обратна по отно­ шению к сигналу, чтобы уменьшить длительность выходного импульса.

Пример 6.5. Теперь рассмотрим задачу о заряде конденсатора за конечное время при минимальной затрате энергии. В схеме (рис. 6.5) необходимо, чтобы выходное напряжение о2 (/) было равно 1 в в мо­ мент t = Т. Источник напряжения производит сигнал в интервале вре­ мени 0 < ^ 7\ Каким будет питающее напряжение с минимальной энергией?

Эта простая задача иллюстрирует ряд особенностей вариацион­ ных проблем, не охваченных предыдущими примерами. Во-первых, некоторые функционалы — ограничения, наложенные на их (t), не со­ ответствуют самосопряженным операторам. Во-вторых, используемое физическое понятие энергии не совпадает с квадратом нормы vx. И, на­ конец, выбор функционального аргумента существенно влияет на слож­ ность решения. Это будет продемонстрировано с помощью двух спосо­ бов решения данной задачи.

Пусть / х = v2 (Т) — напряжение на конденсаторе в конечный момент Т, а / 2 = (г, vx) — энергия, потребляемая от источника.

Добавив условие ограниченности во времени,

получаем значение напряжения на конденсаторе в момент Т:

Ii = (wvx, g) = (vb wg),

где

' « - ж ' - * 1™ -

Затраченная энергия имеет вид:

здесь учтено, что

I = V i — V 2

R

150