Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Оператор Л в (6.74) имеет функциональное ядро вида

в частном случае примера 6.2. Решение может быть получено здесь тем же методом, т. е. двукратным дифференцированием (6.77) по t и совместным решением с исходным уравнением (6.77). Это приводит к дифференцированному уравнению второго порядка

Решение можно значительно упростить, выбрав в качестве аргу­ мента ток i, а не vv Тогда

о

151

Поскольку мы просто хотим минимизировать (wi,i) при (i, w) — С, необходимо, чтобы

сложную задачу, типичную для проектирования систем. В этом при­ мере мы познакомимся с двумя новыми вариантами вариационной за­

дачи:

1) в качестве функции-аргумента используется не сигнал, а опе­ ратор и 2) для нахождения оптимального решения выполняются ва­ риации двух или большего числа независимых функций одновременно.

Ж е л а е м ы й , д ы х о й g ( i)

Рис. 6.6. Минимизация ошибки фильтрации при наличии помех.

В системе (рис. 6.6) желательно, чтобы сигнал на выходе фильтра был как можно ближе к заданному сигналу g (t). Как и ранее, мы предпо­ лагаем, что энергия сигнала л: (t) ограничена, так что (х, х) = q. Кро­ ме того, заметим, что для большинства фильтров характерно некоторое ограничение, налагаемое на произведение коэффициента усиления и ширины полосы.

Оно может быть выражено условием (Н, Н) = с2. Наконец, бу­ дем считать, что к входному сигналу добавлена аддитивная помеха z (t) произвольной полярности. Для ограничения влияния помехи по­ требуем, чтобы ее энергия на выходе фильтра не превышала некоторо­ го допустимого значения, скажем, с3. Задача состоит в нахожде­ нии наилучшей комбинации входного сигнала x(t) и импульсной ре­ акции фильтра h(t) с тем, чтобы разность между выходным сигналом фильтра х ^ ) Ь и желаемым выходом g имела минимальную норму при указанных ограничениях.

152

/==(( Н|3 Х, X)—2 (X, Н*G) + (G, G) + Xx(X, X)+

+ %2(Н, Н) + Л3 (ZH, ZH) = (I X I2 Н, Н)—2 (Н, X* G) + (G, G) +

по отношению к X и Н одновременно.

Из рассмотрения обеих форм (6.86) можно получить два условия.

Из (6.89) видно, что Н* XG — вещественное число, следователь­ но, фаза НХ равна, как ожидалось, фазе G, и этот член может быть за­ менен в (6.89) и в (6.90) его модулем. Нужная фаза может быть произ­ вольно распределена между X и Н, поскольку фазы X и Н порознь не входят в ограничивающие условия. Вычитая (6.90) из (6.89), найдем

Учитывая, что J Н | 2 >» 0, можно подставить (6.91) в (6.89), тогда получим

Упражнение 6.3. В примере 6.2 было показано, что оптимальный сигнал ограниченной длительности, максимизирующий энергию на выходе ^С-ячейки, приближается к прямоугольному импульсу, если параметр /0 Т уменьшается (см. рис. 6.4). Показать, что для любого низкочастотного фильтра (и при любом разумном определении ширины полосы /0) оптимальный входной сигнал прибли­ жается к прямоугольному, когда feT стремится к нулю. Дать физическую интер­ претацию этого результата.

153

Упражнение 6.4. Получить интегральное уравнение, которому должны удовлетворять решения задачи «сопряженной» с задачей примера 6.2, т. е. зада­ чи о том, какой входной сигнал единичной энергии, будучи пропущен через фильтр с передаточной функцией Я ([), дает максимум энергии на выходе в ин­ тервале |/| < Т.

Упражнение 6.5. Показать, что в примере 6.3, если входной сигнал согла­ сован с фильтром, то выходной сигнал пропорционален функции автокорреляции (2.40) входного сигнала (без учета задержки во времени).

Упражнение 6.6. Показать, что радиус корреляции

ОО

г7 2 (0) J r*(i)d%

для сигнала х (t) с полосой \fi \ < W не может быть меньше (1/2IF) сек. Привести пример сигнала с ограниченной полосой, для которого достигается этот мини­

мум.

Упражнение 6.7. Найти сигнал единичной энергии, длительностью 2Т сек, который дает максимальный пик на выходе фильтра с импульсной реакцией h (t).

входного сигнала, который, будучи пропущен через конкретный фильтр с неизменяющимися во времени параметрами, дает на выходе импульс заданной фор­ мы. Эту задачу часто решают в частотной области. При отсутствии других ог­ раничений мы просто берем X (/) = Я -1 (/) G (/), где g (t) — выходной импульс желаемой формы, a h (t) — импульсная реакция фильтра. Но при таком реше­ нии может потребоваться слишком большая энергия входного сигнала, например, если в G (/) имеются заметные компоненты в тех частотных областях, где Я (/) мало. Предположим, мы накладываем ограничение на энергию входного сигнала и выбираем сигнал, минимизирующий || g — х (g) h || . Написать общее выраже­ ние для преобразования Фурье от оптимального сигнала и сравнить его с опти­ мальным сигналом для случая без ограничений. Дать физическую интерпрета­ цию этого различия для характерных типов G (/) и Я (/). Сравнить результат также с примером 6.4.

6.7. ОБЛАСТЬ, ЗАНИМАЕМАЯ СИГНАЛОМ НА ПЛОСКОСТИ ВРЕМЯ—ЧАСТОТА

Эта задача, близкая к-рассмотренным, заслуживает особого вни­ мания. Она касается вопроса о том, насколько представления импуль­ сного сигнала могут быть сосредоточены в узких областях повремени и по частоте одновременно. Имеется ряд систем передачи сигналов, оп­ тимальное функционирование которых достигается при минимальной протяженности и минимальной полосе частот импульса. Узкая по­ лоса сигнала увеличивает пропускную способность канала связи, а также уменьшает искажения при распространении сигнала через диспергирующую среду. С другой стороны, малая длительность им­ пульсов улучшает разрешающую способность по времени. Поэтому в радиолокации с укорочением импульсов улучшается разрешение по

154

дальности, а в импульсных системах связи, укорачивая импульс, можно повысить скорость передачи информации за счет увеличения частоты повторения при неизменной различимости отдельных сигналов [5, 6]. Аналогичная проблема возникает при проектировании антенн, когда желательно получить узкий луч от антенны малого размера [7].

Обобщенный принцип неопределенности

По аналогии с квантовой механикой соотношения, выражающие принципиальное ограничение на достижимую степень концентрации по времени и по частоте одновременно, называют принципом неопре­ деленности.

Этот вопрос рассматривали многие авторы, используя, по боль­ шей части, какой-либо конкретный энергетический функционал для оценки степени концентрации в каждой из областей. Мы сформули­ руем ниже задачу о неопределенности в обобщенном виде, вводя такие способы измерения концентрации по времени или по частоте, при ко­ торых можно использовать произвольные весовые функции в каждой области. Для нормализации положим, что полная энергия сигнала рав­

a w (0 и V (/) есть упомянутые весовые функции для временной и час­ тотной областей; р,х и р2 — множители Лагранжа. Нужны только два неопределенных множителя, и они могут быть отнесены к любым двум квадратичным функционалам из трех. Поскольку каждый квадратич­ ный функционал соответствует самосопряженному оператору, исполь­ зуя табл. 6.1, можно представить необходимое условие стационарной точки (6.94) либо во временной области

155