дать меньшей среднеквадратической ошибки, чем Мы доказали не только необходимость, но и достаточность условия (9.4).
Минимальную величину среднего квадрата ошибки можно вычис
лить, |
заметив, |
что |
|
|
Е [{у ( 0 - © (0} У(01- |
|
|
/ = |
£[{© (О — У(0} © (01 + |
(9-7) |
Для |
оптимального фильтра |
последний член исчезает, и получается |
|
|
Лп|П^ |
£ |
1{ ® ( 0— |
у (*)}©(01 = |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
= kaa(t, |
t ) ~ ^ kzm(s, t) hit, s)ds. |
(9.8) |
—oo
Внижеследующих параграфах мы конкретизируем решение за дачи применительно к некоторым отображениям Т0и Т г, представляю щим практический интерес. При расчетах характеристики оптималь ного фильтра удобнее пользоваться частотным аналогом уравнения (9.4), получаемым, если взять преобразование Фурье от обеих его
частей.
9.3.НЕПРЕРЫВНАЯ ОЦЕНКА ФОРМЫ СИГНАЛА
Вклассической задаче фильтрации нужно восстанавливать с хо рошей точностью форму передаваемого сигнала, причем, если этот сигнал случайный, мы хотим, чтобы случайная величина у (t) была близка к х (/) при всех t. Часто нужно восстанавливать смещенный во времени передаваемый сигнал. Учитывая этот общий случай, мы полагаем Т0: о» (t) = х (t — Т). Если физическая реализуемость системы не обсуждается, то величина задержки Т (положительная или
отрицательная) имеет лишь второстепенное значение.
В данной задаче мы предполагаем, что х —' стационарный в ши роком смысле случайный процесс, а также, что Т г — стационарное отображение. Это значит, что образ любого стационарного в широком смысле входного процесса также стационарен в широком смысле. Таким образом, оба рассматриваемых процесса г и ю — стационарны в широком смысле. В силу указанной совместной стационарности ре зультат оптимального взвешивания принятого сигнала z (s) фильтром h (t, s) не должен зависеть от t, т. е. оптимальным является фильтр
с постоянными параметрами, импульсная характеристика |
которого |
имеет вид h (t — s). |
|
С учетом (7.25) и (7.28) условие (9.4) для стационарных процессов |
принимает форму |
|
оо |
|
§ kzz(s— o)h(t — o)do=:kza(s~t). |
(9.9) |
— оо |
|
Заменяя переменные по формулам т = t — s, rj = |
а — s и учитывая |
(7.27), находим |
|
|
00 |
— ^)df] = km (x). |
|
5 |
(9.10) |
Искомая функция передачи оптимального фильтра далее легко на ходится путем преобразования Фурье от (9.10):
H(f) = Kaz(f)/Kzz(f). |
(9.11) |
Выражение (9.8) для минимального среднего квадрата ошибки в час тотной форме принимает вид
г |
(/>-!*«* (flI8 df |
(9.12) |
|
|
Влияние аддитивного шума
В большинстве известных работ по фильтрации рассматривается канал, который можно представить в виде линейного фильтра с по стоянными параметрами и с дисперсионной (частотной) характеристи кой G (/), а также учитывается действие аддитивного стационарного в широком смысле шума с нулевым средним, для чего часто вводят эквивалентный генератор шума на входе приемника (рис. 9.2). Таким образом,
T0:e>(t) = x(t — T),
\
оо |
|
T1:z(t)= J g(t — a)x(o)da+u(t). |
(9.13) |
—ОО |
|
Стационарный, в широком смысле шум с нулевым сревним, Kuu(f)
Рис. 9.2. Оценка формы сигнала с учетом аддитивно го шума и дисперсионности канала.
Предполагая шум и сигнал статистически независимыми, получаем
: СО = jj j § (< + |
х — а ) ё {t — л) К х (° — Л) dG dri + |
kuu (т), |
— оо |
|
|
кш (т) = Е [х {t + т —Т) г (t)] = kxz (х— Г), |
(9.14) |
где |
00 |
|
|
|
Л « |
( 0 = 5 kxx(x + o)g{o)do. |
|
— оо
Взяв преобразование Фурье, найдем
Kzz(f) = \G(f)\2KXx(f) + K uu(f),
(9.15)
оо
КХй (f) = $ Кхх (/) ^ (о) e'2ltfa da = I(xx (f) G* (f).
---- CO
Подставив эти значения в (9.11), приходим к передаточной функции оптимального фильтра
|
H(f) |
Кхх (/) G* (/) е ~ /2яГ/ |
(9.16) |
|
I G(/) I* К хх (/) + Кии (/) |
|
|
’ |
часто называемого фильтром Винера. Чтобы физически пояснить эти
результаты, рассмотрим выражение для |
функционала / в частотной |
области, положив для простоты Т ----- 0: |
|
оо |
оо |
1= ] K xx{ f ) \ \ - G( f ) H{ f ) \ 4f + |
5 K uu(f)\H(f)\4f. (9.17) |
Первый член в этом выражении представляет собой ошибку, обуслов ленную неполной компенсацией дисперсии в канале, а второй член —
ошибку, обусловленную шумом, |
остающимся на выходе фильтра. |
В тех частотных участках, где |
плотность принимаемого сигнала |
Кхх (/) I G Ф I2 велика по сравнению с плотностью шума Кии (/)> оп |
тимальный фильтр служит в основном для |
компенсации дисперсион |
ное™, в этих областях Н (/) « |
G-1 (/). В |
областях, где плотность |
шума не мала, оптимальный фильтр вносит дополнительное затухание. Если же плотность шума мала по отношению к плотности сигнала на всех частотах, то характеристика оптимального фильтра обратна дис
персионной характеристике |
канала G (/); такой фильтр |
называется |
выравнивающим или компенсатором. |
|
При наличии шума компенсатор, конечно, квазиоптнмален. При |
меняя последний, мы имеем |
|
|
/ = |
Кии (/) df, |
(9.18) |
IG ( / ) I2
вто время, как согласно (9.16) и (9.17)
|
Кии (/) df |
(9.19) |
|
I G(/) |2 + [КU U (f)IKxx(fn |
|
|
Пример 9.1. Компенсатор с ограниченным усилением. Даже если шум очень мал или вообще отсутствует, при конструировании ком пенсатора возникает интересная задача.
При реализации передаточной функции, обратной к G (/), может потребоваться очень большое усиление на значительных частотных интервалах. Обычно это нерентабельно, и конструктор предпочтет вне-
сти некоторое ограничение на площадь усиления —произведение коэф фициента усиления на полосу. Одно из возможных ограничений та кого рода имеет вид
о о |
со |
|
/х = ^ \Н (f)\2df = |
Sj h2(t)dt = const. |
(9.20) |
— оо |
— со |
|
Стационарные точки функционала / + К1г (X — множитель Лаг ранжа) определяются для фильтра с постоянными параметрами урав нением
оо |
|
5 k z z ( o)h(t~o)da—kaz{t)Jr'kh(t) = 0. |
(9.21) |
—оо
Вчастотной форме решение уравнения (9.21) принимает вид
К а г (П |
K x x ( f ) G * ( f ) e ~ i 2nTf |
|
(9.22) |
K z z ( / ) + А . |
К х х ( f ) I О ( / ) [ 2 + К |
Мы видим, что, взяв достаточно большое К, можно в любой степе ни ограничить площадь усиления, и при достаточном жестком огра ничении фильтр будет существенно отличаться от идеального компен сатора (без ограничения). Заметим, что при ограниченном усилении компенсатор имеет такую'же характеристику, как оптимальный фильтр для случая белого шума. Далее, при наличии ограничения харак теристика компенсатора зависит от спектральной плотности переда ваемого сигнала, а при отсутствии ограничения — не зависит.
Пример 9.2. Совместная оптимизация передающего и приемного фильтров. Мы установили, что характеристика оптимального филь тра в рассмотренной задаче (рис. 9.2) существенно зависит от диспер сионной характеристики канала G (/). Это наводит на мысль, что можно улучшить параметры системы, изменив G (f) путем «предыскажения» в передатчике, как это показано на рис. 9.3. Рассмотрим задачу о на хождении наилучшей пары Я (/) и G (/), минимизирующей средний квадрат ошибки при оценке формы сигнала. Для удобства будем
считать Т — 0. |
G-1 (f). |
Если G (/) очень велика, решение задачи очевидно: Я (f) -- |
В этом случае ошибка за счет дисперсионности равна нулю, |
а про |
фильтрованный шум имеет весьма малый уровень. Сигнал в таких усло виях просто «подавляет» шум. Но обычно допустимая мощность сигнала лимитирована. При этом приходим к нетривиальной зада
че |
оптимизации. Нужно найти стационарные |
точки функционала |
I + |
IPs, |
варьируя одновременно G (/) и Я (/), |
где величина |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
Ps= |
$ Kxx(!)\G(n\2d[ |
(9.23) |
|
|
|
|
— со |
|
указывает |
мощность |
принимаемого сигнала. |
|
|
Из (9.17) и (9.23) |
ясно, |
какие члены функционала квадратичны, |
линейны или постоянны по отношению к G (/) и Я (/):
