Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Как и следовало ожидать, если ковариация w очень мала по сравне­ нию с квадратом среднего, то Н (/) приблизительно обратна характе­

ристике канала G (f) с постоянным коэффициентом усиления 1/w. Чтобы получить некоторое представление о влиянии ковариации mww (т) на характеристику оптимального фильтра, положим G (/) = 1 и рассмотрим два предельных случая мультипликативного шума — когда его флюктуации либо очень быстры, либо очень медленны по сравнению с сигналом. Если w флюктуирует много быстрее х, то в час­

Рис. 9.6. Оптимальный фильтр для синусоидальной мультипликативной помехи.

В этом случае оптимальный фильтр близок к фильтру для аддитив­ ного шума (9.16) со спектральной плотностью, пропорциональной

Mww (f),

Kxx(f)+{l2l{w?)Mww(f)

С другой стороны, если флюктуации w очень медленны по срав­ нению с х, то свертка Mww (/) и Кхх (/) приблизительно пропорцио­ нальна Кхх (/),

и оптимальный фильтр имеет приблизительно постоянный коэф­ фициент усиления

Пример 9.4. Канал с синусоидальными флюктуациями усиления. Часто случайные флюктуации коэффициента усиления имеют перио­ дический характер. В этом примере мы положим G (/) = 1, a w — си­ нусоидальная мультипликативная помеха с частотой /0:

причем а и 0 — независимые случайные величины, 0 имеет равномер­ ное распределение в интервале б ^ 0 ^ 2 я. Тогда w —стационарный

237

Типовая передаточная функция для этого случая показана на рис. 9.6,

Канал со случайными дисперсионными свойствами

При исследовании фильтрации на фоне аддитивного белого шума (см. рис. 9.2) мы отмечали, что структура оптимального фильтра су­

G (/) есть какая-либо функция из некоторого множества передаточных функций. Фильтр, оптимальный для одного элемента множества, будет, конечно, квазиоптимальным для остальных элементов. Мы рас­ смотрим одно из приближений к такой задаче, когда G (/) трактуется как реализация случайного процесса, и найдем характеристику филь­

редаточную функцию фильтра с постоянными параметрами, прини­ маемый сигнал z (t), показанный на рис. 9.7, есть стационарный в ши­ роком смысле процесс. Дисперсионные свойства канала характери­ зуются множеством случайных функций {G (/);— оо < / < оо} или, что эквивалентно, множеством случайных импульсных реакций

{g ( / ) : — оо < t < оо }.

Итак, для задачи

Тп: (о (/) = х (t),

нужные корреляционные функции имеют значения

оо

kzz(г) — Е [z(t 4- т) г (/)] = [ j‘ Е [х (t + т — о) х(t —|)1 Ё [g (a) g (£)] dad%+

—(X)

оо

н- Ки (т) = j f Е [g (а) g (£)] kxx (т—о + g) dodl + kuu (т), (9.53)

238

—х>

Применяя к (9.53) преобразование Фурье, находим

Если изменить здесь порядок усреднения и интегрирования, а так­ же преобразовать (9.55), можно получить

Случайный канал

Рис. 9.7. Оптимальная фильтрация при случайном канале и НЭ' зависимом аддитивном шуме.

Аналогично, из (9.54) получается

С учетом (9.11) и полученных выражений передаточная функция опти­ мального фильтра принимает вид

Кхх (!) I G (/) \2+Кии(П

Можно наглядно интерпретировать этот результат, если представить средний квадрат усиления | G (/) |2 как сумму квадрата стандартного

отклонения 2 2 (/) и квадрата среднего |G (/)|2. Тогда (9.58) перепи­ шется в виде

Очевидно, можно рассматривать оптимальный фильтр как фильтр, построенный согласно (9.16) для усредненного канала и ад­ дитивного шума, имеющего спектральную плотность Кхх (/) 22 (f). Таким образом, флюктуации канала имеют много общего с аддитивным шумом. Заметим, что здесь было использовано обычное приближение, для оценки среднего значения (медианы) передаточной функции ка­ нала, а затем построен фильтр Винера, соответствующий такой пе­ редаточной функции. Погрешность этого приближенного метода может быть значительной, если относительные флюктуации в канале велики.

239

Типичное приложение этих результатов дано в следующем примере. Некоторые другие задачи такого рода рассмотрены в [3].

Пример 9.5. Выравнивание частотной характеристики скани­ рующего окна случайной ширины. В § 5.4 отмечалось, что операция развертки пространственно распределенного сигнала с использова­ нием «окна» k (t), движущегося с постоянной скоростью, эквивалент­ на фильтрации с постоянными параметрами и импульсной переход­ ной характеристикой k{—t). Во многих устройствах обработки сигналов окно имеет прямоугольную форму. При выполнении таких приборов, например магнитных считывающих головок или оптических щелей, имеют место отклонения ширины окна. Часто

Рис. 9.8. Типичные реализации передаточных функций при случайной ширине считывающего окна.

за этими приборами ставят корректирующие цепи для некоторой компенсации высокочастотных потерь, обусловленных ненулевой шириной считывающего окна. Интересно выявить фильтр, минимизи­ рующий средний квадрат ошибки на выходе, для случая, когда ширина считывающего окна подвергается случайным флюктуациям. Это со­ ответствует задаче о случайном канале в предположении, что g (t) — прямоугольная функция со случайной шириной т, как показано на рис. 9.8. Соответствующая функция передачи

nf

Обозначая плотность вероятности случайной величины т через Рх (£), находим

оо

-----ОО

240