Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

В (9.62) мы использовали тот факт, что Рх (0) — 1, Рх (/) — преоб­ разование Фурье от р х (£).

При большом отношении сигнал/шум мы можем пренебречь Кии (/) в (9-58), и характеристика оптимального фильтра принимает вид

(9,63)

l°<n[! 1- ~ [ р,(я +6, (-т

Рис. 9.9. Характеристика оптимального фильтра, компенсирующего искаже­ ния за счет считывающего окна случайной ширины.

Для ширины окна, распределенной равномерно в интервале 0,5 т0 < 1,5 т0, оптимальная характеристика приведена на рис. 9.9» Здесь же для сравнения показаны характеристики компенсаторов

(инверсных фильтров) для усредненного канала G (/) и для канала GTo (f), соответствующего среднему значению ширины окна. Отличия, связанные с флюктуациями, особенно ощутимы при высоких частотах.

Упражнение 9.5. В задаче о случайном канале (см. рис. 9.7) принять, что канал имеет характеристику идеального фильтра низких частот с частотой

теристику Н (f) для оценки формы стационарного в широком смысле сигнала х. Упражнение 9.6. Найти оптимальный фильтр для оценки формы сигнала

в канале с мультипликативной помехой, аддитивным шумом и случайной пере­ даточной функцией (инвариантной во времени), т. е.

Т0 : to (0 = х (t — T),

СО

Tx:z(t)= j g(t — т) w(x)x(T)dT + u(0,

—00

где w (t), g (t), u (t) и x (t) — статистически независимые величины.

241

9.4.ОЦЕНКА ИМПУЛЬСНЫХ АМПЛИТУД

Всистемах типа радиолокации или АИМ, когда полезная инфор­ мация имеется только в амплитуде импульсов, применять устройства, оптимальные в смысле непрерывной оценки формы сигнала, может ка­ заться нецелесообразно. Действительно, такой путь приводит к квазиоптимальным решениям, поскольку строго оптимальным является устройство, минимизирующее средний квадрат ошибки оценки ам­

плитуды.

В этом параграфе рассматривается фильтр, оптимальный в ука­ занном смысле; на его выходе в момент t — i0 формируется оценка амплитуды входного импульса с минимальной среднеквадратической ошибкой. Задача иллюстируется на рис. 9.10, где оптимальный фильтр

Рис. 9.10. Оценка амплитуды импульса.

предполагается непараметрическим, т. е. с постоянными парамет­ рами. Это допущение не снижает общности, поскольку представляет интерес отклик фильтра только в момент t = t0. Структура выходного сигнала фильтра в другие моменты не имеет значения, так что нет не­ обходимости рассматривать фильтр с переменными параметрами. Итак,

—oo

Хотя в данном случае входной процесс не стационарен, как это имело место в предыдущих задачах, в решении (9.65) все же удобно использовать частотные представления. Эквивалентное (9.65) условие в частотной записи можно получить, если воспользоваться подста­ новкой

---оо

изатем применить преобразование Фурье по переменной s. Эго дает

242

где обозначено

со

Согласованный фильтр

Рассмотрим классическую задачу оценки амплитуды импульса известной формы при известном времени прихода и при наличии аддитивного, стационарного в широком смысле шума с нулевым сред­ ним. Из рис. 9.10 видно, что

оо

и использовав (9.68), (9.69), найдем

Bzz(f, v) = t f R (/) R* (v) + Kuu (/) 6 (f —v), Сги(Д t0) = a2R(f).

Условие (9.67) для функции передачи оптимального фильтра при­ нимает вид

оо

a?R(f) J R*(\) ff*(v)e~2nv(»dv-l-H*(/)K'uu(/)e~ /'2lTB|>==a2£((/). (9.72)

Вводя неизвестный пока коэффициент пропорциональности а, полу­ чаем решение в виде

причем подстановка (9.73) обратно в (9.72) дает

Мы получили согласованный фильтр для сигнала r(t), принимаемого в шуме со спектральной плотностью Кии (/) [4—6]. Этот фильтр есть обобщение согласованного фильтра, полученного в примере 6.3. Там

243

мы нашли фильтр, максимизирующий выходной отклик в момент /= ^ 0, при входном сигнале единичной энергии. Можно было предполагать, что такой фильтр окажется оптимальным для оценки амплитуды сиг­ нала. Для белого шума это действительно так, но, как следует из (9.73), если спектр шума неравномерен по частоте, можно реализовать дополнительный выигрыш за счет большего усиления на тех частотах, где плотность шума мала. Реализация такой возможности для одного частного случая рассмотрена в следующем примере.

b(t)

Рис. 9.11. Реализация согласованного фильтра для треугольного импульса в шуме с экспоненциальной автокорреляцией.

Пример 9.6. Треугольный импульс в шуме с экспоненциальной корреляционной функцией. Пусть г (t) — треугольный импульс, по­ казанный на рис. 9.11, а аддитивный шум имеет спектральную плот­ ность вида

Согласно (9.73) функция передачи согласованного фильтра имеет вид

sin2 nTf c- j 2nft0

(9.76)

(я/)2

244

Положив tQ— Т и представив sin nTf через экспоненциальные функ­ ции, можно получить

на рис. 9.11. Согласно (9.8) получаемый средний квадрат ошибки оцен­

[jltf(f) I2 df]s

Это отношение показано на рис. 9.12 как функция параметра с = 2nf0T. Ясно, что выигрыш за счет строго оптимального согласованного филь­ тра ощутим лишь в случаях, когда полоса шума равна или меньше ширины полосы сигнала.

Упражнение 9.7. Выяснитть структуру согласованного фильтра (рис. 9.10) при дополнительном ограничении на площадь усиления

Д = \H(i)\*dfJ .

—ОО

245

Упражнение 9.8. Показать, что фильтр (см. рис. 9.10), который максими­ зирует пик импульсного отклика 1г — Е \у (/„)], при фиксированной мощности шума на выходе

/2== f KuU( f)\HWdf

имеет функцию передачи, пропорциональную функции передачи согласованного для этого случая фильтра. Согласованный фильтр чаще трактуют как максими­ зирующий пик сигнала по отношению к среднеквадратическому уровню шума, чем как оптимальный в смысле оценки амплитуд.

Упражнение 9.9. Показать, что если согласованный фильтр для импульса г (I) в белом шуме

H(f)=aR* (/) е~>'2п1/°

используется с шумом иной плотности, то минимальный средний квадрат ошибки оценки амплитуды определяется выражением

причем для этого коэффициент усиления а выбирается наилучшим образом.

Согласованный фильтр для импульсов со случайными искажениями

Если форма принимаемых импульсов точно не известна, то сог­ ласованный фильтр будет, строго говоря, квазиоптимальным. Будем рассматривать г (t) как реализацию некоторого случайного процесса и найдем фильтр, минимизирующий усредненный по реализациям сред­ ний квадрат ошибки оценки амплитуды. Можно свести эту задачу к фильтрации сигнала / (t) известной формы при наличии случайной дисперсионное™ канала G (/), т. е. к задаче, рассмотренной ранее в связи с оценкой формы сигнала. Получается та же задача, что на рис. 9.10, но G (/) следует считать случайной. Итак:

То:® (О = а-

— ОО

246