принятого сигнала у (/) и разностного сигнала d (/). Когда у (/) и d(t) имеют высокочастотное заполнение, как на рис. 10.12, то время появ ления сигнала должно быть известно точно. Иначе величина (у, d), существенная для выбора наиболее правдоподобной гипотезы, может значительно измениться. Мы можем продемонстрировать это сле дующим образом (см. упр. 4.8):
(у, d ) - ( y \ d )= -i-R e[(l-e /0 )(o , у)1, |
(Ю.80) |
где со (0 и у (t) — комплексные огибающие у (/) и d (/) соответственно, a y(t) отличается от y'(t) только сдвигом фазы на величину 0. Далее, если у (t) или d (() сдвинуть по времени на величину Д, существенно меньшую, чем Т, то произведение (со, у) изменится незначительно, но множитель 1 — е>'9 может существенно измениться. Сдвиг по вре мени, равный Д = 1/2 /о, полностью изменяет полярность сигнала на выходе приемника. Ясно, что погрешность определения времени долж на составлять малую часть от 1/2/0, а не от Т, как это потребовалось бы для низкочастотных сигналов. Практически может оказаться, что такая точность не выполнима. Тогда нужно применять другие методы обнаружения. Приемник, не использующий информацию о фазе несу щей, называется некогерентным обнаружителем. Исследование такого приемника, основанное на критерии максимального правдоподобия, является предметом этого параграфа.
Пусть передаваемые сигналы s0 (/) и sx (t) подвергаются фазовым сдвигам и действию аддитивного белого гауссова шума с нулевым сред ним и спектральной плотностью N0 вт/гц. На основе анализа принятого
сигнала у (/) мы хотим сделать выбор |
между гипотезами Н0 и Ну. |
# 0 : у (/) = |
so (/) |
+ |
и (/); |
t £ T, |
|
Я х : у (0 = |
s{ (0 |
+ |
и (0; |
t 6 Т, |
(10.81) |
где s' (t) и Sj (/) — сдвинутые по фазе передаваемые сигналы. Ис пользуя комплексные огибающие, можно переписать (10.81) в виде
Н0 |
: и (0 |
= |
е/0 а (t) + |
ц (/); |
t £ T t |
lQ g2) |
Нг |
:©(/) |
= |
e/e p (t) + |
л (/); |
t 6 T. |
|
Далее мы поступаем точно так же, как в предыдущей задаче обнару жения на фоне белого шума (см. § 10.4) и проектируем комплексные огибающие принятых сигналов на конечномерное (комплексное) под
пространство |
S, натянутое на ортонормальную систему {tpfe (/); |
k — 1, 2, ..., |
ri). |
Имеется простая зависимость между вещественной и мнимой час тями комплексных скалярных произведений и соответствующих ска лярных произведений для вещественных узкополосных сигналов. Эта зависимость часто используется далее, и мы ее здесь выпишем:
(*i. xa) = |
-i-R e(v1, у2), |
|
(10.83) |
( X i , Х ,) = |
---- ^ Im (Yl, у2), |
где хг (0 и х 2 (t) |
— вещественные узкополосные сигналы с комплекс |
ными огибающими |
(t) |
и у2 (t), а х 2 |
(t) |
— это сигнал х2 (t), |
сдвинутый |
по фазе на 90°, |
т. е. х2 (t) = Re |
[у2 |
(t) |
_. Л |
е' 2"f»< ] (см. |
упр. 4.8). |
е ' 2 |
Обозначая |
действительную |
и |
мнимую |
компоненты |
индексами |
R и /, записываем |
|
|
|
|
|
|
|
|
(to, |
(fk) = wh = wRk + jw,k , |
|
|
|
(a, |
<pk) = ak = aRk+ jaihJ |
(10.84) |
|
|
(Р. фь) = bk = bRk+ jb,k f |
|
|
|
|
|
(Л. |
фй) = «ft = nRh+ jtl!*. |
|
|
Используя (10.83) и учитывая, что kuu (t, s) = IV„6 (t — s), нетрудно показать, что вещественная и мнимая части некоррелированы, и каж дая из этих компонент имеет дисперсию 2М0. Далее, аналогично (10.30) функция правдоподобия для ш при условии, что справедлива гипотеза Н0, а фаза 0 фиксирована, получает выражение
/ (О) | До |
И 0) : |
1 ; ехр |
1 |
2 |
(wRk~aR |
cos Q+a, sin0)2 + |
|
|
|
(4jxjVо)” |
‘ \ |
4JVo U = , |
|
|
|
|
|
+ (wi |
—aR sin 0—й/ cos0)2 |
(10.85) |
Перегруппировав слагаемые в показателе (10.85), находим |
/(о> |# 0 |
и 0) = _ 1 _ е х р ( —-^ -{ Л + ^о—2Cocos(0 + £)}'j , |
где |
|
|
(4яЛ?0)п |
V 4/V0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А ) = 2 |
+ |
Во - S аД ь+ аП, 1 |
|
|
|
k= 1 |
|
|
k=\ |
( 10.86) |
|
|
|
|
|
|
|
|
С о=( |
2 |
wRhaRk + wiba‘b) + ( |
2 |
wRhaib — WibaR |
|
,fe=i |
|
ft |
ft |
*= i |
4 ' a |
'ft "ft |
Теперь мы будем рассматривать фазовый сдвиг как случайное воз мущение, вносимое каналом. Можно также рассматривать его как случайный параметр передатчика, или как следствие неточной синх ронизации опорного сигнала в приемнике. Если сдвиг есть случайный параметр канала, мы должны учесть его влияние на обнаружение, изменив функции правдоподобия для канала. Это должно быть выпол нено с учетом закона распределения параметра 0, его плотности ве роятности, т. е.
2я |
|
1((л\Нй)= § 1((й\Н0 и 0 = о) ре (о) do. |
(10.87) |
о |
|
Функции правдоподобия можно рассчитывать для различных законов распределения 0 [2]. Наиболее важный для практики случай, случай
некогерентности, дает |
равномерное |
распределение 0 на отрезке |
0ч-2 л. Другие законы |
распределения |
приводят к приемникам, назы |
ваемым частично когерентными. С учетом равномерной плотности
(10.87) принимает |
вид |
|
|
|
/(ш |Я 0) |
1 |
— ( Л 0+ В 0 ) |
I |
— C O S < С + £ ) do |
е 4N„ |
( 10.88) |
|
(4iiN<>)n |
|
2 я |
|
|
|
|
Интеграл (10.88) выражается через модифицированную функцию Бес селя / рода нулевого поряда / 0 (х). Повторив те же рассуждения для функции правдоподобия, при условии, что справедлива гипотеза Hlt получаем отношение правдоподобия
А, (<в) |
Ц«>\Н1) С7Д- |
h(Cii2N0) |
(10.89) |
/0(С0/2Л/0)
где В 1 и Сх — величины, соответствующие В0 и С0 в (10.86), но в ко торых вместо aRt и а>, подставлены Ьи и bi,. Эти величины можно
понимать как скалярные произведения в L2 (Т), если п достаточно
велико, так что 5 содержит передаваемые сигналы a (t) и |3 (/). |
(Если |
базисные функции выбраны удачно, |
вполне достаточно п = |
2.) |
П |
|
|
|
|
П |
|
|
в 0= 2 |
|
(аД .+ а; |
* |
) = 2 |
I I 2= ( а > «), |
|
k=\ |
* |
|
*=1 |
|
п |
|
в , |
= (Р, Р), |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
(WRkaRh + wthaih) = Re(&, а), |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(w Rk a Jk — w ‘h a Rh) = — 1т(ю, а). |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
С] =|(®, Р)|2. |
(10.90) |
Со =|(о). «)|2; |
Из этих соотношений видно, что некогерентный приемник максималь ного правдоподобия должен образовывать скалярные произведения принятых сигналов с эталонными сигналами, являющимися копиями передаваемых. Согласно (10.89) и (10.90) решающее правило имеет вид:
1 L№, |
Р) — ( а , а ) ] |
1(«И «)| \ |
Принять Н0, если 1( I (ц, Р) 1 < А0 eiN« |
/ о |
2No |
|
у |
|
|
(10.91) |
Решающее правило существенно упрощается в важном для бинарных систем связи случае, когда используются сигналы равной энергии, с одинаковыми априорными вероятностями и равными ценами ошибок.
Тогда А,0 = 1; |
(р, Р) — (а, а) = 0 и, поскольку / 0 (х) — монотон |
ная функция, решающее правило принимает форму: |
|
Принять Н0, |
если | (<а, р) | — | (w, а) | < 0. |
(10.92) |
Блок-схема приемника, использующая комплексные огибающие, показана на рис. 10.13. Чтобы выяснить реализацию такого приемни ка, воспользуемся соотношениями (10.83).
Re(o>, а) = 2 (у, s0),
(10.93)
1ш(ю, а) = — 2 (у, s„).
Рис. 10.13. К ом плексное представление некогерентного приемника м аксимального правдоподобия для бинарного обнаруж ения сигналов равной энергии в белом шуме.
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
Со = |
| (о, |
а) |2 = |
4 [(у, |
s0)2 + |
(y, |
s0)2], |
(10 94) |
Cf = |
| (o>, |
P)|2 = |
4[(y, |
Sl)2 + |
(y, |
s*)2]. |
|
Реализация с помощью умножителей, интеграторов и фазосдвигаю щих цепей квадратурных каналов, непосредственно вытекающая из
(10.94), показана на рис. 10.14.
Схему с комплексными огибающими, показанную на рис. 10.13, можно реализовать также с помощью фильтра и отсчетного устройства, что предпочтительно с практической точки зрения, так как детектор огибающей реализовывается просто. Поскольку модуль комплексной
огибающей |
есть амплитудная |
огибающая |
узкополосного |
сигнала |
{см. (4.40) |
и (4.46)], нужные величины Сх и С0 |
можно снять с выхода |
детекторов, как в приемнике, |
показанном |
на |
рис. 10.15. |
Согласно |
(4.57) мы |
имеем |
|
|
|
|
|
Yi(*o) = - y j |
®(т)Ч/о—Ч dx = |
|
|
—ОО |
|
|
|
|
= -~(<а, Р), |
если 4 4 = P(ft)-— |
(10.95) |
где X (t) — комплексная огибающая импульсной характеристики ве щественного узкополосного фильтра. Импульсная характеристика узкополосного фильтра в верхнем канале схемы есть sx (t0— t), т. е. этот фильтр согласован с одним из передаваемых сигналов.
