Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

При выборе сигналов для бинарных систем связи разумно потре­ бовать, чтобы разность принятых сигналов на выходе приемника в от­ сутствии шумов была максимальной. При ц (t) = 0 разность выходных сигналов схемы (см. рис. 10.13) имеет вид

(С .-С о |Я 1; т) = 0)—(CV—С0[# 0, т] = 0) =

= 1(Р, Р)|-|(Р, «)|-|(о, Р)1 + |(«, а ) I = 2|| a f —2| (а, р)|. (10.96)

Ясно, что разность (10.96) будет максимальной при ортогональных комплексных огибающих, т. е. при (а, р) = 0. Этот результат суще­ ственно отличается от когерентного случая (см. § 10.4), где выходная разность максимальна при s0 (t) = — Sj (i). Сигналы, отличающиеся

Рис. 10.14. Реализация приемника максимального правдоподобия с помощью умножителей и интеграторов.

только знаком, непригодны для некогерентного приемника, так как при сдвиге фазы на 180° один сигнал будет совпадать с другим. Следует заметить, что из ортогональности сигналов (s„, не следует, что (а, р) = 0, хотя обратное верно. Ортогональные комплексные оги­ бающие можно получить различными способами. В частности, такая ортогональность возможна при условии, что амплитуда сигнала по­ стоянна, т. е. только за счет фазовой модуляции. Это практически важно, поскольку энергия сигнала максимальна при полном исполь­ зовании пиковой мощности передатчика. Кроме того, при применении фазовой модуляции и ограничителей амплитуды в приемнике можно получить некоторый выигрыш в помехозащищенности по отношению к импульсным помехам.

Пример 10.1. Частотная манипуляция. Существует простой спо­ соб получения ортогональных комплексных огибающих для узкополос­ ных сигналов с постоянной амплитудой. Положим

292

Комплексные огибающие вида (10.97) получаются за счет положитель­ ного и отрицательного сдвига несущей частоты / 0. Подобная операция называется частотной манипуляцией. Как следует из (10.98) наи­ меньшее значение v, при котором комплексные огибающие ортого­ нальны, есть v = 1/277 Передаточные функции согласованных филь­ тров при реализации приемника с помощью фильтров и отсчетных устройств показаны на рис. 10.16. В первом приближении можно счи­ тать, что приемник работает как частотный дискриминатор. Чтобы

Фильтр, согласованный

Отсчет

Рис. 10.15. Реализация приемника максимального правдоподобия с помощью фильтра и отсчетного устройства.

вычислить характеристики приемника для случая ортогональных комплексных огибающих сигналов равной энергии, удобно в качестве

для гипотезы Н0выражается через ортогональную проекцию на 5 при­ нятого сигнала в виде

l(wRl, w!t, wRl, wi, | Я0) =

можно записать новую функцию правдоподобия для переменных z0 и zlt пропорциональных напряжению на выходах верхнего и нижнего

каналов блок-схемы рис. 10.13. Согласно (10.99) и (10.100) эта функция правдоподобия имеет вид

В соответствии с (10.12) вероятность ошибки I рода (принять Н х в слу­ чае, когда верна Я 0) дается интегралом от функции правдоподобия по критической области R -р

сама плоскость zlt z2 есть двумерная часть четырехмерного пространст­

Интегрирование по р, v и zx в (10.103) легко выполняется, после этого находим

Или, после замены переменных по формулам z2=zllN0 и а2= ||а |2/4Я0,

294

II «XII2 II а II2

Интеграл (10.105) с переменным нижним пределом часто встречается

ь

Выходной сигнал, _

соответствующий

s . it) 8 отсутствие 0 шума

Рис. 10.17. Критическая область для некогерентного приемника мак­ симального правдоподобия.

В силу симметрии задачи, условная функция правдоподобия гипотезы

где р — отношение сигнал/шум, т. е. отношение импульсной энергии сигнала к спектральной плотности шума, как в (10.57). Используя

(10.107), можно построить график вероятности ошибки и сравнить результаты со случаем когерентности по фазе (см. рис. 10.10). Так как характеристики некогерентного приемника рассчитываются при усло­ вии, что комплексные огибающие ортогональны, сначала мы проведем сравнение в предположении, что и в когерентном случае используются ортогональные сигналы. В этом случае (d, d) = (s0, s0) + (sx, st) =

= 2 (s0, s0) и Pe = Ф ( — p /]/2 ), где p определяется для когерентного случая согласно (10.107). График вероятности ошибок показан на рис. 10.18. При больших отношениях сигнал/шум эквивалентное уве­ личение шума, обусловленное случайностью фазы, незначительно. Для вероятности ошибки порядка 10~7, ухудшение составляет лишь 0,6 дб. Мы видим, что при больших отношениях сигнал/шум основная доля потерь (примерно 3 дб) связана с использованием ортогональных сигналов вместо сигналов противоположной полярности.

В задачах радио- и звуколокации особенно важен случай, когда s 0 (t) — 0. В этом случае согласно (10.89) отношение правдоподобия имеет вид

В силу монотонности Т0 (х) сравнение отношения правдоподобия с по­ рогом эквивалентно сравнению с порогом величины | (©, Р) |, и реша­ ющее правило имеет вид:

принять Н0, если | (<*>, Р) | < г,

где г определяется из уравнения

(,0Л09)

Приемник имеет ту же структуру, что и ранее (см. рис. 10.13—10.15), с той разницей, что нижний канал отсутствует и на выходе устанавли­ вается порог, определяемый либо с учетом цен и априорных вероят­ ностей, либо из условия заданной вероятности ложных тревог. Выра­ жения для характеристик приемника не так просты, как для бинарных сигналов равной энергии (см. упражнение 10.7).

Рабочие характеристики приемника, полученные с использова­ нием значений Q-функций, имеются в работах [2], [5].

Упражнение 10.6. Показать, что в (10.84) вещественная и мнимая части коэффициентов комплексного шума некоррелированы, т. е.

296