Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

К упр.

1.3. Дано:

S =

Sj U S2 [J S3...

и

S; П s j = 0

Для

i ф j.

Покажем, что х ~ у -ф==ф- { х £

S* и y(^Si для одного i) действительно есть от­

ношение эквивалентности. Для этого убедимся,

что

оно удовлетворяет

свойст­

вам (1.12 а, б и в):

может быть только в одном подмножестве,

поскольку

а) х ~ х,

так как х

Si П Sj = 0;

S{ => у ~ х;

б) х ~ у =$- х, у

в) х ~ у

и у ~

z =>■ х, у,

г £ Si =>- Xi ~ г.

Обратно, если дано отношение эквивалентности, покажем, что множество

всех различных подмножеств вида Sx = {у; у ~

х)

является разбиением мно­

жества S. В силу рефлексивности х £

Sx при любом х, объединение всех различ­

ных множеств

эквивалентности

есть

полное множество S.

е. являются одним и тем

и г

( SX2, тогда исполь­

зуя свойства симметрии и транзитивности, получаем хг ~

х2. Теперь предполо­

зуя симметрию и транзитивность), что х ~

х2, т. е. х

Аналогично дока­

зывается, что если у

— произвольный элемент из 5Жг> что у —- х =>• у £

Sx

Следовательно, S* =

SXz. Таким образом,

подмножества вида Sx = {у; у ~

х),

или совпадают, или не пересекаются.

Покажем,

что

х ~ у -Ф==>- &(х) =

К упр. 1.4. Sx =

{у; t, (У) = f (х) }.

S x = l y ;

(У) = l h W Д л я в с е х k £ К) .

му же множеству эквивалентности, если у них совпадают первые п членов разло-

ния в ряд Фурье.

£ S B (W) мы имеем X (f) — 0

для |j | > W (1.7)

К упр. 1.10. Для х

и можно представить X (/)

рядом Фурье па интервале 1Л <

W:

СО

.

nmf

*(/) =

V

Cm е 1

W ,

—I

где

С

1

. 2яmf

1

(1.29)

X (/) е~! ~W~ df

— х

т — 2W

2W

Поэтому, делая замену k

= —т,

получаем

ОО

k \

-1*т

X (/)=—

У

х

—

е •

w

u'

2W

^

2 W

k —— оо

Обратное

преобразование Фурье дает далее

W

/ Ь \ ]

^

-О / 4 ^ \ t

x ( t ) = Г Х ( / ) е » й / = Ъ - 1 -

_V

к \ 2 W / 2 W J w

Выполнив

интегрирование, приходим к

(1.34).

К упр. 1.11. Заметим,

что

ОО

X(f — mix) — периодическая функция f

2

с периодом 1/т.

т—— оо

_

Разложим эту функцию в ряд Фурье:

2

П

' ”

Т

"

, 2

j2ltlxf

с-

1= — оо

'

'

— оо

где

1 /Т

оо

р—/2я/т/ df.

с , = т {

2

т

0 т=—сю

и проинтегрируем почленно, тогда

Положим v = f — —

х

сг=

сю —(т—1)/т

оо

2

т

I

X(v)e~i2nlxvdv= r

J X(t))e-'2lt/xc,rfu=tx(-rt).

т= —оо

—т/х

—оо

Таким образом, мы можем записать

2

х ( / - — ) = х

2

т=—оо V

Ч" /

ft=—оо

Поэтому,

если х ~

у^=>- f (x)=f (у) -<==>• х (&х) = у (йх) при fe = 0, ± 1, ± 2 , ...,

то

2

т

T

(П = —oo \

К упр. 2.1.

Пусть

d — псевдометрика, покажем,

что имеет

место

отно­

шение

эквивалентности,

определяемое

соотношением

d (х,

у) =

0 =>- х

~

у.

Действительно, условия (1.12) удовлетворяются:

а)

d (х,

х) = 0,

следовательно,

х ~ х;

0

d (у, х) =

0 п х ~

у =>-

б)

d (х, у) =

d (у, х), следовательно,

d (х, у) =

=>- У ~ х\

г) <

d (х,

у) + d (у, г),

следовательно, если d (х, у)

= 0 и d

(у,

в)

d (х,

г) — 0, то d (х, г) = 0 и х ~ у, у ~ г =£- х ~ г.

S = { S j} ,

содержащее

все

Теперь

рассмотрим множество (пространство)

метрику d' на множестве

S

следующим образом:

d!

(Si, Sj)

=

d (x, у),

где x

( S(

и у

£ Sj.

произвольная точка в Sj, и у’ — произвольная точка в Sj, тогда

= d (х, у), т. е.

d (х', у') < d (х, у).

С другой стороны, d (х,

у)

< d (х,

у')

+

d (у',

у')

= d(x, у ’) <

d (х, х’) +

+ d (х’, у’)=

d (х',

у'), т. е. d (х, у)

<

d

(х', у').

однозначна.

Отсюда мы заключаем, что d(x',

y ' ) = d (ху).

Итак, метрика d'

Теперь покажем, что d' является метрикой:

a)

d'

(Sj,

Sj) =

d

(x,

x) =

0;

Sj ф Sy,

6)

d'

(St,

S.) =

d (x,

у)

>

0 при

Si);

d'

(Sj,

Sj) = d ( x ,

y) =

d (y,

x) =

d' (Sit

b)

d'

(Sj,

Sft) =

d (x,

г)

< d (x,

y)

+

d (y,

z

z) =Ф- d' (Sit Sh) <

rf (Sj, Sj) "f- d (Sj,

Sft),

где

x

Sj; у

^

Sj',

£

Sj.

Рассмотрим в качестве примера

d 2 ( х, у)= [J 1jc(0 —

(Ol2

1/2»

T

необходимо,

например, для того, чтобы можно было говорить об «обратном пре­

образовании

Фурье».

К упр. 2.2.

Чтобы показать, что d (х, у) = | f (х) — ft (у)\ есть псевдомет­

рика, проверим условия, приведенные в упражнении 2.1:

a) d (х,

у)

= \ft

(х)

— fi (у) | >

0

по определению модуля действительных

чисел, и d (х,

х)

=

(х)

— ^ (х)| =■

0,

поскольку функционал есть однозначное