Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

отображение. Заметим, что d (х, у) может равняться нулю и для х ф у, если функ­

ционал ft (х) типа «много в одно».

х ~ у (упр. 2.1) порождает как раз те мно­

Соотношение d (х, у) = 0

жества эквивалентности,

которые

описаны в упр.

1.4;

б) d (х, у) = If, (х)

— ft (у) I =

| f (у) — ft(x)\ =

d (у, х);

=

2|| х ||2 + 2 1| у ||2.

Таким образом равенство параллелограмма доказано.

К упр.

2.10. || х + у ||2—1| х - у |Р + /Ц х + /у И2 — / 1| х -

/у |Р = (х,

х) + (у, у) +

+

(х, у) +

(у, х) — (х, х) —(у, у )+ (х , у)+(У> х) + /(х ,

х) + /(у,

у )+ (х , у) —

Поляризационное тождество доказано.

К упр. 2.13. Докажем непрерывность гх (т). Пусть т0 произвольно. Найдем

верхнюю границу величины

\гх ('г)— гх (-г0) I = 1Re (х, хх) —Re(x, хТо)| < |(хт—хТо, х)|.

Согласно неравенству Шварца

I (хт ~ хт„>

х ) <11хх - хт01111х И-

Для удобства положим || х |) = 1.

Тогда получим

-C O

oo

I X (f)\2 I %i2ltf (T—To) — 1

1/2

J

^2 df

— CO

oo

1/2

2 I

|^(f)|2 [1—COS 2ix/(r — x0)] d/

О

—С

г

со

1/2

— С

ОО

J*

l* (/)l2d/ + f |* ( / ) p d / < g2/8,

-----СО

С

<

e2

e2

f

,

1 / 2

<M CO

COex—i 1/2

—

4 -—

\X(f)\*df

=

^ 2

2

2

_<*

2

Здесь

учтено,

что

последний

интеграл

равен единице,

поскольку ||х2[| = 1.

Таким образом, мы показали,

что т — т0 <

б =>-| гх (т) — гх (т0)| < е и гх (т) —

непрерывная функция.

так как

СО

СО

гх (т) = |

x(t)x(t-§ -x)dt = J

х (а—т) х (a) do=rx (—т ).

Здесь сделана замена переменной сг =

/ -f- т. Снова,

применяя неравенство

Шварца,

получаем

rx (t) <

|(х,

xt )| < || х К|| хг ||= [I х ||2—гх (0),

таким образом, гх (т)

< гх

(0).

предположив,

что множество ортонормальных векторов {ub и2, ..., и*} уже по­

лучено. Покажем, что при этом следующий вектор 11*4-1,

получаемый по этой

i

W*+1= V*+ 1— 2

(v*+l> l'ft) “ft-

ft=l

l

(Vf+ 1, иh) (Uft, u7).

(wi+ 1 Uy) =

(Vi+ 1 , и д —

2

k = \

Но

мы

приняли,

что

для

1< / < i и 1 < k < I

(ид u;-) = 67^ , следовательно,

( W j + l , Uy) =

(v i + 1 - "/) —( V i + X .

U y ) = 0

для

l

< j < i.

X (t) = 2

“ i Фг ( 0 = 2 “ г ( 0 :

Г -

i=i

г = 1

Тогда при

t

£ Т

2

(а, — а;)

ф£

(0

= 0 (почти

всюду)

и, поскольку

{ср£ (t);

i =

1,2, ...}

i= 1

=

a £ для всех i.

линейно независимы, мы имеем at

Следовательно, представление (3.1) единственно.

где х (

1И,

а у (

IV

К упр.

3.2.

Покажем,

что разложение

z =

х + у,

единственно тогда

и только тогда, когда М f)

/V = {0}.

xt + у,,

z =

х2 +

у21

а) Пусть М f)

N =

0

,

и предположим,

что z =

Xi, х2 £ /И, у!, у2 £ N.

а

поскольку

0 — единственный

общий

вектор

Тогда Xi — х2 =

у2 — у 1г

для М и N, то хх =

х2

и ух = у2,

т. е. разложение единственно.

г =f=0,

для

б) С

другой

стороны,

предположим, что существует такой

которого

справедливо

z

(

М fl

Л/.

Тогда

можно записать z =

х +

0

или

z =

0 + у, и разложение не единственно.

Итак, в а) и б)

мы доказали,

что

-Ф==>- Л1 f) N =

(0).

{z =

х + у;

х £ М, у ^

N — единственно)

Поскольку {ф£; i — 1,

2,

... } — базис для L,

{ф£;

i =

1,

2,

..., п } — базис для М и

{<fi; i <=* n +

1,

n +

2,

...} — базис

для

N,

а

также

{tp*}

— линейно­

независимая система, мы можем утверждать, что М f|

N ■=

{0>;

и единственным

образом записать

П

ег) фг

ОО

z =

2

(z,

+

2

(г . 0г)фг-

i= I

»=/г+1

ёПм

6У

Заметим, однако,

что

П

оо

0

у =

2

(6;, 0г ) ф г +

2

(0/.

0г) Фг

ij=l

t=n-}-l

не всегда равно нулю при

/

<

п

и

i^> п.

Поэтому

нельзя

утверждать,

что 07- £ М

при

/ <

я;

следовательно,

{0^;

/ ' = 1 , 2 .......п)

не

обязатель­

но является взаимным базисом в М.

Если {фг} — ортонормальная система, то

она самосопряженная, и {q>j

=

0;;

t =

1, 2, ...,

п) есть взаимный базис для М .

ортонормальных систем.

{фг;

г =

1,

2,

... }

— полная

ортонормальная

К упр.

3.5.

Поскольку

система, мы

можем записать:

п

п

х = 2 (х>фг) фг; У = 2 (у* фр Фг

Тогда

г=1

/=1

(х. у) = ( 2

( * .

Ф г ) Ф г . (У2. Ф / )

Ф / ) =

j

2(х2, Ф г ) (у/ ,

ф / ) * ( ф г ,

ф / ) •

г

/

г

А так как (фг, фу) = б е7,

то (х,

у) =

2

(х . Фг) (Фг. у)-

i —1

Таким образом, доказано равенство Парсеваля.

1, имеем

К упр.

3.6.

Учитывая

указание и условие

|| х |[2 =

т

2

|

« г

—

«

г

0Рг—<2

(0г >vft) “ft

г=1

Поскольку ид и уд (k

~

1,

2, ....

т) — взаимные базисы,

из (3.12)

мы имеем

т

2

т

2

0г— 2 (0г>vft)“ft

=

1

1

0

г II2 —

2

(

0

г>

v

f t )

“ ft

1

1

но, так как {ид} — ортонормальная система, то из (3.58) с учетом

|| ид ||2 -

Tim

находим

2

(

0

г >

v

=f t

)

“

ft2

l

(

v

f t .

0

г ) | 2

|“

ft

I!

Л

1

sin2 (ni/m)

T

—

1

sin2 (ягIm)

— Ъ

T2

(ni/m)2

m

(ni/m)2

l

T

Наконец, подставив || 0,-|j2 = 1/Т,

получим

1а; — а

|2<

1

1-

sin2 (ni/m)

(ni/m)2

Теперь, если мы хотим выполнить условие

| а/ —а;

| <

О.ШГ-

1/2 для | г | < п/2,

sin2 (лп!2ту

4

I п/2 осп/2| ^ Т

(nn/2m)2 _

хождения переключателя на

каждом контакте вдвое верхняя граница ошибки

определения коэффициентов

Фурье соответственно уменьшается. Однако, по­

вторив предыдущий анализ для такого

случая, получим

1

sin2 (ni/2m)l

1

2

(ni/2/n)2

^ 2Т

f (х) =

J б (at — t0)x (t)dt .

h

Сделав замену переменной: t' =

at, мы получим

at,‘

!

t'\dt'

I “ l**

6 ( t ' - / 0) x

t'\dt'

f(x)= f b(t’- t 2)x

_

_ =

[

—

— •

a/t

\

a /

a

\ a \ t ,

\

a

/ \ a\

Но по определению 6 (f

— tQ)

[см. (4.'3)] имеем

| ~^t x f —

) при | a | 4

< t0 < 1a 1t2,

/(x )= j

| а I

\ a

/

(

0

в остальное время.

6 (at — 10) = —

б (t — t0/a) .

М

К упр. 4.3.

Для анализа величины х (t) =

g (t)

ОО

h (t — kx)

2

k——OO

мы вначале разложим в ряд Фурье периодический множитель

2

h ( t - k т )=

2

k= — оо

1= — оо

где

т—«т

Ci= — ^

1

h(t— kx) е i2nltlxdt==_

у

Г

ft (a) Q—i2nla/x da =

X 0

к

х

k

—kx

= - L J

h (o) e- /2lt'a/T do — — H I —

) .