Таким образом, мы имеем
|
|
1 |
„ |
Я |
/ |
I |
/2к///Т |
|
*(0 = — 2 |
|
|
g (0 е |
|
|
х |
I |
|
|
|
|
Теперь вычислим почленно преобразование Фурье: |
|
Х Ш =т- 1 I2 Я ( |
— ) |
gW e-''w ( H W * = |
|
|
Т / —Го |
|
|
|
1 |
|
|
я |
|
G / — |
|
|
2 |
|
|
\ |
|
|
т г=—оо |
|
т |
|
В силу свойства дуальности |
|
|
|
|
|
|
1 |
оо |
/ |
|
|
I |
|
|
|
Х ( / ) = _ |
2 |
W ( / ) G ( / — |
|
) =S- х (#) = |
2 * ( А т ) А ( * - * т ) . |
т г=_оо |
\ |
|
|
т / |
|
а= - оо |
Одним из применений этого общего результата является вывод формул преобра зования Фурье для различных «последовательностей импульсивных функций»
|
а) |
Пусть g(f) = l и h(t) = 5(t), тогда имеем G(f)=£>(f), H(f) = 1, x(t) = |
|
оо |
|
1 |
°° |
|
/ |
l |
|
= |
2 |
8 ( * - f t T ) = > X ( / ) = — |
2 |
6 ( / — |
|
|
— со |
|
T |
l = - —сю |
|
\ |
Т |
|
|
б) |
Пусть |
Jnt/x |
|
h(t)=&(t), |
тогда |
имеемG (/) = б {/ |
|
g (t )= e int' x и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2т |
Я ( / ) |
= |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (0 = 2 е,л/^х 6 (t —kx) = 2 |
(— 1)* б (/ —&т): |
|
|
|
k |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
=**(/) = - 1 - 2 б ( / - 2 . - 2 |
- ) . |
|
К упр. 4.4. В выражении х (t) = |
2 |
g (t) h (t — &т) положим g (t) — 1 |
|
(/) = 6 (/) |
|
|
|
& = |
----- CX) |
|
|
|
и используем результаты упражнения 4.3. Тогда |
|
|
|
х ф = -- |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 = - О О |
\ |
х / |
\ |
X |
Теперь вычислим почленно обратное преобразование Фурье. Мы получим
2 |
1 |
* |
/ / |
J 2 n lt/X |
h (t —kx) = — |
V я |
|
k = — оо |
Т |
/ = — оо |
|
|
В частности, при t = 0 получается обычная формула суммирования Пуассона:
2 h ( - k т)= 2 |
А(Ат) = - 1 2 я ( — ) . |
& = —оо |
k — — оо |
Т / = — оо \ Т / |
Можно воспользоваться дуальным соотношением * (< )= 2 g (kx) h (t—kx). ft
Положив g (t) — e'2nvt=>- G (f) — 6 (/ —v), получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
если U0 ({) = 0 для | f | > f 0, то |
|
|
|
|
X t f > - |
/ |
s i g n =/ |
) X |
( / ) |
+ ш . |
|
Пусть |
y ( t ) = x (t), тогда i|)y (t) = y(t) |
+ |
/ у (t) = x(0 — jx (t) (cm. ynp. |
4.5), и |
’b (0 = —J'Px (0 • |
При этом уу (t) = —/у* (0 = 0 |
—ju0 (t). |
|
К ynp. 4.8. |
(Yi, |
72) = (Фъ |
<Ы =(х1 + /Xi , |
x2 + /х2) = (х1хг) + (xi, |
x2 ) + |
+x2)—(xjXa)].
Но согласно (4.25) (xj, x2) = (x1, x2) и в соответствии с ynp. 4.5a
( x b x2) = (x!, J 2) = - ( X l , X2 ).
|
Следовательно,' |
|
|
|
(Yi- |
Y2)=2(x1, |
xa) — /2(Xi, x2). |
|
Отсюда |
1 |
|
|
(xi, |
Re(Yi, Y2), |
|
x2) = — |
|
(xj, |
x2)= — — Im(Yi, y2). |
|
Пусть, например, мы положили y ( t ) = x 2(t), тогда |
|
% ( t ) = y ( t ) + i d ( t ) = x 2(t) + i 4 ( t ) = x 2(t)~ jxz (t) = ~ /4 ^ (0 |
|
или |
Vv(t) = —m (0- |
|
|
К ynp. 5.5. Пусть инвариантный во времени оператор характеризуется импульсной реакцией г (t) (отклик на единичный импульс, поступивший в мо мент t = 0).
Случай А: инвариантный во времени оператор стоит первым:
w(t)
По определению: х (t) = б (t — т) =>■ у (i) — w (l) г (t — т) = h (t, г).
Ядра преобразования по отношению к другим базисам получаются из h (t, т)
согласно (5.31), (5.34) и (5.36):
|
Я (Л v ) = R ( y ) W ( f - y ) , |
|
G(t,?)=R(f)e’2nStw(t), |
ОО |
ОО |
К (f, t) = ^ |
г (г— t) w (т) е ~ /2я^т dx = ^ R (v) W (f—v) е—>2nvt dy, |
-----ОО |
-----ОО |
Случай Б: оператор стробирования стоит первым:
Снова |
по определению: |
|
|
|
|
х (t) = |
Ь (t — т) =>- у (f) = |
w (т) г {t — т) =» h (t, |
т). |
Согласно (5.31), |
(5.34) и (5.36) для этого случая |
получаем остальные ядра: |
|
|
*> |
H ( f ,v ) = R ( f ) W ( f - v ) , |
оо |
|
|
w (т ) г (( —т) е ' 2 я ,т |
di = ^ |
|
G (Л |
/) = |
^ |
(V) Г (V — f) |
е ' 2ял,г d v , |
|
|
-“ ОО |
|
— оо |
|
|
К(Л /) = /?(/)е-''2я?<ш(0.
Купр. 5.6. Для вырожденного оператора с импульсной реакцией
/I
й (С т)= ^ ’I’i (0 в? (т),
/= 1
применив (5.21), получим выражение для ядра в частотной области:
оо |
п |
|
п |
н ( / - v) = SS 2 |
^ ( о 0* оч е~ ,2лп e/2ltVT |
= |
2 ^ (f) &'t(v) ■ |
— oo i = |
I |
г = |
I |
Следовательно, разделимость сохранилась и в этом ядре. Разделимость является свойством данного оператора независимо от выбора базисных ядер. Чтобы это по казать, выберем произвольные базисы для пространства входов и пространства
выходов, скажем, ф (t, s) и ф (t, s) соответственно. Тогда согласно (5.32) имеем
|
|
|
ОО |
|
|
|
L(s, |
а) = |
^ 0(s, |
a) dt, |
|
|
|
— ОО |
|
|
где |
|
оо |
п |
|
|
|
|
|
|
’ |
’ИЛ S)= |
^ |
2 |
'fiW S* М ф (т, s)dx. |
|
|
— оо |
/ = |
1 |
|
Подставив последнее выражение в L (s, а), получим условие разделимости:
п |
ос |
|
п |
L (s, а) = 2 |
^ 6 ( s> 0 ^ ( 0 |
6* (т)ф(т, o)dtdx= 2 Лг(«)1*(°). |
/ = 1 |
— ОО |
|
i — i |
где |
|
|
|
|
0 0 |
|
ОО |
Цi(s)= |
§ 0(s, t)^i(t)dt, |
1\(о)= |
^ 0*(т)ф(т, a)dx. |
— |
ОО |
— |
0 0 |
К упр. 5.7. Отображения, получаемые с помощью вырожденного операто ра с импульсной реакцией (5.52), всегда являются линейными комбинациями {фг (0; i = 1, 2, .., п} , следовательно, область значений данного оператора есть линейное подпространство L2 (—оо, оо), натянутое на множество этих п векторов. Из (5.33) мы видим, что отображение у равно нулю тогда и только тогда, когда все скалярные произведения (х, 0;) равны нулю для i = 1, 2, п. Следова-
тельно, нуль-пространство для вырожденного оператора есть ортогональное до полнение подпространства Z.3 (—сю, оо), натянутого на { 0г- (t); i = 1, 2, щ.
К упр. 6.1. Для направляющего вектора имеем:
|
|
|
|
|
ч = |
2 |
6 а Фа , |
где |
2 l fihla = |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 а = • а д + |
/Р д = |
( и , |
ф д ) . |
|
|
|
|
|
|
Теперь |
мы |
можем |
записать |
/ |
(х 4* ей) = |
/ |
(х Ч~ е 2 а д ф д |
+ е Е Р д |
[/'ф д ]) , где |
ад и Рд — вещественные |
скаляры, |
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
и производная может быть получена со |
гласно |
(6.34) |
для |
вещественного пространства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (х + |
eu) = / ( х + |
в 2 |
«д <рд + |
е 2 |
Pft /Фа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
СЮ |
|
|
|
«О |
|
|
\ |
|
/ |
|
ОО |
|
|
ОО |
|
|
\ |
|
(х - f е 2 « а Фа + 8 2 Ра /Ф а j + |
/ ( х + 8 2 а А Фа + 8 2 |
Ра ’T s j — |
|
( |
оо |
|
|
|
во |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 |
2“ а |
Ф а + |
s |
^ |
P a |
/ Фа ) |
+ |
••• |
= (*1/ |
+ |
е |
а ^ ф ! ) |
) |
— |
/ ( х х) + |
|
х |
|
|
|
|
|
+ |
/ (Х2 + |
80! (/Ф1>)—/(х2) + .... |
|
|
|
|
|
где хт |
х при в |
|
0 для |
всех т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись (6.31), получаем |
производную по направлению |
|
|
|
|
^ |
|
, |
|
|
,. |
|
I (xi+ eaiTi) — / (xi) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
Du 1 (х) = |
«1 lim |
---------------------------- + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в—>-0 |
|
|
80Cj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. „ |
,. |
/ (х2 4- ePi (/ф!» —/ (х2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Pj |
lim --------------------------------- + • • • = |
|
|
|
|
|
|
|
|
е-+0 |
|
|
|
|
80! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
(х) + Ра£>,-Фь / (х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А= 1 |
|
|
|
|
|
|
/Фд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, |
чтобы выразить результат через скалярные произведения с и, |
запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ад = Re (и, Фд) = — (и, |
фд) + — (Фа , и), |
|
|
|
|
|
|
Р д = 1 т ( и , |
фд) |
= - ^ ~ (U, |
ф д)— |
^ - (ф д , |
и). |
|
|
|
Следовательно, DUI (х) = (и, f) + (g, и), где векторы f и g определяются сле дующим образом:
f = — ■2 Р Фа / ( х)1* Фа + Y |
2 [ % 7 (*)]* ФА, |
е = - у 2 (°Фд 7 W 1 Фа— |
2 [D jv J ( х )1 Фа- |
К упр. 6.2. Согласно (6.33) производную по направлению от квадратич ного функционала можно записать в виде
/ ( х ) = ( ^ х , х) |
DK I (х) = ( ^ и , х) + ( ^ х , и); Ц и |(= 1 . |
