Чтобы убедиться в непрерывности Dul (х) как функционала от х, запишем
|DU/ (x ) - D u / (Хо) | = |
| (**и, х)-(**и , |
х0) + |
(^ х . |
н)—(«т£х0, и)| = |
= |(^и , X—х0) + (^ |
[х—х0|, |
u ) |< |( i u ,• |
X—х0)| + |
+ I |
1х — х 0], |
и) К |
11 II || X— х 0 К+ |
||^# t X — х 01II ISи II- |
Здесь использовано неравенство Шварца. Поскольку Ив — ограниченный опе ратор, можно найти такое вещественное положительное число k, что
|| ивх || < k || х || для любого х.
Подставив это неравенство в предыдущее, получим
I Du I (х) — Du 1 ( х0) | < /г I х — х01| + fe|| х —x0|| = 2fe||x — х„||.
Отсюда сразу же следует, что Dul (х) — непрерывный функционал, поскольку это неравенство имеет место для любого х0 и любого направляющего вектора и.
К упр. 6.3. Пусть задано Н (/) (и, следовательно, f0), и пусть х (t) — сиг нал, ограниченный по длительности в интервале | t \ < Т. Пусть теперь Т стано вится весьма малым по сравнению с 1//„. Тогда, независимо от формы х (t) на интервале |^| < Т, входной сигнал приближается к импульсивному, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (t) zzah(t), |
где а = |
^ * (t) dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— т |
|
|
|
|
|
В |
этом |
предельном случае |
максимум выходной |
энергии |
просто соответствует |
максимуму |
а, |
если х (t) |
имеет |
единичную |
энергию. |
Найдем |
максимум |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
а |
= /] = |
J w (t) |
х (t)dt = |
(х, |
w) |
при |
ограничении / 2 = |
J w (t) хг (t) dt = |
= |
|
— ОО |
1. Пусть |
I — lx + XI2, и, |
полагая |
V/ == 0, |
— ОО |
V/ = |
0 => |
(wx, |
х) |
= |
получаем |
=£- w (t) + |
2Xw (t) х (0 = 0 =>- х (<) — постоянная |
величина в |
интервале |
| i | < |
< |
Т, т. |
е. входной сигнал есть прямоугольный импульс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
Импульсная |
|
дy(t) |
|
|
|
|
|
|
|
Энергия на входе |
реакция |
|
Энергия на выходе |
|
|
|
|
|
|
h(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*,*) |
|
|
|
|
|
|
|
(У,У) |
|
|
|
|
= |
К |
упр. |
6.4. |
В |
этой |
задаче надо |
максимизировать |
/, = |
(wy, |
у) = |
(w [h |
|
xj, h ® |
x) при ограничении /2 = |
(x, x) = 1. Оба квадратичных функ |
ционала содержат самосопряженные операторы, таким образом, положив гра диент функционала / = /j — Х12 равным нулю, получим
00
^Л, (t,x) х (т) dx = Хх (t).
—ОО
|
X |
Mi) |
------- |
|
1И=/ |
|
|
|
Ядро |
находим по табл. |
6.1: |
|
|
|
т |
|
|
Аг (t, |
т) = ^ h (о — т) h* (a — t) do |
|
|
— т |
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
® (0 = -£ -П + |
sign (Т — 1/|) |
|
|
|
|
ОС |
|
К упр. 6.5. |
Мы имеем |
{ /(0 = ^ |
ft (i—т)х(т)с1х, но |
в согласованном |
случае |
|
|
•ОС |
|
ft (to— t) = |
ах (0 =Ф- ft (0 = «х (t0— t) =ф - */ (() = |
|
|
|
|
ОС |
|
|
|
|
= |
^ ах (h — t + х) х(х) dx = arx (ta — t) = arx (t —t0). |
— оо |
|
|
|
|
Последнее равенство записано, |
исходя |
из (2.40) для вещественных сигналов. |
К упр. 6.6. Для вещественных сигналов преобразование |
Фурье функции |
автокорреляции согласно (2.41) |
имеет вид |
|
|
|
|
Rx ( f ) = |
\ Х ф |2 , |
|
таким образом, Rx Ф также имеет ограниченную полосу Щ < W. Согласно равенству Парсеваля
ООIV
г\ (т) dx = ^ |
I Rx (/) |2 df, |
|
|
— оо |
|
— W |
|
|
|
а применение неравенства Шварца дает |
|
|
|
w |
w |
г w |
|
|
$ I Rx (/) I2 df |
5 |
1df > |
jj Rx (/) 1df |
|
-w |
-w |
-w |
|
|
или |
|
|
oo |
|
|
oo |
|
|
|
|
5 ri м dT [2tt7i > л |
(°)=^ |
$ ri w |
dx |
2W |
|
|
|
|
|
Равенство достигается, когда | X (/) |2 есть константа на участке |/| < W; таким образом, импульс, обеспечивающий минимум радиуса корреляции, есть
x(t) = sin 2nWt
|
|
|
2n\Vt |
|
|
|
К упр. |
6.7. |
Максимизируем |
Д = у |
(t0) = |
(х, |
g); g (t) = h |
(iQ— t) при |
ограничении |
h = |
(x, x) = 1, x = |
wx при |
w (l) = |
j |
f1 +sign (T |
— | ij)]. |
Пусть
/ = (wx, g)-f-)l(wx, wx) = (x, wg)+A(wx, X ) ,
тогда
V 1 = 0 =>- wg -f- 2awx = 0,
т. e. |
x (t) = w (t) h (t0— t). |
К упр. 6.8. Максимизируем lx = v2 (t0) при ограничении /2 = (vb i) = 1. Используя функционалы в частотной области, имеем
Л=»*(<»)= 5 H( f ) vt (/) |
= (Vl. G), |
—•'со |
|
где
0(/) = Я* (/)е -'2я?Ч
/а = (VlP |
1) = |
|
(1, V1) = (YV1, V J . |
Пусть / => /х + Я/2. Полагая V/ = |
0, заметим, |
что / 2 не является самосопря |
женным оператором, поэтому |
|
|
|
|
|
V/, = |
[К ® |
+ У* 0 ] |
Ух 0 . |
Тогда |
|
|
|
|
|
V /= 0 = G 0 |
+ |
2MReY |
0 ] |
Ух 0 . |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
I/ |
Я *(/)е-'2л^ . |
|
|
|
(—2А,) Re У 0 |
• |
Постоянный множитель (—\/2Х) следует определить из условия нормировки
энергии на входе. Учитывая, что У (—f) = |
У* 0 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
- 11/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—2Я = |
|Я(/) I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
Re У 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
о- |
|
|
|
»(f) |
|
|
|
|
—о + |
|
|
|
|
у/ # |
|
Y(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о — |
|
|
К упр. |
6.9. |
В частотной области задача формулируется так. |
Надо мини |
мизировать /х = |
|| G — ХН ||2 |
при |
ограничении / 2 = |
|| х || 2=const, где G 0 , |
Н 0 |
заданные функции частоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ x = |
(G -X H , |
G—ХН) = (G, |
G) —2 (X, Н* G) + |
(| Н |2 X, |
X), |
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 = |
(Х, |
X). |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что оператор (| Н |2х, |
х) самосопряженный. |
|
|
2| Н |2Х + |
= 0, |
Берем / = /х + |
Х12и полагаем V/ = |
0, т. е. —2H*G + |
отсюда получаем искомый результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(f) = |
Н |
* ( П |
G |
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Н(/) I2 |
+ К’ |
|
|
|
|
|
|
где X должно быть выбрано так, чтобы удовлетворить условию J |
|Х 0 |2 dfi = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ОО |
|
Н - 1 0 , |
= / 2. Если соответствующее значение А, достаточно мало, то X (f)=G 0 |
т. е. мы получаем тот же результат, |
что в задаче без ограничений. |
Наиболее |
интересен" случай, когда G 0 |
содержится |
в полосе Н 0 . |
Заметим, |
что при |
G 0 = |
1 результат |
получается таким |
же, как в примере |
6.4. |
|
|
К упр. 6.10. |
Например, |
пусть 1Х= |
1/2 и / 2 |
= |
1/2 |
(при этом мы попадаем |
на линию с — 0 на рис. |
6.10). Положим х = |
xt + |
х2, где хх — прямоугольный |
импульс длительности Т, а х, |
|
|
|
|
sin 2nWt |
|
|
|
— импульс вида —2nWt |
’ имеюш‘ии пол°су W. |
Далее, подберем такие амплитуды, |
что || хх П2 = |
II х2 1[2 = |
1/2. Теперь, не из |
меняя |
W, положим |
Т -*■0. Тогда с -> 0. |
Заметим также, |
что (хх, |
х2) |
0, так |
что I) |
х || 2 = |
ИХх (] 2 + |
(I х2 Ц2 => 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К упр. 7.1. Рассмотрим вещественный процесс у (<) на выходе фильтра. Согласно (7.31) для него
Куу (f) = I Я (/) |2 К хх (/).
Пусть х (0 — белый |
шум со спектральной |
плотностью Кхх (/) = 1 для |
всех /, |
и пусть |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
5 1Я(/)12# < ТО, |
|
|
—оо |
|
|
й (t) — произвольная |
вещественная функция из L2 (—оо, оо) (вообще |
говоря, |
это условие также не обязательно). Тогда |
|
|
|
|
ОО |
|
Kyy{f) = \ H { f ) \ ^ k y y ( x ) = |
5 h ( t ) h ( t+ x ) d t , |
|
|
|
— ОО |
|
и, следовательно, kyy (т) = гд (т) есть временная функция неопределенности фильтра h (t).
К упр. 7.2. Непрерывность kxx (т) вытекает из следующего. Мы имеем
I kxx (х + в) - k xx (х) | = | E [{x (t + x + e) - x (t + t)} x* (I)] | <
< {E [ | x (t + x + e )-x (t + т) 12]},/2 {E [| x (01* ]}1/2 = = {2kxx (0) —2 Re kxx (e)}1^2 {kxx (0)}'/2.
Далее, если kxx (т) непрерывна в нуле, то для любого у > |
0 найдется такое малое |
е > |
0, что |
|
|
У > I kxx (0) kxx (в) | = [{kxx (0) Re kxx (e))2 + |
|
+ (Im kxx (e))2 ]112 > kxx (0) —Re kxx (e). |
Следовательно., \kxx ( x г) — kxx (т)\ <^[2ykxx (Q)]1!'1 |
и kxx (т) непрерывна |
при |
всех т. |
|
