Файл: Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для аппроксимации последнего уравнения используется фор­ мула

f(Z)^f(xC) = CT<?(Z),

где С~т — транспонированный вектор. (Здесь всюду принято пред­ ставление векторов столбцовыми матрицами; операция транспони­ рования соответствует записи вектора в виде строки).

Если предположить, что Z[n] представляет собой стационарные случайные последовательности, то алгоритм адаптации можно представить в виде

С [ л ] = С [ я - 1 ] + т [ / г ] ^ ' ( - * [ " ] - С г [ л - 1 ] ç ( Z [ / i ] ) . (III.153)

Часто бывает удобно использовать описание системы в виде системы нелинейных разностных уравнений. Поэтому описанный выше способ нуждается в некотором изменении.

Каждая компонента вектора функции f(xu) является конечной суммой

/ѵ.(хйС)=--^С^(хй);

| * = 1 , 2,

/

или вектором вида

/(хТіС)=^Ф(хи)С,

где

Ф( * й ) = = | І т Ѵ * С * " ) І І —

матрица линейно независимых функций qvv (xu) размером IXN. Задача идентификации объекта состоит в минимизации матема­

тического ожидания меры уклонения векторного аргумента

J(C)=M {F(x [п\)-Ф(х[п-Ц, u(n-l))},

где F (х [п]) — строго выпуклая функция.

Применяя поисковый алгоритм адаптации к последнему функ­

ционалу в рассматриваемом случае, получим следующий

алгоритм:

С[п]

= С[п—1]-і

[п] Ѵс+Нх[п\,

11 [п-\\С[п-\\

• а

[я]),

 

 

 

 

 

 

 

 

(III.154)

где Ѵ с

— оценка градиента, который определяется известными спо­

собами

с применением поисковых

алгоритмов адаптации.

 

 

Однако функция

F(x[n\)—строго

выпуклая

и обычно

диффе­

ренцируема. Поэтому

для

задачи

лучше воспользоваться

алгорит­

мом

адаптации.

 

 

 

 

 

 

Градиент реализации равен

 

 

 

 

 

 

VcF{x

[п] -

Ф (х \п~ 1] и \ п - 1]

С ) =

 

 

=

-Фт(х[п-\\,

u[n-\]VF(x[n]

— 0(x[n

— l],

 

и[я-\\С).

143

Применяя к Je алгоритм адаптации, обычным способом нахо­ дим алгоритм

С[п]=С[п-\]+ч

[п]

Фт(х[п-\],

u[n-\]\jF(x[n]~

— ф(х[п-\\,

и ( л - 1 ) С [ я - 1 ] ) ,

 

(III.155)

определяющий при л,—>-оо

оптимальное значение

вектора

С = С*.

В заключение отметим,

что идентификацию

объекта

можно

выполнить в процессе

управления, точнее на

каждом

шаге

управления. При этом управляющее воздействие носит двойствен­ ный характер и служит как средством изучения, так и средством

направления его к желаемому

состоянию. Такие управления

назы­

ваются дуальными.

 

 

При статистической оптимизации в реальном масштабе

вре­

мени часто возникает задача

предсказать некоторые переменные

по результатам наблюдений на некоторые будущие моменты вре­ мени или просто задача экстраполяции измеряемых или расчетных величин.

Постановка этой задачи в системах управления может быть обусловлена двумя обстоятельствами: во-первых, это связано с дискретным контролем показателей качества продуктов обогаще­ ния (содержание металлов в рудах, промпродуктах, концентратах определяется анализом проб, а для управления требуется инфор­ мация об этих переменных в текущий момент времени); во-вто­ рых, при статической оптимизации и реальном масштабе времени необходимо совмещать во времени процессы, разделенные транс­ портным трактом, т. е. возникает задача представить качественноколичественные характеристики продуктов, которые будут полу­

чены в последующие

моменты времени, когда

поток, находящийся

в настоящий момент

в ступени с номером k,

поступит в ступень

k+l.

 

 

Для решения этой задачи можно применить различные методы, начиная с самого простого и наиболее часто встречающегося — ме­ тода ступенчатой экстраполяции [84, 88], при котором не требуется производить какие-либо вычисления. О значении измеряемой вели­ чины в любой момент t судят по последнему по времени значению (в момент ti). С учетом погрешности измерения Ах (ti) экстрапо­ лируемое значение в момент времени t находится по формуле

<Рст (0

П р И

+

(III. 156)

где x*(ti) =x(ti)

+Axu(ti).

Максимальная ошибка предсказания величин этим методом для стационарных эргодических процессов определяется уравнением [84, 86]

 

° A m a x =

2 [kx (O)-kx

(х)] + a l x a ,

(III.157)

где kx(0),

kx (T) — соответствующее

значение

корреляционной

функции; т — интервал

экстраполяции.

 

 

144

Нетрудно заметить, что погрешность экстраполяции зависит от статических свойств измеряемой величины и интервала т. Чем круче корреляционная функция, тем меньший интервал т необхо­ димо выбирать. Бесспорно, преимущество этого метода состоит в том, что не требуются какие-либо вычисления.

Однако, если не обеспечивается требуемая точность, то приме­ няют методы тригонометрической [150], параболической [16] стати­ стической [48] экстраполяции.

При разработке систем управления удобно пользоваться по­ следним методом. Это обусловлено тем, что подобрать формы экс­ траполирующих полиномов и их коэффициенты можно при по-

Рис. 111.19. Структура модели экстра полиции

мощи обычных программ расчета регрессии, которыми широко пользуются при разработке математического обеспечения систем.

В основе статистической экстраполяции лежит многочлен

V ^ ^ P

i V - t i ) * *

(tu­ rn. 2

Pi(t-ti)-i

(III. 158)

j =

l

 

 

 

где pi(t — U)—коэффициент

многочлена;

тх математическое

ожидание.

 

 

 

 

Коэффициенты этого многочлена определяются из условия ми­

нимума квадратической погрешности

 

 

 

Âxw=M

{[?„(*)-•*(*)]'

 

(III.159)

где M — символ математического ожидания.

Здесь не приводятся готовые формы для расчета ошибки экс­ траполяции и коэффициентов заданного числа точек 1, 2, 3 и т. д., так как вряд ли найдется специалист, который будет решать эту задачу, не прибегая к помощи электронных машин (в математиче­ ское обеспечение ЭВМ всегда входит программа расчета уравне­ ний регрессии, с помощью которой можно решить эту задачу). Пользуясь статистической экстраполяцией, необходимо помнить о том, что этот метод хорош для стационарных эргодических про­ цессов. Если же нет информации об этих свойствах случайного про­ цесса, то задачу прогноза следует решать адаптивными методами. Задача экстраполяции состоит в минимизации функционала (III.159). Если структуру модели экстраполяции представить в виде,

показанном

на

рис. III.19,

где хп, хп-и

• • -,

xn-h —

переменные на

входе, a хп+і

— выходная

переменная,

то эта

задача,

очевидно, ре­

шается одним

из алгоритмов идентификации,

приведенным ранее.

Ю З а к а з № 510

145

Пусть экстраполяция производится при известной структуре уравнения

. или просто

 

 

 

 

х*=а0-\-

ахх.

 

 

Критерием

оптимальности является

J(a) = M{(x* — х)2 }.

Градиенты

реализации можно записать так:

 

ѴЯ о

(х*

— а 0

— axxf=

— 2 (х*

— а 0 —

ахх);

Ѵй ]

{х*

— а 0

— ахх)2=

— 2х (х* — а0 —

ахх).

Итерационный алгоритм оптимального подбора коэффициентов

ао и ах

можно представить в виде

 

 

а0 [ д ] = а 0 [«— 1] - f 2f [n] (x* [n}—a0\ii—l}—ax

[n~ 1] x

\n];

 

 

 

(III. 160)

ax \n\=ax

[n — 1 ] + 2 T [n] x [n] (x* [n] —a0 [n—

1] —ax [n—\\

x [n]).

 

 

 

(III.161)

В общем случае, когда экстраполяция производится по точкам, составление итерационного алгоритма, очевидно, не составляет труда.

II1.5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБОГАЩЕНИЯ РУД

ВТЯЖЕЛЫХ СУСПЕНЗИЯХ

Процесс обогащения руд в тяжелых суспензиях является пер­ вой операцией, в которой исходная руда разделяется на обогащен­ ную (тяжелую) и обедненную (легкую) фракции по плотности минералов. Обогащенная фракция в дальнейшем измельчается и подвергается флотационному разделению. В результате получают концентрат и отвальные хвосты. Легкая фракция является отваль­ ным продуктом. Каждый из продуктов обогащения обладает качест­ венной и количественной характеристикой. Масса продуктов — есть количественная характеристика, содержание же обогащаемых ком­ понентов определяет их качество.

Характерной особенностью рассматриваемого процесса, как и всех разделительных процессов, является выполнение уравнения балансов, отражающих закон сохранения вещества, которые, кроме того, устанавливают соответствие между качеством и количеством продуктов. Всякие изменения режимов обогащения всегда отра­ жаются на состоянии баланса металлов.

Уравнение

балансов

как составляющая

часть

математической

модели

процесса

 

Если при обогащении руды в результате разделения в тяжелых суспензиях извлекается п—1 компонентов, то система уравнений балансов в координатной форме может быть записана в следую-

146

щем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У * 2 — У 2 * 2 2 = Р 2 і - * і +

• • • + р 2 » - і - ж » - і +

р 2 « ^ я ;

 

 

 

 

ѵ г - 1 2 Р л - і Л Н -

• • •

 

 

 

 

 

у - у 2

=

 

* ! + . . . +

 

 

где

у — масса исходной

руды;

ai — содержание извлекаемых ме­

таллов

в исходной руде;

уг — масса

легкой фракции;

ОСІ2 — содер­

жание

металлов

в легкой

фракции;

ß^-— содержание

/-го металла

в /-ом продукте;

Xj — масса

соответствующих

продуктов (концен­

тратов и хвостов).

 

 

 

 

 

 

В матричной форме система уравнений может быть представ­

лена уравнением

 

3>a — У 2 « 2 = [ М X,

(III.163)

где уа — угссг — вектор, координатами которого являются соответ­ ствующие элементы левой части равенств (III.162); [ßij]— квад­ ратная матрица, составленная из коэффициентов правой части ра­ венства (III.162), или уравнением

 

х =

 

[ М _ І ( У * - У 2 « 2 ) .

(III.164)

где

Da — определитель

матрицы [ßij];

[ßij]- 1

— присоединенная

матрица, получающаяся

в

результате

замены элементов матрицы

[ßij]

на их алгебраическое

дополнение

с последующим транспони­

рованием.

 

 

 

 

 

Заметим, что все элементы равенств

( I I I . 162) являются функ­

циями времени. Анализ уравнений балансов как составляющей ча­ сти математической модели возможен только для временных ин­ тервалов, в которых процесс стационарен.

Уравнения балансов отражают связь между количеством и ка­ чеством сырья и конечных продуктов. С другой стороны, систему уравнений балансов можно рассматривать как математическую модель процесса, устанавливающую соответствие между вектором управляемых входных переменных и вектором выходных координат процесса. Дополнение этой модели уравнениями, связывающими состояние управляемого вектора с управляющими воздействиями, полностью исчерпывает задачу построения статической модели. Таким образом, математическая модель рассматривается как со­ стоящая из соединенных между собой отдельных моделей.

Выделим группы независимых входных (неуправляемых) пере­ менных и управляемых входных в группу выходных параметров.

10*

147

Смотрите также файлы