Файл: Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами.pdf

ности по принятому критерию выбором соответствующего вектора

управлений у провести преобразование вектора состояний и в нуж-

ном направлении. Годограф вектора состояний и в пространстве состояний называют траекторией системы.

Тогда к первому классу критериев оптимальности относятся критерии, для которых имеет место соотношение

системы, в котором критерий достигает своего максимального (ми­ нимального) значения, называется оптимальным состоянием (опти­ мальной траекторией) системы.

Другими факторами, влияющими на выбор метода оптимиза­ ции, являются способ ее осуществления (ручной или автоматичес­ кий) и объем имеющейся об объекте оптимизации информации.

При сопоставлении различных методов в каждом конкретном случае могут существенно меняться и требования, например к ско­ рости, точности, стоимости и т. п. выбираемого метода. Также су­ щественны и возможности для получения информации об объекте. Возможные способы описания объектов рассмотрены в разделе 1.2. Здесь же необходимо подчеркнуть, что способ описания объ­ екта, который зависит от априорной информации о нем, сущест­ венно влияет на выбор подходящего метода оптимизации.

Логичным завершением обсуждаемых в данном разделе вопро­ сов было бы изложение существующих методов оптимизации. Од­ нако в настоящее время число этих методов так велико (и оно продолжает расти), что для их детального обсуждения, пожалуй,

31

понадобилась бы не одна книга. Поэтому мы позволим себе лишь несколько замечаний общего характера.

К (и) вообще не известна или ее вид настолько сложен, что практи­ чески не поддается анализу.

Рассмотренная, например, в разделе 1.1 задача распределения на­ грузок для параллельно работающих секций представляет собой типичную задачу линейного программирования, ибо здесь критерий оптимальности (1.6) и ограничения (1.7)—линейные функции.

Для статических объектов, когда критерий качества К (и) пред-

ставляет собой квадратичную функцию, а ограничения g(u) ли­ нейны, задача решается методами квадратичного программиро­ вания [74, 115].

Для полностью определенных многомерных объектов с нелиней­ ной, в частности полиноминальной, целевой функцией и линейными ограничениями оказывается возможным применение методов тео­ рии игр.

->

Вид функции К {и) и ограничений g (и), таким образом, яв­ ляются определяющими при выборе того или иного метода оптими­ зации. В работе [133] приведена классификация методов, в соот­ ветствии с которой следует выделить:

методы допустимых направлений; методы аппроксимации множества состояний; методы штрафных функций; методы двойственности.

Методы допустимых направлений (к ним относятся методы проекции градиента, условного градиента и Ньютона), которые подробно рассматриваются в работе [74], характеризуются тем, что

для отыскания вектора и, при котором функция (1.29) достигает максимума, строится некоторая максимизирующая последователь-

32

->

дой точке производится аппроксимация функции К (и) и ограниче-

—>-

ний g (и) и получается новая точка.

В методах аппроксимации множества состояний M (и) (к ним относятся методы Ритца, отсечения и др. [133]) задача максимиза-

задачи на экстремум при наличии ограничений к задаче на безус­ ловный экстремум путем добавления к исходному критерию «штрафа» за нарушение ограничений.

К методам двойственности, частично рассмотренных в работе [251], относятся методы, в которых осуществляется итеративный процесс подбора линейных функционалов (двойственных перемен­ ных»), содержащихся в необходимых условиях экстремума.

Для не полностью определенных объектов применяются различ­ ные итеративные методы. Число этих методов чрезвычайно велико, и приложение их к конкретным задачам чрезвычайно разнооб­ разно. Сюда можно отнести различные градиентные методы и их

К итеративным методам относятся также различные методы поиска (прямой поиск, случайный поиск, случайный поиск с воз­ вратом, с пересчетом, по наилучшей пробе, с трехбальной оценкой направлений и т. д.) [59, 190, 293].

Сущность отмеченных методов заключается в том, что к мак­ симуму (минимуму) критерия К (и) приближаются неоднократными дискретными шагами, оценивая после каждого шага приращение функции качества. Для методов поиска количество таких шагов и, следовательно, необходимое время на поиск экстремума, как пра­ вило, существенно больше, чем для градиентных методов, а алго­ ритмы поиска отличаются предельной простотой.

полностью определенных объектов решаются различными методами

является вариационной задачей, и в ряде случаев может быть ре­ шена методами классического вариационного исчисления. Однако в большинстве практических случаев лишь незначительное число реальных систем можно оптимизировать с их помощью.

Когда задана динамика объекта, например в виде системы уравнений (1.1), требования к функционированию системы и кри­

мизируемой функции, а также статистических методов оптимиза­ ции при отыскании функции, удовлетворяющей экспериментальным данным (множественная регрессия, метод Чебышева, метод наи­ меньших квадратов и др.).

1.4. ДИСКРЕТНЫЙ КОНТРОЛЬ И УПРАВЛЕНИЕ

До сих пор не объяснялось, каким образом осуществляется контроль и управление производством на разных уровнях. Надо сказать, что на нижней ступени управление технологическим про­ цессом ведется, как правило, с применением аппаратуры непрерыв­ ного действия, на средней ступени — аппаратуры непрерывно-дис­ кретного действия и на верхней — исключительно дискретного действия. Такое деление до некоторой степени является условным. Очевидно, что период принятия управляющего решения подсисте­ мами на разных уровнях различен. Это объясняется прежде всего свойствами самого объекта, содержанием решаемой задачи, а также динамическими свойствами применяемой аппаратуры. Естественно, что для подсистем более высокого ранга влияние ди­ намики управляемого объекта сказывается меньше.

При рассмотрении способов решения задач управления на сред­ ней и верхней ступени иерархической схемы было выяснено, что применение методов оптимизации носит чаще всего дискретный характер. Это важно при построении непрерывной статической мо­ дели подсистем управления, которые используются для расчета оптимальных технологических режимов.

Статическую модель конкретной подсистемы (например, мате­ матическое описание одного из технологических переделов) можно получить на основе статистических данных, накопленных системой дискретного контроля, одним из указанных в § 1.3 методом (на­ пример, множественной регрессии). Поэтому важно знать, какие

34

случайных функций и некоторые информационные оценки. Кроме того, в необходимой мере коснемся вопросов дискретного регули­ рования.

Количество информации, получаемой при единичном измерении некоторой физической величины х, могущей принимать п значений с вероятностями р; в диапазоне L [38, 233],

п

ближении равный абсолютной погрешности измерительного при­ бора.

Отсюда видно, что применение в системах контроля технологи­ ческих процессов измерительных средств с повышенной точностью (малыми Ах) обеспечивает получение большей информации. Од­ нако уменьшение Ах не может быть беспредельным, так как оно ограничено стремлением получать надежную информацию о про­ цессе (однократные измерения можно считать надежными лишь тогда, когда измеряемый сигнал минимальной величины Ах с боль­

чески ограничивает точность измерения. Именно ее нужно прини­ мать во внимание при определении абсолютной погрешности — того минимального уровня сигнала, который с большой вероятностью может считаться достоверным.

Абсолютная погрешность измерения физических параметров для случая наиболее часто встречающегося нормального распреде­ ления помехи при условии надежности измерений в интервале вре­ мени большой длительности определяется соотношением [118]

Таким образом, применение измерительного прибора с абсолют­ ной погрешностью e n = A x , подсчитанной например по (1.33), для измерения значений данного технологического параметра позво­ ляет получить необходимую информацию о процессе.

Обычно контролируемые в технологическом процессе пара­ метры представляют собой случайные стационарные функции