Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf

цессов отказов и восстановлений аппаратуры. Однако в нестационар­

Кроме того, весьма полезным результатом является узловая теорема

ном случае работы аппаратуры с помощью математического аппарата

восстановления, согласно

которой при

невозрастающей

и интегри­

процесса восстановления трудно получить удобные для инженерной

руемой на промежутке (0,

оо) функции

Q (t)

практики расчетные соотношения. Это связано прежде всего со слож­

ностью вычисления /і-кратной

свертки функций Gn (t)

[см. (1.8)]

t

со

и решения интегральных уравнений (1.14), (1.15). Получить расчет­

lim f Q{t — т)с?Я (т )= - = і- f Q(x)dx.

(1.17)

ные формулы в конечном виде можно лишь для отдельных законов

'->“ o

Уср о

распределения времени безотказной работы и восстановления си­

Указанные асимптотические свойства процесса восстановления

стемы.

Более важным для практического приложения являются асимпто­

используются, в частности, для получения установившегося значе­

тические свойства процесса восстановления. В частности, установ­

}■

ния показателей готовности системы.

лено [24], что независимо от вида распределения G (t) для больших

Получение характеристик надежности определенного класса си­

интервалов времени среднее число отказов, приходящееся на еди­

стем обычно основано на обработке статистических данных об отка­

ницу времени, стремится к величине, обратной среднему времени

зах и восстановлениях этих систем. При помощи приведенных выше

безотказной работы:

статистических формул можно вычислить любую характеристику.

lim HG)

1

(1.16)

Однако на практике по экспериментальным данным находят одну

из характеристик безотказности и восстанавливаемости — обычно

T cp

t->ОО

t

а (t) и г (t), а остальные

при необходимости получают

расчетным

20

21

СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

§ 1.3

С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НАДЕЖНОСТИ

a (t)N A t .

(1.18)

такой, что т < g <

t. Так как вероятность восстановления системы

в промежутке (|, g +

А£) равна приращению значения функции рас­

пределения времени

восстановления R (т, g + А|) — R (т, |), то

сор(т)УАт[Я(т, g + A g ) - t f ( T - g ) ] a ( f — g)Af

(1.19)

по всем промежуткам Ат, предшествующим

/, и всем А |

на интер­

вале (т, і) или,

что одно н то же, на

интервале (0, t — т), прибавив

к сумме число

впервые отказавших

систем

(1.18). Таким

образом,

п (t) = а (t) N At + 2 ' s ®р (т) [R (т,

g + Ag) -

— R( т, l ) ] a ( t — l ) N Ах At.

(1.20)

Обозначим g — т = 0. Разделив

(1.20) на NAt и перейдя к пре­

делу при

N —>оо и AI - >0,

будем

иметь

I

t — T

lim

= (Op (t) = a (i) +

J <op (t) f a (t — x — 0) deR (T, 0) dx.

( 1.21)

Полученное интегральное уравнение относительно функции сор (t)

является

уравнением Вольтерра второго рода со сложным разност-

*т т

ным ядром J a (t — т — 0) d$R (т,

0). Уравнение (1.21)

позволяет

о

(0, t), если найдется постоянная с >■ 0 такая,

что

|a(^)|sSc

(1.22)

J

J а (т — Q)R' (0) dQ dx <( ОО.

(1.23)

о

о

нение относительно функции

а (t), можно

определить

плотность

вероятности отказов.

Среднюю частоту отказов с учетом восстановления

легко

выра­

зить через вероятность безотказной работы, заменив

в

выраже­

нии (1.21) а (4

на —Р'

(/):

t

І — Т

Cöp (t) = -

P' {t) -

} сор (т) J P ' (t - х -

Ѳ) deR (т,

0) dx.

(1.24)

R(x, Ѳ) =

1,

если

О,

если Т в>■ 0.

Это означает, что все сор (т) N Ат, систем,

отказавших на

отрезке

времени

(т,

т +

Ат),

будут

восстановлены

к моменту t — Т а, если

%<С t — Тв.

Из

них

в промежутке (t, / + А/)

откажет

Op (х) NAxa (t — т — Тв) А(

(1.25)

систем. Общее число

отказавших

в промежутке

(t,

t + At)

систем

получим, суммируя (1.25) по Ат

на

интервале

(0,

і — Тв)

и при­

бавляя

к сумме (1.18), т. е.

п (t) =

а it) N At -j-

2

(o

(x)NAxa(t — т — T B)At.

(1.26)

о

После

деления

выражения

(1.26)

на

N At

и предельного перехода

при W -> со

и At - >0 будем

иметь уравнение для

сор (і):

<°Р (0 =

а0( +

' - гв

1.27)

(

J

®p{T)a{t — i; — TB)dx.

о

2.

Пусть

время восстановления не

зависит

от вида

отказа,

но

зависит от времени отказа, т. е. Тв

=

Тв(х). Функция распределения

времени

восстановления в этом

случае имеет вид

j 1,

если

Т в(т )^ 0 ;

10,

если

Тв(т) > 0,