Файл: Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления.pdf

ГЛАВА I

а уравнение, связывающее функцию сор (/) с a(t) и Т&(т), запишется как

і~ТаСО

3. Наконец, если время восстановления не зависит от времени отказа, но зависит от вида отказа, т. е. R (т, Ѳ) = R (0), то уравне­ ние (1.21) приобретает вид

t І~ Х

Сравнивая уравнение (1.29) с уравнением (1.15), обнаруживаем полную их аналогию. Следовательно, средняя частота отказов с учетом восстановления с точки зрения процесса восстановления является интенсивностью общего процесса восстановления с конеч­ ным временем восстановления.

При мгновенном восстановлении R (т, 0) = 1 и средняя частота отказов с учетом восстановления становится тождественно равной средней частоте отказов со (і).

Выведем выражение, связывающее функцию готовности с дру­ гими характеристиками надежности.

Из N систем, первоначально поставленных на испытание, до интересующего нас момента времени t безотказно проработает Р {t) N

Итак, зная законы распределения времени безотказной работы системы и времени ее восстановления, а также среднюю частоту отказов с учетом восстановления, можно определить значение функ­ ции готовности в произвольный момент времени. Расчет функ­ ции Г (t) по формуле (1.32) чаще всего производится приближен­ ными методами, так как аналитическое решение для большинства

25

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

законов распределения времени безотказной работы и времени вос­ становления затруднено.

3. Если, наконец, время восстановления является лишь функ­

на промежутке Г (t, s), будем, как и ранее, предполагать, что на испы­ тании находятся N систем, причем отказавшие системы восстанавли­ ваются и снова возвращаются в строй. Задача состоит в подсчете числа систем, которые безотказно проработают в течение отрезка времени (0, t + s).

Количество систем, ни разу не отказавших во всем промежутке

систем. В случае технического обслуживания в порту можно пред­ положить, что ремонт полностью восстанавливает ресурс надеж­

систем.

Для получения общего числа п (t, s) безотказно работающих на отрезке (i, t -j- s) систем необходимо просуммировать (1.37) по

26

о0

Вчастном случае, когда время восстановления постоянно и равно Тв, выражение (1.39) приобретает вид

не зависит от момента отказа системы, то функция готовности на промежутке равна

Очевидно, что функция готовности является частным случаем функции готовности на промежутке при s = 0.

Приведенные формулы для функций Г (t) и Г (t, s) являются принципиально весьма общими, так как не накладывают ограниче­ ний на структуру системы и вид законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления. Однако данные фор­ мулы выводились в предположении, что система начинает восста­ навливаться после полного отказа ее. Применительно к резервиро­ ванным системам это означает, что восстановление не производится, пока не откажет вся система. Такой режим характерен, например, для элементов судовых систем управления, восстановление которых в силу ограниченных возможностей ремонта на судне осуществляется лишь в стационарных условиях баз и портов. Если же система начинает восстанавливаться до наступления полного отказа, то для оценки ее готовности целесообразно использовать машинные методы моделирования, рассмотренные в гл. V,

27

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Физическая модель, на базе которой получены формулы (1.32), (1.35), (1.39), (1.40), (1.41), представляет собой частный случай процесса восстановления с конечным временем восстановления, и потому для анализа этих формул применима теория данного про­ цесса.

Выражение (1.32) описывает готовность системы при произвольном режиме ее работы, который в общем случае может быть как неуста­ новившимся (например, в период приработки или старения системы), так и установившимся. Установившемуся режиму, характерному для большей части времени функционирования систем, соответствует предельное значение функции готовности. Рассмотрим предельное значение средней частоты отказов с учетом восстановления (1.29) и функций готовности (1.35) и (1.41) при произвольных законах распределения времени безотказной работы и восстановления. При этом будем предполагать, что характер распределения длительности восстановления системы не зависит от момента ее отказа, т. е.

Такое предположение в известной мере идеализирует процесс экс_ плуатации аппаратуры, но в то же время для многих случаев яв ляется вполне естественным, например при работе системы в режиме дежурства.

Для получения асимптотического значения средней частоты отка­ зов с учетом ремонта воспользуемся свойством предельного соотно­ шения между произвольной функцией / (t) и ее изображением по Лапласу F (р), состоящим в том, что

Уравнение для средней частоты отказов с учетом ремонта

со? (t) = а (t) + j Юр (T) J а (t — т — Ѳ) г (Ѳ) dB dx

оо

воператорной форме примет вид

Qp (Р) = Л (р) + Qp (р) Л (р) # (р),

откуда получаем

28

оо

Так как функции а (t) и /' (t) представляют собой плотности рас­

оо

то правая часть выражения (1.45) представляет собой неопределен­

ность вида Для раскрытия ее воспользуемся правилом Лопи-

таля. После дифференцирования числителя и знаменателя по р будем иметь

дает 1, а в знаменателе сумму математических ожиданий времени безотказной работы Тср и времени восстановления Тв. Таким образом,

обратному значению среднего времени между двумя соседними отка­ зами. Такого результата и следовало ожидать, так как функ­ ция сор (t), как уже отмечалось выше, является интенсивностью потока восстановления с конечным временем восстановления. Это об­

29