Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

48 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . I

П р е д л о ж е н и е

2.7. Если р — монотонный суб­

линейный функционал,

определенный на К,

то множество

Up является выпуклым

компактом.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выпуклость

и замкнутость

множества Up очевидны. Ограниченность следует из

теоремы

2.4

и предложения

2.6.

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

2.8. Сублинейный

функционал р,

определенный на конусе К, монотонен тогда

и

только

тогда, когда найдется

выпуклый компакт £ из К*

такой,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р (х)

= max h (х)

(х ЕЕ К).

 

 

 

 

 

 

 

he?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

очевидно.

Пусть

сублинейный

функ­

П р е д л о ж е н и е

2.9.

ционал р представим в виде р (х) =

max h (х),

где % — вы-

пуклый компакт в К*.

Тогда

Up =

п%, где

п% —

нор-

малъная оболочка \ в смысле

 

К*.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть х ЕЕ К.

Рассматривая

элемент х как функционал над X*

и учитывая, что

этот

функционал

положителен

на

конусе

К*,

получим,

ис­

пользуя

предложение

2.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р (х)

=

max h (х)

= max h (х).

 

 

 

(2.19)

Рассмотрим теперь множество п| — К*. Нетрудно проверить, что это множество выпукло и (—К*)-усто&- чиво. Поскольку множество п\ нормально, то оно ком­ пактно, а потому п\ — К* замкнуто. Кроме того, в силу (2.19), для х ЕЕ К

sup

h (х) — sup h (х)

=-- р (х).

 

 

Из теоремы 2.2' следует, что

п\ — К*

— Up.

Так

как множество

п\

нормально,

то

 

 

 

 

 

п\ = (п| -

к*)

п к*

= ир

п

к*

=

Up.

 

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

1.

Если р — монотонный сублиней­

ный функционал,

определенный

на

К,

то

множество

Up

нормально,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

49

 

В самом деле,

так

 

как

Up — выпуклый

компакт и

Up CZ К*,

то, в силу теоремы п (Up)

— Up.

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

2. Если нормальное множество Ъ, CZ К*

таково,

что для

сублинейного функционала

р,

определен­

ного

на

К,

справедливо

представление р (х)

=

max h (х),

то

h —

Up.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совокупность всех монотонных сублинейных функ­

ционалов, определенных на К, обозначим через Рт

{К),

совокупность всех нормальных подмножеств конуса

К*

обозначим через ПРт

(К).

 

 

 

 

 

 

 

Для U

Е Е Ш > т

(К)

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (U) = Ри

 

 

 

 

(2.20)

где ри

(х)

= max h (х).

 

Ясно, что рц

Е Е Рт

(К).

 

 

 

Т е о р е м а

2.5. Отображение у_, определенное

фор­

мулой (2.20), осуществляет

взаимно

однозначное соответ­

ствие между11Рт{К)

 

и

Рт(К).

 

 

 

 

 

 

Доказательство вытекает из теоремы 2.4 и следствий

из

предложения

 

2.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Полулипейпые пространства выпуклых множеств.

Выше

мы установили, что

отображение

ср, определенное

формулой

(2.8),

определяет

взаимно

однозначное

соответствие между

множеством

Q

(К)

всех суперлннейных

 

функционалов, определенных

на конусе

К,

и совокупностью

HQ (К)

всех АТ-опорных множеств;

отображе­

ние ф, определенное формулой (2.8'), устанавливает взаимно одно­ значное соответствие между Р (К) и YIP (К); отображение %, опре­ деленное формулой (2.20), устанавливает взаимно однозначное соответствие между Рт {К) и КРт (К). Сейчас наша цель заклю­ чается в том, чтобы показать, что эти отображения сохраняют алге­ браические операции и отношение порядка, иными словами, явля­ ются алгебраическими и порядковыми изоморфизмами. Предвари­

тельно

введем

следующее определение.

Полулинейным

пространством

назовем множество А, в кото­

ром введены бинарная операция +

и операция умножения на неот­

рицательное

число,

удовлетворяющие следующим условиям:

1)

а +

Ъ =

 

Ъ + а;

 

 

2)

(а+Ъ)

 

+

с =

а+(Ь

+ с);

 

3)

а

(а

+ Ь)

=

аа

+

аб;

 

4)

(а

-Н Р)

а =

а а

+

Ра;

 

5)а (Ра) = (аР) а;

6)1- а = а;

7)существует элемент 0 EiA такой, что О-а = 0 для любого

50 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . I

Нетрудно проверить, что элемент 0 обладает тем свойством'

что о -f- 0 = а

для

любого

o £ i .

 

 

 

Естественным

образом можно

определить изоморфизм двух

иолулпнейных

пространств

(пространство

А

изоморфно

прост­

ранству В,

если найдется взаимно однозначное отображение

со про­

странства А

на

В

такое, что

со (а

+ Ь) =

со (а)

+ со (6), со (Аа) =

=Асо (а) при X ^ 0).

Приведем несколько простых примеров полулинейных прост­ ранств.

П р и м е р 1. Выпуклый конус в пространстве X является полулинейным пространством относительно естественным образом определенных операций сложения и умпоженпя на неотрицатель­ ное число.

П р и м е р 2. Полулинейные пространства относительно обыч­ ных операций сложения и умножения на неотрицательное число

образуют

 

 

 

 

 

 

множество всех выпуклых (вогнутых) функций, определенных

на

данном выпуклом

множестве,

 

 

множество

всех

функций,

полунепрерывных

снизу (сверху)

в

данной точке,

 

 

 

 

 

множества

Q (К),

Р

(К),

Рт {К).

 

 

П р и м е р

3. Пусть

К — выпуклый замкнутый конус в про­

странстве X. Рассмотрим

множество Y1Q (К) всех

ЛГ-опорпых мно­

жеств п введем в нем естественным образом операцию

умножения

на положительное

число. Положим также 0- U =

К*

для любого

i T £ UQ

(К).

Если Ut,

U2 G ПО. (К),

то через

Ux

+

U2

обозначим

замыкание

Ux

+

U2

алгебраической

суммы

иг

+

U2

множеств

Ult U2.

Легко

показать, что

множество YIQ (К)

является относи­

тельно

введенной

операции +

и умножения

на

неотрицательное

число полулинейным пространством (в котором элемент 0 совпадает

с конусом

К*).

(при К =

X),

 

 

 

 

 

 

В частности

множество всех выпуклых

компак­

тов

является

полулинейным

пространством.

(В

этом

случае

0 =

К* =

{0}; кроме того, так как алгебраическая сумма

компак­

тов

компактна,

то Ux - f

U2 =

UY -f- U2

для

любых J/j, U2 (E

 

Рассмотрим

теперь

множество UP

(К).

Оно

превращается

в полулинейное пространство, если ввести в нем обычным образом

операцию

умножения

на

положительное

число, положить

0- U

=

= — К*

(U

6Е П Р (К))

и

ввести операцию + ( П Р И этом элемент

0

совпадает

с

конусом —

К*).

 

 

 

 

П р и м е р

4. Пусть К — воспроизводящий выступающий

ко­

нус. Рассмотрим

совокупность ПРт (К)

всех нормальных

(в

смы­

сле К) подмножеств конуса К и введем в ней естественным

образом

операцию умножения на неотрицательное число (положив, в част­

ности, 0- U

= {0}

для U

€Е ПРт

(К))

и

бинарную

операцию

© , положив

 

 

 

 

 

 

 

U1

ф

= it (i/j

-1- Vt)

(Ui,

U2

e ПРт

(K)).

Нетрудно проверить, что относительно таким образом введен­ ных умножения на неотрицательное -число и операции ф мно-

 

С У П Ё Р Л Й Н Е Й Н Ы Ё Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

51

жество ПРт

(К) является полулинейным пространством * ) . (Мы,

как и выше, не останавливаемся на проверке аксиом полулинейно­ го пространства, поскольку осуществляется она стандартным спо­ собом; заметим лишь, что проверка ассоциативности несколько

громоздка,

хотя

и

элементарна.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ниже, рассматривая полулинейные пространства Q

(К)

 

и Р

{К),

считаем,

что

К —

выпуклый

замкнутый конус;

рассматривая

Рт

(К),

 

считаем,

что

К

 

— выступающий

и

 

воспроизводящий.

 

В полулинейных пространствах Q (К),

Р

(К)

и Рт

{К)

введем

естественным образом отношение порядка

(например, для

 

qx,

д2 Е±

ЕЕ Q

(К)

положим

qx ;> q2,

если

q1 (х)

;>

g2

(х)

( i 6

 

^ ) ) .

В

 

про­

странствах ПР

(К)

и ПРт

(К)

введем отношение порядка по

вклю­

чению,

а в П<2 {К)

по

«аитнвключению» (т. е. положим

Ux~^-

U2,

если

иг

С

U2,

 

Ult

 

U2

е

П(?

(К)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

 

2.6. 1) Отображение

 

ср,

определенное

формулой

(2.8),

является

 

алгебраическим

и

порядковым

изоморфизмом

 

про­

странств

HQ (К)

и

Q{ICj.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Отображение

 

определенное

 

формулой

(2.8'),

является

алгебраическим

 

и

порядковым

изоморфизмом

пространств

П Р

(К)

и

Р

(К).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Отображение %, определенное формулой

 

(2.20), является алге­

браическим

и

 

порядковым

изоморфизмом

пространств

 

 

ИРт(К)

и

Рт

 

(К).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем

лишь

третью

часть

тео­

ремы.

Согласно

 

теореме 2.5 отображение % осуществляет

 

вза­

имно однозначное

соответствие между ПРт

(К)

и Рт

(К).

 

Очевид­

но, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

иъ

 

U2 е

ПРт

(К).

 

Тогда

для

х е

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

h (х)

 

=

max h (х)

-f- max h

(х).

 

 

 

 

 

 

В самом деле, если функционалы

hx

Ez Ux

и

й2

£Е U2

 

таковы,

что

}ц

(х)

=

m a x h

(х)

{i

=

1, 2),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

h{x)=

 

 

max

 

(V

(x)

+

h"

(*))

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

hi (x)

-\- h2

(x)

=

max h (x)

-f- max h (x).

Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

pV (.r) +

 

h"

(x))

^ max h (a:) -f- max h

(x),

 

 

 

 

 

 

 

h'<=ut, h-eu,

 

 

 

 

 

fteu,

 

 

 

 

heV2

 

 

 

 

*) Если X = Rn, К = Д™, то можно показать, что Ux ©

© U2 = Щ + U2.

Смотрите также файлы