Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

X {Ui

©

£/2) (х)

= pUt(fjV.

(х)

=

max

h (х) =

max

h

(х)=

=

max

/г (ж)

=

max А ( ж ) + m a x

Л(а:) =

X ( ^ i ) ( « )

+ X t ^ * ) ^ ) -

hel\-U'«

h e d

heir,

Таким образом, x — алгебраический

изоморфизм.

Если

Ux

ZD иг,

то для

i

g

X

max

h (х)

^

max Л (ж),

/tea,

h e f ,

т. е. х (t^i) 5> X (f 'а)-

Пусть теперь р^^

риг-

Тогда

каждый

функ­

ционал,

опорный

к

pVj,

будет

опорным

к

рц

. Таким образом,

UPuP

<Ч," 8 а°Т0Щ'

" ^ U , =

^

=> ^

=

^

Теорема

доказана.

(К),

Нетрудно

проверить,

что

каждое

из

пространств

П Р

TIQ

[К),

ПР" 1

{К)

является

условно

полной

структурой

(т.

е.

семейство ( 6 г

а ) а е Л

элементов пространства

П Р (К)

ограничено

свер­

ху,

т.

е.

существует

множество

U

С

П Р

(К)

такое,

что

U

ZD

Ua ( a £ЕА).

Верхняя грань sup Ua

этого

семейства

совпадает

с

множеством со |J Uа.

Если семейство ( U a ) a

e

A

ограничено

снизу

a

(т. е. UaZD U

прн всех

а,

где U

ЕЕ П Р {К)),

то inf Ua

—

fl

Ua-

Из сказанного и теоремы 2.6 следует

a g A

a e A

Теорема

2.7. Пространства

Р (К),

Q

(К)

и

Рт

{К)

явля­

ются

условно полными

структурами.

ра (где

З а м е ч а н и е . Нетрудно проверить, что sup

( P a ) a e A " -

аеА

ограшгченное

семейство

функционалов

из

Р (К)

или Рт

(К))

совпадает с поточечным супремумом (верхней

огибающей)

этого

семейства. Иными

словами,

(sup ра)

(х) =

sup (Ра

(»))

(х

е

К).

аеА

аеА

Если

(<? а ) а е д

—

ограниченное

семейство

функционалов из

Q

(К),

то

inf qa совпадает

с поточечным инфимумом

(нижней

оги-

ных в

точке функционалах.

Для монотонного сублинейного функционала, опре­

деленного

на

конусе

/{,

положим

(UP)X

=

(Uv)x

f]

П К*

(ХЕ=К).

Нам

понадобится

П р е д л о ж е н и е

2.10. Если

р ЕЕ Рт (К),

то

1) р

непрерывен,

2)

для

любого

х ЕЕ К

множество

(Uv)x

не­

пусто.

р ЕЕ Рт

(К),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

то

(предложение

2.7)

множество Up

является

выпуклым

компактом,

и, стало

быть, для любого х ЕЕ X

max h

(х)<^ос.

Таким

образом, функционал

р:

р (х) = max h {х)

(х ЕЕ X),

Up

CZ К*,

то и

he К*. Таким образом,

h<={U$)x,

т.

е.

(Ц$*фф.

Предложение

доказано.

Будем считать, как и выше, что в X введено отношение

порядка

>• с помощью конуса

К.

монотонной

Норма

||-|| в пространстве X

называется

(относительно К),

если она обладает следующими свой­

ствами:

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

55

является

нормой.

По

определению,

|| х ||Q

=

inf {X >

01 х Е Е

IS}

(х

Е Е X) .

Заметим, что S

=

{х Е Е X | || х ||n ^

1}.

Из

нормальности

Q легко вытекает

равенство

Q =

SK

(2.21)

(где

SK

= S f]

К).

В

самом

деле,

включение

Q c SK

очевидно. Если же х

Е Е

S K ,

ТО г >

0 И , кроме того, най­

дутся

элементы

у,

z Е Е

для

которых

х

= у —

z. Так

как z >• О, то

у

х

и потому

х Е Е

Покажем теперь,

что норма

||

• ||п монотонна.

1) Пусть х,

у Е Е К,

х >• у. Не умаляя

общности, счи­

таем, что || х || =

1. Тогда

xEzSf]K

=

Qn,

поскольку

Q нормально,

у Е Е

Последнее

означает, что

|| у || ^

2) Пусть

х ЕЕ X,

|| х || =

1. Тогда х Е Е S

И, ПО опре­

делению

S,

найдутся

элементы

у, z Е Е £2 такие, что х =

= г/ — z.

Очевидно,

что || у ||< 1, || z ||< 1.

Таким

образом,

монотонность

нормы

|| • || доказана.

13. Нормальные

множества

и

грани

конуса. Пусть

К — выступающий

воспроизводящий конус в

конечно­

мерном пространстве

X. Как известно, гранью

конуса К

56

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ .

I

Отметим

еще, что

для

любого

/ Е Е К*

множество

Г'

=

{х ез

К

| / {х) =

0}

(2.22)

является

гранью

конуса

К.

конуса К,

Если

Я — выпуклое подмножество

не

со­

держащее внутренних

точек К,

то, как нетрудно

прове­

функционал

/ такой,

что

f(x)

=

0 (х GE Я),

/ ( ж ) > 0

( s e i n t t f ) .

Последнее

означает,

что

/ Е Е К*

и

Q ( Z Г'

(где

Г'

определено

формулой

(2.22)).

Пересечение

всех

граней

конуса,

содержащих

Я,

также

является

гранью.

Эту

грань

конуса К

назовем

гранью,

порожденной

множеством Я,

и

обозначим

через

Г (Я).

Как следует непосредственно из определения, под­

множество

Я

конуса

К,

содержащее

внутреннюю

точку

этого конуса,

не

содержится

ни в какой грани

К.

Нам

своей несобственной гранью. Если Я CZ К

и Я

Г) i n t K=j=

=/= ф, то гранью, порожденной

Я, назовем сам конус

К

(в

этом

случае Г (Я) = К).

Отметим

еще,

что

Г ({0})

=

-

{0}.

Имеют место

следующие

простые

предложения.

П р е д л о ж е н и е

2.12.

Множество

Я

содержит

относительно внутреннюю

точку грани Г (Я).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

рассмотреть

тот

случай, когда

Я =£= {0} и

Я

f)

i n t К =

ф.

Положим

L

=

Г (Я) — Г (Я);

конус

Г (Я)

является

выступающим

и

воспроизводящим

в пространстве L.

Если предложение

неверно,

то множество Я

содержится

в некоторой (собст­

венной')

грани Г конуса Г (Я).

Как

легко

следует

из

определения, Г

является

гранью конуса К

и, по определению грани, порожденной

множеством, Г 3

Г (Я).

Мы получили противоречие, которое и доказывает

предложение.