Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

57

П р е д л о ж е н и е

2.13. Пусть

й CZ К

и

L (Q)

—

линейная

оболочка грани

Г (Й), порожденной множеством

Й.

Тогда

К f) L

(Q) =

Г

(й) .

К ZD

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

Г (й)

и

L

(Й) ZD

Г (Q), то и К f] L (Q) ZD

Г

(й) .

Докажем

обратное включение. Пусть

х €Е

К

f]

L

(й)

и

у ЕЕ r i Г (£1).

Тогда

найдется

число

а ЕЕ [0,

1],

при

котором

ах

4- (1 — а)

г/ЕЕ Г (й) .

Так

как

ж,

у ЕЕ ^ ,

то,

используя

определение

грани,

получим отсюда,

что

х ЕЕ Г (Й). Таким образом, £

П

£ (Q) С Г (Й).

Предложение

доказано.

К.

Пусть

й — выпуклое

компактное

подмножество

Так как й входит в конус Г (й), то имеет смысл говорить

о нормальной оболочке пй компакта й в смысле Г (й);

так

как

й CZ К,

то имеет смысл говорить о

нормальной

оболочке

пй этого компакта в смысле

К.

П р е д л о ж е н и е

2.14. Пусть

й

— выпуклый ком­

пакт в К. Тогда

nQ = nQ,

zdenQ

=

(й

— Г (Й))

f| Г (Й),

nQ

=

(Й -

К)

П

К.

й — К ZD й

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

—

— Г (й) и К ZD Г (Й), то nQ ZD nQ.

что

Докажем обратное включение. Прежде всего покажем,

пй С Г (й) .

(2.23)

Пусть

х ЕЕ nQ

=

(й — К)

р| К.

Тогда

х =

и — v,

где

и ЕЕ й,

v ЕЕ

1

1

1

%х

^

Учитывая, что-^- и ЕЕ Г (Й),^-?; ЕЕ

ЕЕ ^ ,

и привлекая определение грани, получим из форму-

лы

1

j u

1

—

1

r

— vi

1

ЕЕ Г (й) . Таким

образом,

-

= =

x J

что-g-ж

ж ЕЕ Г (й)

и

включение (2.23) доказано.

Возьмем снова элемент х из nQ и представим его в виде

х — и — v,

где

и ЕЕ й, v ЕЕ К.

Так как ы ЕЕ й

a

L

(й),

ж ЕЕ nQ CZ L (й), то и v =

и — ж ЕЕ £ (Й) (здесь, как и выше,

L (й) =

Г (Й) — Г ( й ) ) .

Поскольку, кроме

того, v ЕЕ К,

то, применяя

предложение

2.13,

получим

v ЕЕ L (Й)

П К

=

Г

(й) .

Таким

образом, х =

и — У ЕЕ й

— Г (й) и,

стало

быть,

п (й) CZ й — Г (й) .

Из

формулы

(2.23)

теперь

следует,

что

п (й) (Z п Q.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

59

На

множестве

а (й х )

можно

определить

отображение

о - 1 , обратное а:

а~г

{у)

= {х

| у ЕЕ а (ж)}

( ? e a

(QJ).

Очевидно, что а

- 1

(а (Q

)) =

£2 и, кроме того, ( а

- 1

)

-

1

=

а.

x

г

Графиком

отображения

а множества Qx в П (Q2 )

на­

зывается

подмножество

Z

прямого

произведения

Qx

X

X £22,

определяемое

следующим

образом:

Z

=

{(х,

у)

ЕЕ

Q i

X Q 2 I х ЕЕ

fllt

У ЕЕ

а

(х)}.

(Точнее говоря, множество Z является графиком бинар­

ного отношения R, которое определяется так: хВу,

тогда

и только

тогда,

когда

у ЕЕ

а (х).

Мы,

однако,

допуская

самого отображения

а.)

Как следует непосредственно из определений, график

Z~x отображения аг1,

обратного а, имеет следующий вид:

Z - 1 = {(у, х)

ЕЕ a (Q0 X Я х Ц(х, у) ЕЕ Z}™ [ (3.1)

бражения а множества Q1 в П (Я 2 ); а

именно: для х ЕЕ

Q x

а (х) =

{у EEQ2

\ (Х,

у)

ЕЕ

Z).

\

Рассмотрим

теперь

отображенияу ах:

IT(Q2 )

и

а2 : Q2

-»- П (£23),

где Q2

ZD ^

2

- Произведением отображений

из

и

а±

называется

отображение

а2

о ах

множества

Q,x

в П (Q3 ),

определенное

формулой

а2

°

ах

(х)

= а2

(ах

(х)).

Нетрудно

убедиться

в

том,

что

(а2

о a j ) - 1

=

a i 1

о a 2 \

(3.2)

Если

й 2

С

^ i ,

то имеет

смысл

говорить

о степенях

ото­

бражения а. По определению, а'

= а о a*'1

(t — 2, 3, ...).

Из

(3.2)

следует, что

(а')""1

= ( я - 1 ) ' -

Приведем

простой

пример.

*)

Если

Z — подмножество

прямого

произведения

£2j X

Йг,

то, по определению, первая проекция Ргх

Z

множества

Z

состоит

из

всех элементов

х е

для

которых

найдется

у 6Е й2

такой,

что

(х,

у)

ЕЕ Z.

Аналогично определяется

вторая

проекция

P r 2 Z

множества

Z.

60

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ . I

Рис. И.

отображения а - 1

—

на

рис. 11. Для

X £Е R\

имеем

а2

(X) =

а (а (X))

=

а ([0,

X])

=

а

(X),

т. е. а2

=

а. Для

всех

натуральных

<

а1

=

а.

Найдем

теперь

( а - 1 ) ' .

Имеем

( а " 1 ) ' (X) =

( а ' ) " 1 (X) =

а-*

(А)

(X

е Д } ) ,

т. е. а - '

=

а - 1 (i =

2,

3,

. . .). Определим,

наконец,

а °

а - 1 .

Пусть

fx е R\-

Тогда

(а

о а"1 ) (и.)

=

а (а" 1

(ц)) =

а Цц,

+

оо ))

=

(J

а (v)

=

R1..

Таким

образом,

отображение

а ° а -

1

сопоставляет

каждой

точке

X всю

полуось

R\.