Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

61

ностей замкнутость отображения означает следующее:

если (хп) — последовательность

элементов

й 1 ?

хп -»- х,

г/л G5 а (хп),

уп^>~ у, то

х е

Я, у ЕЕ а (х).

Заметим,

что

из замкнутости отображения

а,

определенного

на

мно­

жестве Я х , вообще говоря, не следует

замкнутость Я х .

Приведем простой пример, подтверждающий это об­

стоятельство.

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1. Пусть

X1 =

X2=R1,

fix

=

fi2 =

(0, +

оо),

Графиком отображения а является множество

Отображение а замкнуто, в то время как Q x не замкнуто.

Из формулы (3.1) немедленно следует, что замкнутость отображений а и а~л эквивалентна.

Введем теперь определение замыкания отображения. Если а — отображение множества Я х в П (Я 2 ), то замы­ канием этого отображения назовем отображение а, гра­ фик которого Z совпадает с замыканием графика Z ото­ бражения а. Заметим, что, замыкая некоторое отображе­ ние, мы можем, вообще говоря, расширить его область определения.

В дальнейшем будем считать, что множество Я х замк­

нуто. Отметим некоторые простые

свойства

замкнутых

отображений.

 

Пусть

а:

 

 

П р е д л о ж е н и е

3 . 1 .

й х

-»- П (Я2 ) —

замкнутое

отображение, \ — компактное

подмножество

Qx. Тогда

множество

а (£)

замкнуто.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

уп ЕЕ а (£) (п = 1,

2, ...), уп -»-

у. Пусть, далее, хп

— произвольный элемент

множества а~г (уп)

(~| £. Не умаляя общности, можно счи­

тать,

что

последовательность

(хп)

сходится,

и

пусть

х =

l i m хп.

Из

определения

замкнутого

отображения

теперь следует, что

у ЕЕ

а (х)

и, стало

быть,

у ЕЕ

а (|).

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

Если

а — замкнутое

отображение,

то для любого ж ЕЕ Я х множество

а (х)

замкнуто.

 

З а м е ч а н и е 1. Нетрудно проверить, что утверждение, обратное следствию, вообще говоря, неверно. Приведем соответст­ вующий пример.

62

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

 

П р и м е р 2. Пусть Хг = Х2

= Л 1 , Q1 = Q 2 =

R\,

 

[ 0 , 1 ] ,

s ^ O ,

 

 

e ( ' , a = I { < » .

, = o.

 

При любом а; множество а (г) замкнуто, но тем не менее отображение

а не замкнуто. Его

замыкание, отображение а,

как нетрудно про­

верить, имеет вид

 

 

 

а

(х) = [0, 1] для

всех х Е

R\.

З а м е ч а н и е

2. Если а —

замкнутое отображение, то образ

замкнутого множества, вообще говоря, не обязан быть замкнутым, а образ компакта не обязан быть компактом (даже если множества

а (х) компактны

при всех

х).

Приведем

примеры.

П р и м е р

3. Пусть

Хх

= A'2 = R1,

Qx = [1, + со), й 2 =

= Л * , а (х) = - j - , l^j. Отображение о замкнуто; в то же время

образ a (Qj) замкнутого множества

Qx

не

замкнут.

П р и м е р 4. Пусть Хх = Х2

=

Л 1 ,

Й х = Q 2 = Л * ,

Отображение а замкнуто, но образ компакта [0,1] не компактен,

хотя прп

всех

1 £ Й ]

множества

а

(г)

компактны.

 

 

 

 

Отображение

а назовем ограниченным,

если

оно пере­

водит

ограниченные

множества

в ограниченные.

Имеет

место:

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

ах : Qx

 

 

 

и

 

П р е д л о ж е н и е

3.2.

 

П (Й2)

а2: £22

 

П (Q3)

— замкнутые

 

отображения

(здесь

Q 2

ZD

ZD £22); пусть,

далее, отображение ах

ограничено.

Тогда

отображение

а2 ° ах

замкнуто.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

последователь­

ности

(хп) и

(zn),

где

i j G Q i ,

ж„ -> ж, z n

ЕЕ а2 ° % (жп ),

z n

—>- z.

Для

 

доказательства

 

предложения

надо

про­

верить,

что

z ЕЕ я2 0

% (ж).

 

Для

каждого

?г найдем

элемент

уп

множества

аг (хп)

 

такой, что

zn

ЕЕ а2 (у п ) -

Из

ограниченности

аг

следует,

что

последовательность

(Уп) ограничена, и потому, не умаляя общности, можно считать, что эта последовательность сходится, скажем, к элементу у. Из замкнутости отображений ах и а2 сле­

дует, что у ЕЕ ах (х) и z ЕЕ а2 (г/), т. е. z ЕЕ а2 ° % (*)• Предложение доказано.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И Й

63

З а м е ч а н и е . Следующий пример показывает,

что произ­

ведение двух замкнутых отображений, вообще говоря, не обязано

быть

замкнутым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

5. Пусть

XL

=

Х2 =

Х3

=

Л 1 ,

Ql

=

 

Q2

—

йз' =

=

fij

= R\,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а , и = ( Ш -

 

 

 

 

 

 

a

i

[

x

)

J

{ 4 - } .

 

 

(

{0},

«

=

0,

 

 

I

{!},

 

*

=

0.

 

 

Нетрудно проверить, что отображения ах и а2 замкнуты, однако

отображение а2

о ах :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aj о а\ (х) =Г^{*},

z= £ 0,

 

 

 

 

 

 

 

не

замкнуто.

 

 

V

I

{1},

*

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е 3.3. Пусть Q± — замкнутое под­ множество пространства Хг, Q2 — подмножество про­ странства Х 2 и a: Qx -*- П (Q2 ) — замкнутое ограничен­ ное отображение. Тогда если f — непрерывный на Q 2 функ­ ционал, то функционал и/

uf(x) =

max f(y)

( I E U J ,

полунепрерывен сверху

*).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем прежде всего, что

определение функционала « ; корректно (т. е. функционал / действительно достигает максимума на множестве а (х)). Для этого достаточно заметить, что, как вытекает из ус­ ловия предложения и следствия из предложения 3 . 1,

множество

а (х) компактно

при любом х

Е Е

fli-

Рассмотрим теперь последовательность

(хп)

элементов

множества

Q,

и пусть

хп—> х.

Выберем

элемент уп Е Е

Е Е а (хп)

так,

чтобы / (уп)

=

uj (хп).

По условию, мно­

жество

a [\Jxn)

ограничено,

и потому

из ПОСЛеДОВатеЛЬ-

пости (уп)

то

 

 

 

 

 

 

 

можно выбрать

сходящуюся

подпоследова­

тельность {упк).

Пусть

у =

l i m ynj..

Из

замкнутости а

вытекает,

что

у Е Е а (х),

и

потому

 

 

 

 

 

 

A l / X

max /(z) =>/(ж).

 

 

*) Как отмечалось в начале этого пункта, замкнутые отобра­ жения называют также полунепрерывными сверху.

64

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ . I

Итак,

l i m uf

[хПк)

= / (г/) ^

щ

(х).

Из

сказанного легко

следует, что

l i m «/ (хп) ^

и;

(х).

 

 

 

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

3. Теорема

Какутанп.

Замкнутые

точечно-множест­

венные отображения играют важную роль при исследо­ вании многих задач математической экономики и теории игр. Это объясняется, в частности, тем, что для указанных отображений справедлива теорема Какутани о неподвиж­ ной точке.

Пусть

Q — непустое

подмножество

конечномерного

пространства X

я а — отображение множества Q в П

(Q).

Точка

х0

ЕЕ £2 называется

неподвижной

точкой

отобра­

жения

а,

если

х0 ЕЕ

а (х0).

Имеет место

 

 

 

 

Т е о р е м а

3.1

(С. К а к у т а н и). Пусть

 

а —

замкнутое отображение выпуклого компакта Q

«

П (й),

причем для любого х ЕЕ К

множество а (х)

выпукло.

Тогда

отображение а имеет неподвижную точку.

 

 

 

Доказательство см. Какутани [1], Никайдо [2].

 

 

4. Полунепрерывные снизу и непрерывные

(по

Ка­

кутани) отображения. Наряду с полунепрерывными сверху (замкнутыми) отображениями, рассмотрим ото­

бражения,

полунепрерывные снизу.

 

 

Xt

 

 

Пусть

й х

и Q 2

— подмножества

пространств

и

Х2

соответственно.

Отображение

a:

Qa -»- П (Q2 )

назы­

вается

полунепрерывным

снизу,

если

для

любых

точек

х

ЕЕ

и у ЕЕ а (х)

и любой последовательности (хп)(хп

—>

-*~ х,

хп

ЕЕ

& i

(п

=

1, 2,

...))

найдется1

последователь­

ность (уп)

такая, что уп

ЕЕ

а (хп)

(п

='

1, 2,

и уп->-

у.

 

Следующий

пример

поможет

читателю

уяснить

раз­

ницу между полунепрерывными снизу и полунепрерыв­

ными

сверху

отображениями.

 

П р и м е р .

Пусть Х х = Хг = Л 1 , Qx

= й 2 = Л\. Отображе­

ние

ах :

хфО,

 

 

 

 

 

 

х =

0,

полунепрерывно снизу, но не полунепрерывно сверху. Отображе­ ние а2".

хфО, х = 0,

полунепрерывно сверху, но ие полунепрерывно снизу.

 

 

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

 

 

65

 

Имеет

место

 

 

 

 

Если

каждое

из

отобра­

 

П р е д л о ж е н и е

 

3.4.

жений аг:

Q x —>- П (Q2)

и

а2-

Й2

->• П (й 3 ) (здесь Q2

ZD ^2)

полунепрерывны

снизу,

то

и

отображение

а2

° ах тголг/-

непрерывно снизу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Пусть

г G

а, = ад (я)

и

(хп)

— последовательность,

стремящаяся к х. Нам надо

указать

последовательность

(zn)

такую,

что

zn

-»- z

и

z„

ЕЕ а2

о аг (х)

(п = 1,

2,

...).

Так

как

z ЕЕ а2 (ах

(*)),

то найдется элемент г/, для которого выполняются соот­

ношения

z ЕЕ а2 (у),

у ЕЕ % (я).

Используя

полуне­

прерывность снизу отображения

найдем

последова­

тельность

({/„),

обладающую тем свойством,

что

уп -*-у

и уп ЕЕ % ( x j

(re =

1, 2, ...). Используя, далее,

полуне­

прерывность снизу отображения а2 , найдем последова­

тельность (zn ),

стремящуюся к z и такую, что z n

ЕЕ а2 (z/n).

Очевидно, что

(zn) — искомая

последовательность.

 

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

3.5. Пусть

a: Qx ->- П (Й2 )

иолу-

непрерывное снизу

ограниченное

отображение.

Тогда

если

f — непрерывный

на Qx

функционал,

то и функционал

Uj\ х —*- sup / (у)

полунепрерывен

снизу.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х ЕЕ й х

и

(ж„) —

последовательность точек из Qx , стремящаяся к х. Най­ дем точку у ЕЕ а (я), для которой выполняется неравенство

Uj

(х)

^ . f (у)

+

е,

где

е — произвольное положительное

число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись

теперь

нолунепрерывностыо

снизу

отображения

а, найдем

последовательность

 

(уп)

такую,

что уп->у,

уп<=а

(хп).

Так

как щ (хп)

>

/ (уп),

 

то

 

 

ЦЩЦ/

 

>

Ит / (уп)

=

f(y)>

Щ (х)

— е.

 

Ввиду произвольности

 

е

имеем

l i m uf

(хп)

>

^

(х), что

и

доказывает

предложение.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть й х

— замкнутое

подмножество

пространства

Хг,

Q2 — подмножество

пространства

Х2.

Отображение

a: Q x -*- П (й2 ) назовем непрерывным по

Какутани,

если

оно

одновременно^ замкнуто

(полунепрерывно

сверху)

иполунепрерывно^снизу.

Из предложений 3.2 и 3.4 следует

3 В. Л . Макаров, A. M. Рубинов

Смотрите также файлы