Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

П р е д л о ж е н и е

3.6.

Если

каждое из

отобра­

жений

ах:

й х

П (й2 ) "

ai'

&2 -»-П (й 3 ) {здесь й 2 3

й 2 )

непрерывны, причем

аг

ограничено,

то

и

отображение

а2

о ах

непрерывно.

Из предложений 3.3 и 3.5 вытекает

П р е д л о ж е н и е

3.7.

Пусть

a:

й х

П (й2 ) —

непрерывное ограниченное

отображение.

Тогда

если

} —

непрерывный на Йх функционал, то

функционал

uf.

х-*-

max / (у)

непрерывен.

1/еа(я)

5. Метрика Хаусдорфа.

Пусть

а — отображение

мно­

жества й х

в П (й 2 ), г Д е

^

i и

^2

замкнуты. Обозначим через

П (й) совокупность

всех

компактных

подмножеств

зам­

кнутого

множества

й

и предположим, что а (%) ЕЕ П (й2 )

для любого

| ЕЕ

П (их). В

этом

случае

можно

рассмат­

ривать а как (однозначный) оператор из П (йх )

в П (й2 ) и,

введя в множества П (йх ) и П (й2 ) топологию,

определить

непрерывность а обычным обра-

v

зом (как непрерывность

однозиач-

/

\

^

^ „

ной

функции).

Для

того

чтобы

реализовать

эту

программу,

нам

понадобится

ввести

топологию

в совокупность

компактов. Мы сделаем это с по­

мощью

так

называемой

метрики

Хаусдорфа.

Пусть X — конечномерное про-

Рис. 12.

странство, в

котором

введена

не­

которая норма,

S — единичный

шар пространства X,

т. е. S

=

{х ЕЕ

X

\\\ х || < : 1},

й —

замкнутое

множество

в

X.

Для

|, т) ЕЕ П (й)

положим

р (£,

тО = inf {t

>

0 \1 С

11 +

tS,

-п С £ +

(3.3)

Нетрудно

проверить,

что

число

р (|,

т])

удовлетворяет

следующему

соотношению

(рис. 12):

р (I,

г)) =

max (max р (£, у),

max р (ж, т))).

(3.4)

§ 3]

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

67

1)

Р (£,

л)

>

0; р (£,

л)

=

0

тогда

и

только тогда,

когда

£ =

г|. В

самом деле, если

£ =

г\,

то равенство

Р (£> л) =

0 очевидно. Если

же р (£,

т]) =

0, то,

исполь­

зуя (3.4),

получим,

что

£ =

г).

2)

Р (£,

и)

=

р (ц,

£).

Это

равенство

очевидно.

3)

Р ( i ,

D <

р (£,

л)

+

р (л.

О-

Действительно, по­

лагая

u =

р (£, т]) и г; =

р (г], £), получим из (3.3), ис­

пользуя компактность множеств

£,

т) и

£,

что

£ С

г) +

uS,

л

С

£ +

» 5 ,

Л С

£ +

uS,

£ CZ т) +

vS,

откуда

E c £ + (u + » ) S ,

£ с £ + (и + ») 5.

Снова

привлекая

(3.3),

имеем

Р (£, £) <

"

+ v =

р (£,

л)

+ Р (л,

О,

что

и

требовалось

доказать.

Таким образом, функция р является метрикой. Обычно

ее

называют

метрикой

Хаусдорфа.

Свойства

метрики

Мы отметим

(без

доказательства)

справедливость

следу­

ющей

замечательной

теоремы.

Если

множество

Т е о р е м а

3.2

(В. Б л я ш к е ) .

Q компактно, то пространство П (Q), снабженное метри­

кой Хаусдорфа,

также

компактно.

Приведем

также

следующее

П р е д л о ж е н и е

3.8.

Пусть

последовательность

компактов

(£п)

такова,

что

£ n + 1

CZ 1 п (п =

1> 2, ...).

Положим

£ =

П£п-

(Заметим,

что

£ =j= ф.)

Тогда

£п

стремится к

£ (по

метрике

Хаусдорфа).

Предположим теперь, что Q =

X,

и

рассмотрим

подпростран­

ство П с

метрического пространства П (X),

состоящее из всех выпук­

лых компактных подмножеств X. Согласно теореме 2.6 П с

как упо­

рядоченное

полулинейное

пространство

изоморфно

пространству

Р {X*)

всех

сублинейных функционалов,

определенных

на

X*.

Пусть

U, V

е

Пс . Положим

р (U,

V)

=

а.

Тогда, как

следует

из

(3.3),

V

d

U

+

aS,

UCV+

aS,

и потому

Ру

<

Ри

+

aPs>

Ри

<

Pv

+

*Ps.

С3'5)

3*

68

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

(Напомним, что если W е

П с ,

то

p w

—

функционал из

Р

(X*),

определенный формулой pw(f)

= max

f

(х).)

Из неравоисти

(3.5)

вытекает,

что для всех

/ (Е

X*

\Pu

(f)-Pv

U)\<«Psti)-

Заметим

теперь, что

Ps (/) =

* e s

/ И

=

|M|<i/ (

) =

II / II-

m a x

m a x

ж

Итак,

\prU)~Pv

(t)l

щ

< a

=

p(tf,

У)

(1ф0)

п потому

max

\PvU)~Pv(f)\

<?(U,

V).

(6.\S)

— :

jj-rjj

Действительно,

если

max

\Pu(f)-Pv(f)\

= P < p ( f f ,

П

т

I I ' II

; е х * , 1¥>о

то, как

петрудио

проверить,

p v

< ра

+

p > s ,

р,,

< p v

+ p > S i

откуда

V

С U

4-

fiS,

U С

V

+

B.S'.

Из

определения

метрики

Хаусдорфа

теперь

следует,

что

р (U,

V)

<1 р,

что

невозможно.

Итак, в формуле (3.6)

реализуется равенство. Учитывая это обстоя­

тельство п используя положительную однородность

функционалов

рц и p v , получим

max.\(pu-Pv)(f)\=p{U,

F ) .

(3.7)

||/ll=i

Заметим теперь,

что, в силу

положительной

однородности,

чениями

на

единичной сфере 2 * = {/ е X* \ || / || = 1} простран­

ства X*.

Условимся след этого функционала на единичную сферу

обозначать

той же буквой р, что и сам функционал; полулинейпое

лов на Z*

обозначим том же символом Р

(X*),

что и пространство

самих функционалов. Приняв эти соглашения, отметим, что Р

(X*)

содержится в пространство

С {Z*)

всех

непрерывных

функции,

определенных на Z*; кроме того, формулу (3.7) можно теперь пере­

писать

так:

WPU — PVWCW)

= Р

v ) -

Итак,

мы доказали следующее

П р е д л о ж е н и е

3.9. Отображение

cp: U —* рц

метриче­

ского

пространства

П с в

подмножество

Р

{X*)

пространства

С {?;*)

является

изометрией.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

69

Пусть

теперь

К

— выступающий,

воспроизводящий

конус

в

пространстве

X.

В

полулинейном

пространстве

ПРт

(К)

всех

нормальных

подмножеств

конуса

К

введем метрику

Хаусдорфа.

Монотонный сублинейный функционал р,

определенный иа

конусе

К*, отождествим с его следом иа пересечение SK»

конуса К*

и еди­

ничной сферы Z*

пространства

X*.

Полулинейное

упорядоченное

пространство всех следов на S K ,

монотонных сублинейных функци­

оналов

обозначим тем же

символом

Рт

{К*),

что и

пространство

самих функционалов. Из предложения 2.10 следует, что Рт

(К*)

содержится в пространстве С

всех непрерывных на S K ,

функ­

ций. Рассуждая так же, как и выше, нетрудно проверить, что спра­

ведливо

3.9'.

П р е д л о ж е н и е

Если

норма

|] •

|| монотонна

(см

п.

12 § 2), то отображение

%'•U

—> Рц метрического

пространства

Y\pm (X*)

в подмножество

Рт

(К*)

пространства

С

(SKt)

является

изометрией.

6.

Непрерывность по

Хаусдорфу.

Пусть

й х

и

й 2

—

замкнутые

множества

и

а:

й г

—>• П (й 2 ) —

отображение,

переводящее каждый компакт в компакт. Будем гово­

рить, что отображение а непрерывно по Хаусдорфу,

если

из

соотношений

ЕЕ Щ й ^ ,

\п

->

£ (п — 1,

2,

...)

сле­

дует,

что

а &п)

->- а (I).

Покажем, что отображение а, непрерывное по Хаус­

дорфу, является

непрерывным и по Какутанн, т. е. явля­

ется полунепрерывным и сверху и снизу. Проверим сна­

чала полунепрерывность сверху. Пусть (хп)

— последо­

вательность точек из й х , хп

—>- х, уп ЕЕ а {хп),

уп-*-

у. Так

как а непрерывно по Хаусдорфу,

то a (a;n) -»- а (х),

откуда,

используя

формулу

(3.4),

получим

max

р (г/, а (х))—> 0.

J/ea(-vn )

Поскольку

уп

ЕЕ а (хп),

то и

р (уп,

а (х))

0.

Последнее

означает, что

l i m уп

=

у ЕЕ а (х).

Итак,

а

полунепрерывно сверху. Покажем, что это отображение

полунепрерывно

снизу. Пусть х ЕЕ й ь

у ЕЕ а (х),

хп

х

(хп

ЕЕ Й 1 ;

п =

1, 2,

...). Нам

надо

найти

последователь­

ность (уп)

такую, что упЕЕа

(хп)

(п

=

1, 2, ...)

и уп

у.

Так как а (хп)

-*-

а (х),

то р (г/, а (хп))

- v 0, откуда

следует,

что последовательность (г/„), где уп ЕЕ а (хп)

и|| у — уп \\ =

=

р (у,

а

(хп)),

является

требуемой.