Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл (11,42Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

70 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . I

П р е д л о ж е н и е

3.10. Если

ограниченное

отобра

жение а непрерывно по Какутани,

то

оно

непрерывно и

по Хаусдорфу.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

пред

ложение неверно. Тогда

существуют компакт \ Е Е П

(Q^,

число

0 и

последовательность

(£„)

(£n

Е Е i f

такая,

что

\ п

\, но

р (а(Ъп),

а (£))

е,

и =

2, ...

Переходя, если это понадобится, к подпоследовательно сти, можно считать, не умаляя общности, что реализуется

один из двух

случаев:

а ) я (In)

не содержится в множестве

a(t)

(п

...),

б) а (I)

не

содержится

в множестве

а (£„) +

(га

...).

Рассмотрим сначала случай а). В этой ситуации су

ществует последовательность (уп)

такая,

что

уп

Е Е а

(£„),

уп

Е Е а (£)

eS.

Найдем

элементы

хп

Е Е

E„i

обладаю

щие тем свойством, что уп Е Е а (£п ) (и. =

1, 2, ...), и пока

жем, что последовательность (хп)

ограничена. В самом деле,

хп

Е Е U |ft ("

1, 2, ...); поскольку

последовательность

(|ft)

сходится,

то

она ограничена

(в пространстве U(Q1))\

отсюда, как нетрудно

проверить,

следует ограниченность

множества

U lh и

. стало быть,

последовательности

(хп).

Не умаляя общности, будем считать, что последователь

ность (хп)	сходится, скажем, к	элементу х. Поскольку
хп С = In и In -»- \|, то и а: Е Е I-
Из сказанного и ограниченности отображения а вы
текает, что	и последовательность	(уп) ограничена. Пере

ходя, если это потребуется, к подпоследовательности,

считаем, что существует Игл уп =		у.	Напомним		теперь,
что последовательность (уп)	удовлетворяет соотношениям
Уп е= а (хп),	Упфа	(I)	+	е5.
Так как отображение а замкнуто		и х Е Е		I , то первое		из
этих соотношений влечет	включение		у Е Е а (х)		CZ а	(£).

*) Напомним, что 5 = {х е Х 2 11| х || < 1}.

§ 4} СУПЕРЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1i

Из второго же соотношения следует, что у ф а (£). По лученное противоречие показывает, что случай а) не возможен.


Перейдем к случаю б). В рассматриваемой								ситуации
существует последовательность (vn)					такая, что vn ЕЕ а				(\|),
vn Ф а (5n) +		&S (га =	1, 2, ...).	Не		умаляя		общности,
считаем,	что	существует l i m vn		=	v.	В	условиях пред
ложения	множество		a ( U £n ) =	(J а (%п)			ограничено		и

пи

потому все множества а содержатся в некотором ком пакте. Из теоремы Бляшке следует, что из последователь ности (а (|п)) можно выбрать сходящуюся подпоследова тельность. Мы будем считать, что сама последователь ность (a (In)) сходится, и через т] обозначим предел этой последовательности. Так как, по условию,

vn Ф а (|„) + &S

(п = 1, 2, ...),

то v£j£r\. Покажем, с другой стороны, что полученное


соотношение не имеет места. Для этого найдем							элемент
и ЕЕ i такой, что v ЕЕ а (и),				и рассмотрим		последователь
ность	( u n ) ,	обладающую		тем	свойством,	что	ип	ЕЕ g n
(га =	1, 2,	...), ип	и (такая		последовательность			суще

ствует, поскольку \п -»- i ) . Так как отображение а полу

непрерывно	снизу,		то	найдется	последовательность (vn)
такая, что v'n		v,	v'n	ЕЕ а. {ип)	CZ а (£„), откуда	следует,
что Нш v'n =	v ЕЕ т) =			l i m а (§„). Итак, случай б)		невоз
можен.
Предложение		доказано.

Это предложение позволяет, говоря о непрерывности ограниченных отображений/не уточнять, в каком именно

смысле понимается	непрерывность.
§ 4. СУПЕР Л И Н Е Й Н Ы Е	О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

ИДВОЙСТВЕННЫЕ К НИМ

1. Простейшие свойства точечно-множественных ото бражений, определенных на конусе. В этом параграфе мы рассматриваем точечно-множественные отображения вида а: Кх - > П {К2), где Кх и К2 — выпуклые замкнутые конусы в пространствах Хх и Х2 соответственно.

Будем говорить, что отображение а конуса Кх в

П(К2)

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ .

вогнуто,

если

а (ах

- I -

(it/)

ZD а

а (ж) +

[5а

(у)

(а,

р >

-|- р -

ж,

у €=

положительно

однородно,

если

я, (Я.ж) =

Ха (х)

(к >

ж €Е

tfi),

супераддитионо,

если

а (жх

+ ж3) 3

а (жх)

а (ж„)

(жх,

ж2

Е Е

i f j ) ,

гейловское,

если

(0) =

{0}.

Ниже описываются некоторые простые свойства ото

бражений,

определенных

на конусе.

П р е д л о ж е н и е

4 . 1 . Если

а —

вогнутое

отобра

жение

и 0 Е Е а (0),

то

а (Хх)

Ха(х)

[X <

ж Е Е

а (|хж) с

и а (ж)

(и >

ж Е Е

# 1 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

X ^

1, то для ж ЕЕ

а {Хх)

а (АЖ +

(1 -

Я) 0)

Ха (ж) +

(1 -

X) а (0)

:э Ха

(х).

2) Пусть

р >

ж Е Е

Положим

г/ =

рж. Тогда

а (ж) = а (~-

yjz2-~a(y)^-j-a

(us).

Таким образом, \х,а (ж) гэ а (цж) и предложение доказано.

	П р е д л о ж е н и е	4.2. 1)	Если	отображение а вог
нуто и положительно		однородно,	то оно супераддитивно;
2)	если а супераддитивно и положительно однородно, то
оно вогнуто; 3) если а супераддитивно,				вогнуто и 0 Е Е а (0),
то	а положительно	однородно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы остановимся на дока зательстве лишь третьего утверждения предложения, по скольку первые два утверждения очевидны. Отметим прежде всего, что из супераддитивности отображения а вытекает соотношение

а (пх) ZD па (ж) (п — натуральное).

С У П Е Р Л 1 Ш Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я		73
Пусть теперь \i Ё> 1. Положим u, = Е	+	и,' (где
Е (и.) — целая часть и., и/ <^ 1). Имеем, используя		супер-
аддитивность и предложение 4.1,

а (цх) = я (2?(|ф: + u/ж) ZD а (Е (р.) ж) + а (и/ж) Z) Z) 2? (и.) а (ж) + u/а (ж) Z) f-ia

с другой стороны, снова используя предложение 4 . 1 , получим

а (|хж) CZ

(^) •

Итак, при [х >= 1

а (|хж) = и.о. (ж).

Если же 0 ц < 1, то, полагая у — и.ж, имеем

а (ж) =	a (-L ijj =	- i - й (г/) =		- i	- а (рж).
Таким образом, и в этом случае а (и,ж) =				и.а (ж).
Предложение	доказано.
П р е д л о ж е н и е 4.3. Пусть			а — супераддитивное
отображение и существует элемент х из Кг					такой,	что
множество а (ж)	ограничено.	Тогда	а — гейловское			ото

бражение.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

пред

ложение неверно и существует элемент у из

Кх (у =f= 0)

такой, что у Е Е а (0).

Используя супераддитивность

а,

нетрудно

проверить,

что

для

любого

натурального

2пу

а (0),

т. е. а (0) неограничено. Но поскольку

а (ж) =

а (ж+0) ZD

ZD а (ж) -J- а (0), то а (ж)

также неограничено, что противо

речит

условию.

Предложение

доказано.

П р е д л о ж е н и е

4.4. 1) Если

а — вогнутое

ото

бражение,

| — выпуклое подмноо!сество Кг, то множество

а (£)

выпукло; если

а — положительно

однородное

ото

бражение, £ Е Е П (/£]), § — конус, то множество а (£)

явля

ется конусом.

Z — график-

Множество

отображения

а — выпукло

тогда

и только

тогда,

когда

отображение

а вогнуто;

является конусом тогда и только тогда,

когда

а положи

тельно однородно.

74	Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е		О Т О Б Р А Ж Е Н И Я	[ГЛ.	1
	Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.
	С л е д с т в и с.	Если а—вогнутое отображение,			ХЕЕКХ,
то множество а (х)		выпукло.
	Из второй части предложения 4.4 и формулы (3.1) легко
вытекает
	П р е д л о ж е н и е 4.5. Пусть		множество	а (К±)	яв

ляется конусом. Отображение а вогнуто (соответственно,

положительно

однородно)

тогда

только тогда,

когда

вогнуто

(соответственно,

положительно

однородно)

ото

бражение

аГ1.

П р е д л о ж е н и е

4.6.

Вогнутое

замкнутое

гей-

ловское отображение

а: Кх

—>• 11 (К2)

ограничено.

Доказательство этого предложения опирается на сле

дующую

простую

лемму.

Л е м м а 4 . 1 .

Выпуклое

замкнутое подмножество

О,

пространства

содержащее

нуль

не

содержащее

ни

одного луча (с

вершиной в

нуле),

ограничено.

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы .

На

единичной

сфере S

пространства

X рассмотрим функцию а:

(х)

max {а

ЕЕ

\ ссх ЕЕ

Я}

(по определению, max пустого множества равен нулю).

Из условия следует, что 0

(х)

< ^ оо при всех

ЕЕ S.

Для

доказательства

леммы

достаточно

проверить,

что

sup

а (х) <[ оо.

Предположим,

что

sup а(х)

оо,

. r e s

. \ e S

найдем последовательность (хп)

элементов сферы S такую,

что а (хп)

^> /г. Не

умаляя

общности,

считаем,

что

су

ществует

i i n i хп

х.

Пусть

— произвольное

нату

ральное число. Тогда Nxn

ЕЕ

при всех

п ^> N и,

стало

быть, Nx ЕЕ Я. Таким образом, Я содержит луч

(ах)а>0,

что

невозможно.

Лемма

доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

4.6.

Покажем

сначала, что

условиях

предложения

образ

а (£) любого выпуклого компакта

является

ограничен

ным

множеством. Положим

£ = со (| (J{0}) =

^Е-

'•6= [0, 1]

Множество | является выпуклым компактом и потому (см. предложения 3.1 и 4.4) множество а (|) выпукло и замкнуто; кроме того, О ЕЕ а (£). Покажем, что а (£) не содержит ни одного луча. Предполагая противное,

Смотрите также файлы

Модуль Введение. Развитие бизнесмышления и навыков успешного предпринимателя.doc

Занятие 9 Настройка сетевого адаптера, смена mac адреса. Цель занятия.doc

План введение Основные особенности древнегреческой цивилизации Греческий род Фратрия, племя и нация греков Религия Культура Заключение Список литературы Введение.rtf

Реферат по теме Материалы и их свойства по дисциплине.rtf

1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень х с уравнения (1) находится внутри отрезка.docx

Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно