Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6] Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А Ц7

Из сказанного следует, что оптимальное значение за­ дачи (А) совпадает с наибольшим из чисел X, обладающих

тем

свойством, что

при

некоторых

(хи

ух),

(ж,, у2 ) ЕЕ Z

имеют место неравенства

(6.17).

 

 

 

Если X = 1, то эти неравенства

справедливы (напри­

мер,

для процессов

(хх,

yr) = (s, у),

(х2,

у2) — (0, 0)).

Покажем, что при X ^> 1 никакая пара процессов (xlt yi), (х2 , у2 ) не удовлетворяет этим неравенствам. В самом деле, предполагая противное, найдем соответствующие про­ цессы (a?i, ул), (ж3, у 2 ) ; из соотношений (6.17) получим

а (хх +

ж2) ^ а

(А, — 1)5 + а

(жх +

ж2) ^

ух -\-.у2.

(G.18)

откуда

следует,

что процесс

(хх

ж,, у2

-f- у2 ) —

нейма­

новский. Вспоминая определение процесса (ж", г), убедимся в справедливости соотношения 1% ZD это соотно­ шение показывает, что при достаточно малом положи­ тельном v

S>v(x1

+ xl).

(6.19)

Объединяя (6.19) и (6.18), имеем

 

Ух + У» > а (1 +

v (А, — 1)) (жх +

ж2 ),

что невозможно, так как а совпадает с неймановским тем­ пом роста a (Z).

Таким образом, оптимальное значение задачи (А)

равно 1. Это означает, что точка

г>0 = {—as, 0, 1) лежит

на границе выпуклого телесного

конуса V.

Покажем, что для задачи (А) выполнены условия тео­ ремы Куна — Таккера. Если выполнено условие 1) тео­ ремы, то конус V многогранен. Если выполнено условие 2) теоремы, то этот конус содержит внутреннюю точку вида (—а%, 0, у,). (Такой является, например, точка (—ая, 0, 0); в самом деле, если выполнено это условие, то у ^ > 0. Пусть процесс (ж, у) из Z таков, что у ^ > 0 , у — ах ^ > 0. Элемент z = (— аЯ + у, у — аж, 1) входит в V. В то же время, z ^ > (—аж", 0, 0). Так как V с каждым своим элементом содержит и все меньшие, то (—аЯ, 0, 0) входит в V с не­ которой своей окрестностью.) Итак: если выполнены усло­ вия нашей теоремы, то задача (А) удовлетворяет условиям теоремы Куна — Таккера (точнее говоря, одного из ва­ риантов этой теоремы (см. п. 9 § 1). В силу указанной теоре.

118

М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А —

Г Ё Й Л А

 

Сгл. I I

мы найдется функционал я =

( р ь

р2 , у)

] > 0 , удовлетво­

ряющий условию

max я {v)

=

я (v0) =

0 и

такой, что

V >

0. Из условия max я (v)

=

0 следует, в частности, что

для

(х, у) ЕЕ Z

CSV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

арг (х)

>

р 2 (у),

 

ру

(у)

< ар 2 (х),]

и потому а (рх +

р3 ) (х) >

(рх

+

р2 ) (у)

для (ж, у) ЕЕ Я.

Так как я (v0) = 0, то —рх

(ах) + 7 = 0 ,

откуда следует,

что

(pj - f ра ) (г/) >

( p i - j -

р2 ) (ах) > 0 .

Итак,

мы пока­

зали, что а = (а, (£, г/), рх -[- р2 )

является

состоянием

равновесия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Условия теоремы, как легко видеть, не явля­

ются необходимыми. По существу здесь возникает та же ситуация, что и в теореме Куна — Таккера; точнее говоря, условия теоремы 6.1 являются соответствующим образом переформулированными

условиями, гарантирующими выполнение теоремы Куна — Таккера. Вместо условия 2) теоремы можно потребовать выполнение не­ сколько более слабого условия: существуют неймановский процесс

{х,

у)

и конечная последовательность (х,

хи

хт)

такие, что хт

^>

^>

0,

(х, I J J G Z , (Х|, Х(+1) е Z (t = 1,

2,

... , Т —

1). При этом

для

задачи (А) по-прежнему имеет место теорема Куна — Таккера. Впро­ чем, существование неймановского равновесия в указанном случае вытекает непосредственно из предложения 6.3.

4. Расположение состояний равновесия модели Ней­ мана — Гейла. Конечность числа темпов роста модели.

В этом пункте мы опишем все темпы роста и состояния равновесия модели Неймана — Гейла Z. Это описание проводится с помощью некоторой конструкции, которая излагается ниже. Предварительно обобщим понятие ней­ мановского темпа роста и неймановского процесса на не­ которые выпуклые конусы, вообще говоря, не являющиеся моделями Неймана — Гейла. Пусть Z — выпуклый ко­

нус, лежащий в i?+ х

R+ и такой, что Рг2

Z f] i n t i?+ =j= ф.

Неймановским

темпом

роста

конуса Z

назовем число *)

 

а =

 

sup

min^r

.

(6.20)

 

(ж, v)ez, (х, v)¥=0 i e i

x

 

 

Заметим, что

а может

равняться и +

со, однако

всегда

*) Напомним, что / = {1, 2, . . ., л}.

§ 6] Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А ' Ц9

а ^> 0. E c n n Z — модель Неймана — Гейла, то а совпада­ ет с введенным ранее неймановским темпом a (Z).

Последовательность

({xh, ук))

элементов конуса

Z

назовем неймановской,

 

'Л

 

Введем

в

pac­

если min—:—>а.

 

ker

х\

к-

 

 

 

смотрение множество

индексов

Iz

CZ

Номер

i ЕЕ Iz

тогда и только тогда, когда найдется неймановская после­

довательность ((xh,

yh))

такая, что у\ ^> 0 (k

=

1, 2, . . .).

 

Пусть Z — модель Неймана — Гейла-

Конус

Z поро­

ждает конечную

последовательность

конусов

Zu

Z 2 , . . .

. . ., ZJV следующим образом. Положим

Zx

— Z,

обозна­

чим

Д + =

1\.

Таким

образом,

Zx

C Z Га

X Гх ;

 

если

Iх

=

Izt

=

I,

то процесс окончен; если I1

=j= I,

то рассмо­

трим грань Г2 конуса R+, натянутую

на орты с номерами

из 1\Г1,

и определим Z 2

как проекцию конуса Zx

на грань

Г2

X Г2

конуса

 

R+ X

 

Если

П

=

Iz,=

 

 

 

 

то

процесс окончен; в противном случае рассмотрим

грань

Г 3

конуса

R+,

натянутую

на

 

орты

с

номерами

из

 

 

U

-^2)> и

обозначим через Z 3

проекцию Z 2 на грань

Г3

X Г 3

конуса Rl

X i??. Если

Р

=

IZi

 

ф

 

 

 

U

'2 )>

то строим конус Z 4 и т. д. Этот процесс закончится на не­

котором шаге

N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате у

нас построены конусы Z v

и множества

индексов

Iv

 

[у

= 1, 2, . . .,

N),

причем

 

I"

== 7z„,

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7V

П

7 V ' =

ф (v =f= v'),

U I"

=

I-

Через

ccv

обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

v=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неймановский темп роста конуса Z v . Заметим, что ccv^> 0. Имеет место

Л е м м а 6.1. Для любого номера v и любого е ^> 0 найдется процесс (х, у) ЕЕ Z такой, что

1)m i n d[i — m i n (у1/х1) sg: е, 2 v t e ili=i,

N

2) если v •< JV, то х* == у* = 0 для всех i ЕЕ \J I* и iu=v+i

ук ^> 0 для

V

если v = N, то у1 ] > 0

 

scea; i Е U

для

есех i ЕЕ I.

ii=i

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Пусть ((xf t ,

— ней­

мановская

последовательность элементов

конуса

Z v

120 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ГЛ . I I

(v <.N).

Покажем, что найдется к' такое, что ух = хк — 0

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

 

 

 

при всех /с>/с'и!Е

U

№. Предполагая противное, мож-

но,

не умаляя общности,

считать,

что

для некоторого

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ЕЕ

 

U

№ при всех к выполняется одно из двух соотпо-

шений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• а)

у{

>

0,

б)

г/1- =

0,

но

4 >

0.

 

В

первом

случае,

однако,

/ ЕЕ I",

что невозможно,

так. как

№ f] №' = ф

при u. =f=

во втором случае

m i n

(yl/x\)

=

0, что также невозможно, ибо rain (уУ%1) —>

—г- a v .

Таким образом, нужное нам число к' существует. От­ метим еще, что поскольку Zv — выпуклый конус, то, рас­ суждая так же, как при доказательстве предложения 6.4, можно показать, что найдется неймановская последова­

тельность ((xh, yh)), для которой

у\ ^> 0 при всех к и всех

г ЕЕ I".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из сказанного легко вытекает следующее: по любому

Б ]

> 0

найдется

процесс

(г\,, yv)

ЕЕ Z

такой,

что

s\ =

=

yl

=

0, если

v <

iV, i ЕЕ

U

№;

уI >

0,

если

i ЕЕ №;

m i n (ylfsl)

^> a v

— е, если

a v

<; оо. В

качестве

(^vi Ух)

можно

взять,

например,

достаточно

далекий

член неймановской последовательности (хк, уК),

рассмот­

ренной выше.

 

 

 

 

 

 

 

 

2)'Будем считать, простоты ради, что v <; N и a v

< оо,

и покажем, что существуют числа

Хи Я,2, . . ., A.v такие,

что

процесс

 

 

 

 

 

 

 

обладает

требуемыми в лемме свойствами (здесь

(%, у^)

(ц. = 1, 2, . . ., v) — процессы,

определенные в

первой

части доказательства). Положим A,v =

1. Заметим теперь,

что найдется такое достаточно большое число X, что для

процесса

(£, у) = X (2"v _x , yv-i)

+

(*v» Uv) выполнено

Смотрите также файлы