Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл (11,42Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ G] Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А 121

соотношение

m i n

7j >

min (a„_i, av ) —

2е.

(6.21)

u Х

самом

деле, если

i Е Е 1^ (u. >

v),

то

у{ = £'

О,

а потому

г/7ж* =

оо;

если

i Е Е i

v ,

то

5v, fi1 =

z/J и,

следовательно,

j/VS* > a v

— е ;

если же i Е Е Z 7 - 1 , то отио-

шение

у /ж =

—

— может

быть

за

счет

выбора

4 -

сделано сколь

угодно

близким

отношению

yl-Jsl^.

Используя определение процесса (£v _i,

y w - i ) ,

можно

найти X, при котором выполнено (6.21). Обозначим

найденное

число

через Х^Г.

Подобным

же

образом

найдем k v _ u , X

V - S

, .

. .,

Лемма

доказана.

Через

T v

обозначим

грань

конуса R+, натянутую

на

орты с номерами *)

г Е Е

/'. Заметим, что Z v

Г,

| J . = V

X T v ,

причем

П r i r

4= Ф

1, 2, . . .,

N).

Будем говорить, что конус Z v

имеет неймановское со

стояние равновесия,

если

найдутся

процесс (£,

у)

Е Е

и функционал

р Е Е Г*

(где

Г* — конус,

сопряженный

к Г , в

пространстве ( 1 \ — T v )

такие, что

1) у >

a v s ,

2) Р

(у) <

avp

(х)

(х,

у)

Е Е Zv,

3) р (у) >

(Если

модель Неймана — Гейла, то это

определение совпадает

с данным

в п.

1.)

Определим подмножество

множества { 1 , 2, . ..,

следующим

образом: v Е Е £ тогда и только

тогда,

когда

конус

обладает неймановским

состоянием равновесия

и (если v ^> 1)

при всех ц <

v выполняется

неравенство

оси >

a v .

Имеет

место

6.2. Для

того чтобы

число а

являлось

Т е о р е м а

темпом роста модели Неймана

— Гейла

необходимо и

достаточно,

чтобы

нашелся

номер

v Е Е 56

такой,

что

а =

a v .

*) Эта грань уже рассматривалась выше (при определении конусов Z J .

122	М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[гл. it

Прежде чем перейти к доказательству, приведем два

следствия из этой

теоремы.

С л е д с т в и е

1. Модель Z имеет темпы роста тогда

и только тогда,

когда

X =/= ф.

С л е д с т в и е

Модель

Z может

иметь

лишь

конечное число

темпов

роста.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

6.2. 1)

Пока

жем сначала, что a v

(v Е Е iS) является темпом роста моде

ли Z. Пусть

( a v , (£,

у), р) — неймановское состояние рав

новесия конуса Z v

. Напомним, что р задан в пространстве

Tv — r v .

Через pv

обозначим функционал,

заданный на

всем Rn,

совпадающий

с р на T v

— 1 \ и равный нулю на

дизъюнктном *)

T v

— T v

дополнении.

Очевидно,

Pv (у) ^

avP\ ix)

Для

любых

{х,

у) Е Е Z.

Заметим, что

существует

процесс

(s, у) Е Е Z,

проекция

которого

на

T v — Гv

совпадает с (2, у). Из определения состояния рав

новесия легко следуют

соотношения

m i n

(у1/х1) —

m i n

(i/Vx1) =

av .

i s

I L

»S

U I

1 1

Привлекая

лемму

6.1

учитывая

неравенства

°V > a v

О ) , найдем процесс (х, у) 6Е Z,

для которого

2/1 = ^ = 0 ( i E U Р ) ;

m i n № * ) > a v .

Рассмотрим теперь процесс ( x v , ?/v) = (S, у) + X (x,

у),

где множитель

X выбран настолько большим, что выпол

нено соотношение

m i n (yl/xl)

ct v . Очевидно, y v > a " v

. r v ;

кроме того, p v (y v ) > 0. Таким образом, ( a v ,

( x v , уч),

p v )

является состоянием равновесия и, стало быть, а„ — темп роста модели Z.

2) Покажем теперь, что каждый темп роста а модели Z

совпадает с одним из чисел a v (VEE,2). Пусть (a, ($, у),					р)—
состояние	равновесия	модели Z.	Положим
	£ = { i E E / \| y V ^ = о, Р { > 0 } .
*) Под	дизъюнктным	дополнением	подпространства,	натяну
того на орты с номерами из некоторого множества /' с				Л	пони
мается подпространство, натянутое на			орты с номерами из		Г\1'.

§ fi] Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

123

Из определения состояния равновесия и равенства (6.4) вытекает, что I =j= ф; у1/& = m i n (y'/fi), если i ЕЕ / I

р{ — О, если i (=£ I.

Обозначим через v первый из номеров и,, обладающих

тем свойством, что I

f]I

Ф- Очевидно, / а

[)

№.

Кроме

того,

если

v ^> 1, то,

как

следует

из

сказанного

выше,

рг =

v - l

• Из соотношения

0 для i ЕЕ U

ix=i

У1

av —

sup

m m

(x,v)ez,

{Х.У)ФО

i s

вытекает неравенство

a v !>

а. Если o v

^> а, то

найдется

процесс (х,

у) ЕЕ Z,

для

которого

у1

аж*

при

всех

р,

i GE U ^ • Учитывая

свойства

функционала

получим

!x=v

что невозможно. Таким образом,

a =

a v .

Пусть v ф 1 и ц <

v. Тогда

Z) /, и потому

U / ш

< U = (X

an =

sup

m m

J/*

m m

у1

= a .

(ж, y)eZ \

{0)

N X

i m

1 ш

0)=Н'

O i = [ X

Предположим, что

= а. В этом случае проекция (£*, у)

пары (х, у)

на грань Г|х X I V является неймановским про

цессом (т. е. стационарной неймановской последователь ностью) конуса Zy,, Отсюда следует, что / CZ /*\ Так как,

кроме того, / 0

=f= ф,

то и i > П I"

ф 0 , что невозмож

но. Из полученного противоречия вытекают

неравенства

a v

(]х =

1, 2, . . ., v

—

1).

Для завершения доказательства осталось проверить, что

конус Z v

обладает

неймановским состоянием равновесия.

Покажем, что это состояние

совпадает с ( a v , (х„ yv),

p v ) ,

где

( x v ,

7/V ) — проекция

процесса

( i , у)

на

грань

T v

X T v , p v — сужение

функционала

на

грань

Г„ .

самом

деле,

соотношения

a v x v

< y v

и/>, (yv ) > 0

124	М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А —		Г Е Й Л А	[ Г Л . II
очевидны. Неравенство же pv		(у)	avpv	(х) справедливо,
	V—1
поскольку	pi = 0 (i ЕЕ U	№)•
Теорема	доказана.

З а м е ч а н и е . Предположим, что модель Z, рассматриваемая нами, является моделью Неймана (т. е. Z — многогранный конус). В этом случае каждый конус Z v многогранен (и, в частности, замкнут); таким образом, при каждом v = 1, 2, ...,N выполняется одно из двух: либо Z v является моделью Неймана, либо Z v содержит элемен ты вида (0, у), где у ф 0. Напомним теперь, что, согласно теореме 6.1, каждая модель Неймана пмеет неймановское состояние равнове сия. Из сказанного следует, что в рассматриваемой ситуации теоре

ма	6.2 принимает		существенно		более простой вид.
	Т е о р е м а		6 . 2' . Пусть Z — модель Неймана. Число а. является
темпом роста этой модели в том и только в том случае,								когда вы
полняются следующие условия:
	1) существует такое V, что а				совпадает с неймановским темпом
роста		конуса Z v ,
	2)	при всех ц. < v		выполняется		<xv.
	5. Обобщенные			темпы	роста.	Говорят,	что	число
а	^> 0, процесс (г, у) ЕЕ Z и функционал р						ЕЕ (#+)* обра

зуют обобщенное состояние равновесия:а модели Неймана — Гейла Z, если

as	<	у, р > 0,
р (у) ^ ар	(£)_	для всех (х, у) ЕЕ Z.

(Иными словами, о удовлетворяет всем условиям, опреде ляющим состояние равновесия, с той лишь разницей, что неравенство р (у) 0 заменено на неравенство р > 0.)

Число а, фигурирующее в этом определении, называет ся обобщенным темпом роста. Предложение 6.3 по суще ству показывает, что обобщенное равновесие существует

в произвольной модели. Опишем все			обобщенные темпы
роста	модели Неймана — Гейла Z.
П р е д л о ж е н и е 6.5.		Пусть	а' — m i n a v		(где
			v=l	N
a v	неймановские темпы моделей Zv,		определенных в п. 4),
а" — неймановский темп роста модели Z. Число				а	явля
ется обобщенным темпом роста модели Z тогда и только
тогда,	когда a ЕЕ [а', а"].
Д о	к а з а т е л ь с т в о .	1) Пусть a ЕЕ [о/, а"]. Обо
значим через (х, у) .неймановский процесс модели					Z и

§ 6]	ТЕМПЫ		РОСТА МОДЕЛИ		НЕЙМАНА — ГЕЙЛА			125
через р функционал такой, что						р =j= О, р (у) ^	а'р (х)
((ж, у)	ЕЕ Z)	(в	существовании		этого функционала			легко
убедиться, применив предложение 6.3' к конусу Zv>,								где v'
таково, что сс' = av <).
Справедливо			неравенство
	ах	<	у,	р (у) < ар	(ж),	(ж, ?/) ЕЕ 2 ,
т. е. а — обобщенный темп роста.
2)	Пусть	теперь		а ЕЕ [аг,	а"].	Тогда если	а	а",
то ни для какой пары (ж, у) ЕЕ Z						не выполняется	соотно

шение у >	ах; если же а < а ' , то, используя лемму 6 . 1,
можно указать такой процесс (жа , г/а) ЕЕ Z, что г/а ^> аха.
Кроме того, для		любого р ^> 0 выполняется неравенство
Р (Уа) > а Р	(ха)-
Предложение		доказано.

Вопрос о существовании и числе состояний равновесия можно еще рассматривать со следующей точки зрения. Поскольку любой выпуклый конус Z можно сколь угодно точно «приблизить» многогранным, а для многогранного конуса, с одной стороны, выполнена теорема существова ния состояния равновесия, а с другой стороны, проекция на любое подпространство всегда многогранна, то вместо состояний равновесия исходного конуса Z можно рассма тривать последовательности состояний равновесия при ближающих Z многогранных конусов. Эти последователь ности и принимаются, по определению, за состояние рав новесия исходной модели. Известное преимущество такой точки зрения состоит в том, что теорема существования и теорема о числе и расположении состояний равновесия имеют место для произвольной модели. Отметим, что такой подход к экстремальным задачам последовательно про водится Голынтейном [1] и др., а применительно к модели Z — Мовшовичем [11.

6. Экономический темп роста. Рассмотрим модель Ней мана — Гейла Z. Обозначим через а производственное отображение этой модели. Неймановский темп роста а модели Z часто называют технологическим темпом роста

этой модели. Наряду с технологическим рассматривают и

экономический темп роста	\|3. По	определению,
р = m i n	max	-p*f\
p>o(x,V)e=z		P(x)

Смотрите также файлы

Модуль Введение. Развитие бизнесмышления и навыков успешного предпринимателя.doc

Занятие 9 Настройка сетевого адаптера, смена mac адреса. Цель занятия.doc

План введение Основные особенности древнегреческой цивилизации Греческий род Фратрия, племя и нация греков Религия Культура Заключение Список литературы Введение.rtf

Реферат по теме Материалы и их свойства по дисциплине.rtf

1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень х с уравнения (1) находится внутри отрезка.docx

Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно