Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 152

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

126 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . II

(как обычно, считаем, что -~Ц- =

оо, если

р (х) = 0). За-

4

'

р(х)

 

 

 

 

метим, что S < + оо. Пусть р ЕЕ Л+, Г > ЧтМ Д л я

в

с е х

 

 

 

 

р \xi

 

 

(х,

у) EEZ. Предположим, что

у <С оо.

Тогда р (у)

^

^ V P (ж) {(х, у) E E Z ) , т. е. р ЕЕуа'

{р) или, что то же самое,

1

 

 

1

 

 

 

—р

ЕЕ а' (р). Если у = оо, то формула — р ЕЕа' (р)

так­

же верна. Из сказанного следует, что

 

 

 

 

р = m i n min \r\-^-p^a'(р)\

•

 

 

 

Переходя

к обратным величинам, запишем получен­

ную формулу

в виде

 

 

 

 

 

 

•4- = max max {б | бр ЕЕ а' (р)}.

(6.22)

Из (6.22) вытекает, что число 1/В совпадает с нейманов­ ским темпом роста а' отображения а', двойственного к а. Рассуждая так же, как при доказательстве предложения 6 . 1 , нетрудно убедиться в том, что число а является обоб­ щенным темпом роста отображения а тогда и только то­ гда, когда 1/а — обобщенный темп роста отображения а'. Поскольку, кроме того, а ' — наибольший обобщенный темп роста отображения а', то В — наименьший обоб­ щенный темп роста отображения а. Из сказанного сле­ дует, что справедливо

П р е д л о ж е н и е

6.6. Экономический

темп

роста

модели

Неймана

— Гейла

Z

совпадает с

технологическим

темпом

роста

этой модели

в том и только том

случае,

когда Z

имеет

единственный

обобщенный

темп

роста.

Привлекая предложение 6.5, получим, что В =

m i n csv

 

v = l N

(где a v

— неймановские темпы роста моделей Zv,

опреде­

ленных

в п. 4).

 

§ 7. С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я ТЕОРИЯ С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Х

ОТОБРАЖЕНИЙ

1. Собственные числа и собственные множества. Из­ вестная теорема Перрона — Фробениуса (см., например, Гантмахер [11) утверждает, в частности, что всякий положительный оператор A: Rn ->- Rn обладает неотри-

С П Е К Т Р А Л Ь Н АЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ

127

дательным собственным числом; при этом А

имеет лишь

конечное число неотрицательных

собственных чисел;

если, кроме того, А неразложим,

то у этого

оператора

существует единственное положительное собственное чис­ ло X и отвечающий этому числу собственный вектор является внутренней точкой конуса

Оказывается, что аналоги приведенных выше ут­ верждений имеют место и для нормальных суперлинейных

отображений.

В этом смысле спектральная теория

су­

перлинейных

отображений может рассматриваться

как

обобщение спектральной теории положительных опера­ торов.

Введем некоторые определения и обозначения. Всюду в этом параграфе, простоты ради, будем рассматривать лишь нормальные суперлинейные отображения R+ в П(Л+), хотя многие из приведенных результатов справед­ ливы и в более общей ситуации. Совокупность всех таких отображений обозначим через Ап.

Через Щ (соответственно, Пп ) обозначим совокупность всех нормальных (соответственно, непустых выпуклых) подмножеств конуса R+. Неотрицательное число X назы­ вается собственным числом отображения а Е=Ап на Пп, если найдется выпуклый компакт |, отличный от нуля и такой, что

а (|) = XI

(7.1)

Множество |, удовлетворяющее соотношению (7.1), будем называть собственным компактом отображения а. Из нор­

мальности а вытекает, что I ЕЕ П„.

 

Число X !> О называется собственным числом

отобра­

жения а ЕЕ. А п на П„, если найдется множество

£ ЕЕ Пп,

отличное от грани конуса R+ и такое, что а (|) = Это множество £ будем называть собственным множеством отображения а,

Собственное число отображения а на П„ является соб­ ственным числом этого отображения на Пп. Это позволяет, в частности, называть собственный компакт собственным множеством.

2. Собственные числа отображения а на Щ . Для того, чтобы доказать существование собственного компакта

128

М О Д Е Л Ь

Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[ГЛ . I I

у отображения а ЕЕ Ап,

воспользуемся принципом непо­

движной точки Щаудера, который формзмгаруется следую­ щим образом.

П р и н ц и п Ш а у д е р а . Оператор Ъ, определен­ ный на выпуклом компакте Я в нормированном простран'

стве X, отображающий

Я в себя и непрерывный, имеет

неподвижную

точку (т. е. найдется элемент я ЕЕ Я,

для

которогох =

Ъ (х).)

 

 

Доказательство см. Канторович и Акплов [1].

 

Кроме того, нам понадобится

 

П р е д л о ж е н и е

7 . 1 . Отображение а ЕЕ Ап

не­

прерывно.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения 3.10 достаточно показать, что а полунепрерывно снизу. Пусть

х ЕЕ R+, у ЕЕ а (х). Не умаляя общности, считаем, что х =j=0 (ъ противном случае наше утверждение очевидно).

Возьмем последовательность (xh)

элементов

конуса

R+,

стремящуюся к х, и положим

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

и* = шах {(х | \лх ^ хк}

= пцп — - .

 

Так как xh

->• х, то jx^- —> 1. Поскольку отображение а нор­

мально, то

оно возрастает, и потому а (\1кх) = и^а (х)

CZ

CZ а (хк). Положим ук =

\.1ку. Из сказанного следует, что

Ук 6ЕЕ а (хк)

и г//с-> у. Тем самым полунепрерывность снизу

отображения а, а с ней и непрерывность доказаны.

 

Т е о р е м а 7.1. Отображение

а ЕЕ Ап

имеет соб­

ственный компакт.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Через

Л£

обозначим

полулинейное

пространство всех монотонных сублинейных функционалов, опре­ деленных на конусе ( Л " ) * . (Иными словами, Р^ = Рт ((Л")*) . )

• В дальнейшем мы отождествляем функционал р £= Р£ с его следом на

множество

= ( Л " ) * f) S*,

где

S * — единичная сфера

про­

странства ( Л п )

*. (По поводу такого отождествления см. стр. 69.)

Полулинейное

пространство

всех следов на iS* функционалов р g=

6= Р^ обозначим тем же символом

что и исходное пространство.

Множество Рсп

можно рассматривать как выпуклый конус в прост­

ранстве С (i1 *)

всех непрерывных

функций, определенных на

5 * .

Нетрудно проверить, что конус Р °

замкнут в С (iS1*). Из теоремы 2.6

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я

О Т О Б Р А Ж Е Н И Й

129

следует, что отображение %: U —> ри

(где р„ : / —> max

/ (х)) явля-

ется алгебраическим и порядковым изоморфизмом полулинейного пространства П£ и конуса в силу предложения 3.9' отображение % является изометрией. (Мы считаем, что в пространстве ц£ введена

метрика Хаусдорфа.) Отметим еще, что отображение

сопоставля­

ет функционалу р ЕЕ Рп

множество

U*

всех его положительных

опорных.

 

 

 

 

Рассмотрим отображение а, фигурирующее в условии теоремы.

Так как а суперлпнейно

и нормально,

то а (£) ЕЕ П° для любого

компакта £ (и, в частности, для I; Е : П ° ) . Через а обозначим отобра­

жение конуса Р£ в

определенное формулой а. =

Х а Х - 1 - Иными

словами, для p E ? J

 

 

 

 

 

а{р) = р

+

•

 

Так как % является линейной изометрией, то для доказательства теоремы достаточно проверить, что оператор а имеет неотрицатель­

ное собственное число.

Пусть / ЕЕ •S'+i / ^> 0. Положим

Q={PePn\P (/) = !)•

Множество Q выпукло и замкнуто. Покажем, что это множество

ограничено. Так как / ^> 0, то найдется столь большое положитель­ ное число X, что конусный отрезок <0, Xfy = (Xf — (/?")*) |~] (-Я+)* содержит множество >У*. Для р ЕЕ ® имеем (учитывая, что р — мо­ нотонный функционал)

||/>||=supi>(g)< sup p(g) = р (Xf) — Хр (/) = Я,

откуда и следует ограниченность £2.

Множество х - 1 (&) ограничено в П° ; в силу теоремы Бляшке это

множество компактно. Отсюда следует,

что и множество

Q

=

= Х(Х- 1 W )

компактно.

 

 

 

 

Для р Е= £2 положим

 

 

 

 

 

Ъ (р) =

р + а (р),

ч .

(7.2)

 

W

1 + а ( ? ) ( / )

 

V

;

Так как Ъ (р)

(/) = 1 (р ЕЕ

то оператор Ь, определенный формулой

(7.2), переводит й в себя. Из предложения 7.1 следует, что оператор а непрерывен, а потому и Ь непрерывен. Применяя принцип непо­ движной точки Шаудера, найдем неподвижную точку оператора Ъ, т. е. элемент р ЕЕ й, для которого Ь (р) = р. Из определения b

5 В. Л . Макаров, А.\М. Рубинов

Смотрите также файлы