Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

130

М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[ГЛ . I I

на ПпДля этого нам понадобится

следующее

П р е д л о ж е н и е

7.2. Пусть

а — вогнутое

поло­

жительно однородное отображение конуса R+ в

П

(R+),

причем при любом

ж ЕЕ R+ мноокество

а (х)

содержит

с каждой своей точкой у конусный отрезок

<0, у}.

Пусть,

далее, число Х^>0

и ограниченное выпуклое множество \

с непустой внутренностью таковы, что

Xt (Z

а (£) с Xl

(7.3)

а =

sup

sup sup {а I cue ^

у}.

Положим

а

(ж) =

sup {а | и х ЕЕ а (х)},

(7.4)

а

= sup а (ж)

(7.5)

а(ж) =

sup

sup {а [ ах ^ у}.

(7.6)

yea

(ж)

При любом е >

0

(а (х)

—

е)ж ЕЕ а (ж),

и потому

а (х)

^

sup sup {а j аж^л/}. Пусть,

с другой

9SBW

стороны,

число

р > 0

и элемент у ЕЕ а (ж) таковы, что

(Зж *^ у. Тогда

6ж ЕЕ <0, г/> d а (ж), и потому

(5 < а (ж).

Тем самым (7.6)

доказано.

убедимся в справедливости неравенства а >

X.

Так

как

К =

а,

то а

!>

а,

откуда (см. предложение

6.5)

следует,

что

а

=

а.

Теорема

доказана.

Пусть £ — собственный компакт отображения а ЕЕ А п.

Рассмотрим грань Г (|)

конуса

R+,

порожденную множе­

ством

^ (напомним, что (см. предложение

2.15) Г (|)

=

= Со £ =

U

Если % — собственное число, которому

отвечает

£,

то

а(Т(1))

= о(

U |4) =

U я 04) =

U

№ •

Таким

образом,

если

Я, = 0,

то

а (Г (£1) = {0};

если

X >

0, то а (Г

(|))

= Г (|). Отметим еще, что (см. предло­

жение

2.12) £

содержит внутреннюю точку

грани Г (£),

странстве L

(|)

=

Г (£) — Г (|).

Каждую

отличную

от

нуля грань

конуса

i t 1 " можно отождествить с конусом i? +

(где I ^ п).

Из сделанных замечаний и теоремы 7.2 выте­

кает справедливость следующего

утверждения.

Т е о р е м а

7.3. Пусть

X

0 — собственное число

отображения

aEzAn

на

П£.

Тогда найдется

грань

Г

конуса R+ такая, что а (Г)

=

Г и X совпадает с нейманов­

ским темпом роста

конуса Zp = Z |~] (Г

X Г),

где Z —

график отображения

а.

3. Собственные числа отображения а на П^. Из теоре­

мы 7.1 следует, что

каждое

отображение

аЕЕАп

имеет

собственное число на П^. Справедлива

Т е о р е м а

7.4. Если а ЕЕ А п, то а имеет на п£ лишь

конечное множество собственных чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о

этой теоремы опирается

на

следующую

простую

лемму.

Л е м м а

7 . 1 . Пусть телесное выпуклое множество £

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И И

133

х=

2

ж;е4, где

/0 =

{i ЕЕ 1\х1^>0},

через

е*

обозначен

г-й

орт пространства

Rn.

Нетруд­

но проверить,

что

множество

£ с каждой своей точкой

у содержит конусный

отрезок <0, у}. Из сказанного сле­

дует, что лучи (|хе;)|1>о (i ЕЕ /0 ) входят в 1 -

Пусть i

ЕЕ /0>

f i > 0

и последовательность

(хп)

элементов множества

|

такова, что хп

- v (ц. + 1)ег . При

достаточно

больших

п

выполняется

неравенство

ххпе% >

\iet, кроме того,

хп

!>

> а£ег. Таким

образом,

ц,ег ЕЕ <0, хпУ и,

стало

быть.

иег ЕЕ Е- Итак,

£ содержит

луч

(и,ег)н.>о- Обозначим че­

рез /множество всех индексов г, для которых (и.ег)у.>оCZ

С Е-

Множество

Г

=

со (

U

(u.e«Xt>o) =

{ж ЕЕ Rl | ж =

2

V-tet)

и является наибольшей по включению гранью конуса

R+,

содержащейся в |.

2) Из рассуждений п. 1) доказательства

немедленно

вытекает,

что

множество т] =

Ргг-

| ограничено. Телес­

чение

| CZ Г +

т] очевидно.

Покажем,

что Г +

т) d |.

Отметим прежде всего, что, как следует из свойств мно­

жества

\. справедливо

соотношение

л CZ |. Поскольку,

кроме того, Г d

| и | выпукло, то при любом а ЕЕ (0, 1)

имеем

ат) + (1 — а)Г =

at] +

Г

с

Пусть

# ЕЕ Г +

г],

х =

и +

v,

где

и ЕЕ Г,

и ЕЕ т).

Так как

при всех

натуральных

п

. п, — 1

n . r c — 1

^

и -\

v ЕЕ Г А

п с: £,

то l i m

-f- п п 1 vj =

х ЕЕ £, чем и доказано третье

утверж­

дение

леммы.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

7.4.

Пусть

а (|) =

АЕ ( A ^ > 0 ; .

Так как

отображение

а нормально,

<0, хУ. Нетрудно

проверить,

что

множество L

=

U

U.E.

v->o

является гранью

конуса /?+. Поэтому, не умаляя

общно­

сти, можно

считать,

что

Е. телесно (в противном

случае

следует

вместо а рассмотреть сужение O-L отображения а

на грань

L).

Пусть Г — наибольшая (по включению) грань конуса

R+, содержащаяся в !, Г'—дизъюнктное

дополнение к Г.

Рассмотрим

отображение

Ъ конуса Г'

в

П (Г'), график

которого совпадает с проекцией конуса

Z — графика

отображения

а — на

грань

Г'

X Г'

конуса

R+

X R+-

Нетрудно

проверить, что

b (и) = Ргг< а (со +

Г)

(шс= Г')-

Так как проекция выпуклого конуса является выпук­

лым конусом, то (см. предложение

4.4)

отображение Ъ

вогнуто и положительно

однородно. Положим Т] =

Ргт» £

п покажем, что

Ь| С б ( 1 ) С

Щ.

(7.8)

В самом деле, в силу леммы 7.1,

| С

т| -И1 Г CZ I . и

п о ~

тому АЕ. =

а (£,) CZ я (т1 +

Г) CZ a (£,),

откуда следуют

со­

отношения

Уп-> У, Уп^а(хп)

{п =

1, 2, . ..).

Поскольку хп ЕЕ £., то у п

ЕЕ о (Е.) =

АЕ., И потому г/ ЕЕ л|