Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 157

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Й

135

откуда и следует нужное нам включение. Используя те­ перь соотношение Ргг'1 CZ Ргг£ = ч" (которое легко сле­ дует из ограниченности г|), получим

Ргг- а (!) с

Ргг-

= X Ргг < I<= %л\.

Тем самым формула

(7.8) доказана. Из этой формулы вы­

текает, что отображение Ъ, множество т] и число X удовле­

творяют всем условиям предложения 7.2. Применяя это предложение, убедимся в том, что X — единственное соб­ ственное число, которому отвечает телесное собственное множество, содержащее Г в качестве наибольшей грани. Справедливость теоремы следует теперь из многогранности

конуса

Л".

 

 

 

 

4.

Собственные множества, отвечающие темпам роста.

Пусть

 

а

есть темп

роста

отображения a EzAn

и а =

= (а,

(х,

ах), р)—состояние

равновесия модели Z,

опреде­

ляемой

отображением а. Положим

 

 

 

 

 

М У =

{у e=R"\P{y)<P

(*>)}.

 

Через ПУ обозначим совокупность всех выпуклых под­ множеств множества т]У, содержащих точку х. Упорядо­ чим ПУ по включению. Это множество является полпой структурой (инфимум любого семейства элементов ПУ сов­ падает с пересечением элементов этого семейства, супре­ мум — с выпуклой оболочкой объединения этих эле­ ментов).

П р е д л о ж е н и е 7.3. Если ц ЕЕ ПУ, то ^ а (и) ЕЕ ПУ.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем

вначале,

что

1

v

 

 

 

 

 

 

- Й ( Т | )

С Ч « .

В самом

деле,

 

 

 

 

snp

p(z) =

- jL snp

p(z) =

- i - s u p

sup р(г/)<

 

 

 

 

< 4 " sup ap (x)

=

sup p{x) =

p (X),

 

 

 

u жен

 

xei)

 

откуда и следует наше утверждение. Кроме того,

XEE^-a(x)cz:^-a{y]).

Таким образом, т) ЕЕ ПУ.

136 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . I I

Предложение доказано.

Из предложения 7.3 сразу вытекает, что а является собственным числом отображения а на Пп - Точнее говоря, имеет место

Т е о р е м а 7.5. Темп роста а отображения а явля­ ется собственным числом этого отображения на Пп. Если

о = (a, (ж, aS),p)

—состояние равновесия с темпом роста

а, то в структуре

ПУ существует наименьшее собственное

множество | отображения

а, соответствующее темпу а.

При этом

 

 

 

 

I = у

or*а' (ж).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если r i ' c i j C if+, то при

любом натуральном t

 

 

 

(аг1а)* (т)') с: (а _ 1 о)' ц.

В частности, из включения Ж ЕЕ оо- 1 а (ж) следует, что

or*a* (Ж) = (сГ^)' (ж) с: (а^а)'*1

(ж) = о г « + % ' 4 1 (г).

Таким образом,

 

 

 

а_ 1 а (ж) с

сГ2 а2 (ж) с: . . . d

сг'а' (ж) с= .. .

Поскольку, кроме того, каждое из множеств а"'а' (Ж) выпукло, то и их объединение Е также выпукло. Имеем

а (g) = а ( у сг'а' (ж)) = у сг'а'+ 1

(ж) = а 3 сН'+ %'+ 1 (ж) =

а|.

 

 

 

(=i

 

1=1

 

(=i

 

 

 

 

Так как р (ж) >

0, то £ не совпадает с гранью конуса if+.

 

Таким

образом, а — собственное число отображения а

на

 

Пп,

которому

отвечает

собственное

множество

|.

Из

предложения

7.3 и того

обстоятельства,

что

Ш '

—

полная

структура,

вытекает

включение

| ЕЕ

П У .

Пока­

жем,

что

Е — наименьшее в П^

собственное

множество.

В

самом

деле,

пусть |'ЕЕПУ>

а (£') =

а|'.

Так

как

Ж ЕЕ

I',

то при любом t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а~*а* (Ж) d

а-'а' (£') =

(а^я)' (£') = Г,

 

 

 

со

и потому | = (J а~'а' (ж) d

Теорема доказана.

(=i

 

§ 7] С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Й 137

З а м е ч а н и е . Не всякое собственное число является темпом

роста отображения. Приведем соответствующий пример.

 

П р и м е р .

Рассмотрим конус Z, лежащий в R^_ X R\

и натя­

нутый на образующие ((1, 0); (1, 0)), ((0, 1); (0, 1)), ((1, 1);

(1, 2)),

((1, 0); (0, 0)), ((0,

1); (0, 0)). Отображение а, графиком которого яв­

ляется Z, входит в А 2 . Единственным темпом роста отображения а является его неймановский темп роста а = 1. В то же время это ото-

бра?кенпе

имеет

собственное число

% — 2. Соответствующее это­

му

числу

собственное

множество

£ совпадает

с

полуполосой

{х

е R%

| я8 < 1}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот пример показывает, в частности, что собственные числа

отображения

a EzAn

на

П^ могут превышать

неймановский темп

роста.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особый

интерес

представляет случай,

 

когда

 

р^>0.

В этом случае имеет место

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

7.4. Пусть

состояние

равнове­

сия

а =

(а,

(ж, as),

р)

таково,

что

р^$>0.

Тогда

1) а

является

собственным

числом

отображения

а на П£.

При

этом 2) наименьший в структуре

П У

собственный

компакт

|х

отображения

а

определяется

формулой

i i

=

U a ~ ' a <

 

3) наибольший в На собственный компакт

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|2

существует и имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g s = П a - V ( T ! 0 V )

 

 

 

 

 

 

 

(где,

как

и

выше, Г|У =

{у ЕЕ

R+ | Р

(у)

^

 

р

(я)})-

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как р^>0,

то

множе­

ство

 

 

компактно.

Отсюда

следует,

что

множество

|

=

[J а~'а'

(ж) ограничено и, стало быть, £х

=

£ является

компактом. В силу теоремы 7.5 а (|) =

а|. Покажем, что

и а (|)

=

а\. Из включения \ZD

\ вытекает соотношение

а (I)

ZD а (I)

=

о|._

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

а (|)

— компакт,

то

а (I)

ZD

 

 

Пусть

теперь

J/ ЕЕ

a (I) и

элемент ж ЕЕ

£ таков,

что

у ЕЕ

я (ж).

Выберем последовательность (жп ) элементов множества |, стремящуюся к ж, и, используя полунепрерывность снизу

отображения а, найдем последовательность (уп),

обладаю­

щую

тем свойством,

что уп-*- у, уп ЕЕ а (хп).

Так как

хп ЕЕ

I, то уп ЕЕ а Ш

= <х£ и, стало быть, у ЕЕ

a f . Таким

138 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . I I

образом, включение a (£) CZ а|, а с ним и равенство а (£) = a t доказаны. Из сказанного следует, что a — соб­ ственное число отображения а на Щ. Кроме того, в силу

теоремы 7.5, ix =

£ — наименьший собственный компакт

(в структуре

По)

этого отображения.

 

 

Докажем

третью

часть

предложения.

Положим

11/ = ог'а1

(г|У). Множество r\t

является выпуклым ком­

пактом. В

силу предложения

7.3 а~1а

(ц)')

С

"цУ, и пото­

му a~(t+1)aui

 

(ца)

— Tit+i с= lit — а~'а1

(ч\„). Отметим еще,

что r\t+1 =

a - 1 a (щ).

Рассмотрим множество

£2, фигури­

рующее в условии предложеиня. Так

как | 2

=

(111*, то (см.

предложение

3.8) | 2

= Пш r[t

(где

предел

понимается в

смысле метрики Хаусдорфа). Учитывая, что а — непре­ рывное отображение, имеем

а (£2 ) = l i m a (i]( ) = a l i m r\t+1 = a£2 .

Таким образом, £2 — собственный компакт отображения а. Пусть | — другой собственный компакт этого отображе­ ния, g ЕЕ ДУ. Тогда | CZ Ца и, стало быть,

 

c r V

(£) = g c

or*a*

 

откуда следует,

что

£ с: f l a

(цУ) =

Ег-

Предложение

доказано.

 

 

5. Собственные числа отображения

о - 1 . Пусть а ЕЕ ^4П

иа"1 — обратное к а отображение. Неотрицательное число

Яназовем собственным числом отображения а- 1 , если най­

дется

выпуклое

множество

\ (О §Ё £), при котором

а - 1 (|) = Я£. При

этом | называется собственным множе­

ством.

 

 

 

По кажем, что число а - 1 , где а — темп роста отображе­

ния а,

является

собственным

числом отображения а'1.

(При этом мы будем использовать те же соображения, что и в предыдущем пункте, но «с точностью до наоборот»).

Пусть о — (а, (х, ах), у) — состояние равновесия мо­ дели, определяемой отображением а. Положим

Через П а л

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И И

139

жеств г) таких, что £ ЕЕ f] CZ f]a • Множество П 0 , упорядо­ ченное по включению, является полной структурой.

П р е д л о ж е н и е 7.5. Если т) ЕЕ П£\ то аа'1 (т)) ЕЕ

ЕЕП0 Л .

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть г| ЕЕ По • Тогда

inf

р (z) =

a

inf

р (z)

=

а inf

inf

р (х)

>

геоа-ч(Ч)

 

геа-'Сп)

 

 

эсеа->(у)

 

 

 

 

 

 

 

>

а inf

—

р(у)

= iai

р (у) = р

Таким

образом,

а а - 1 (ч ) CZ т]а •

Кроме

того.

 

 

 

 

 

х ЕЕ аа~х

(х)

CZ а а - 1 (г|).

 

 

Мы показали,

что т) ЕЕ П^.

 

 

 

 

 

 

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

7.6. Пусть

а — темп роста

отображе­

ния а. Тогда

а"1

является собственным числом отобраоюе-

ния а- 1 . Если

а =

(а, (х,

ах), р)

— состояние равновесия

с темпом роста

с,

то в П^

существует наименьшее соб­

ственное множество

| этого

отображения.

При этом

I = U а'а"' (ж). (=i

Доказательство может быть проведено с помощью тех же рассуждений, что и доказательство теоремы 7.5.

Смотрите также файлы