Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А 1 1 1

О П Т И М А Л Ь Н ЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Начиная с этой главы, изучаются траектории движения экономической системы во времени. Траектория представ­ ляет собой элемент декартова произведения фазовых пространств системы для соответствующих моментов времени.

Определяется весьма общим способом множество допус­ тимых или технологически возможных траекторий движе­ ния экономики. В частности, вводится в рассмотрение мно­ жество допустимых траекторий, выходящих из заданного начального состояния. На этом множестве выделяются экстремальные (оптимальные) в том или ином смысле тра­ ектории.

Определяется также модель, двойственная к данной, и рассматриваются траектории в этой двойственной мо­ дели.

Главный результат настоящей главы состоит в доказа­ тельстве так называемых теорем о характеристике опти­ мальных траекторий. Эти теоремы дают необходимые и до­ статочные условия оптимальности траекторий в терминах соотношений с траекториями двойственной модели. Теоре­ мы о характеристике оптимальных траекторий имеют тот же смысл и то же значение в данной теории, что и теорема

Куна — Таккера

в

выпуклом

программировании

или

принцип максимума

в задачах оптимального управ­

ления.

 

 

 

В

частности,

интересно отметить, что в тех случаях,

когда задача нахождения

оптимальной траектории на мно­

жестве допустимых траекторий может быть сформулирована как задача выпуклого программирования, или соответ­ ственно оптимального управления, теорема о характери­ стике превращается в теорему Куна — Таккера, соответ­ ственно, в принцип максимума.

ОБЩАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

141

§ 8. О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь Э К О Н О М И Ч Е С К О Й Д И Н А М И К И

1.Введение. Модель Неймана — Гейла, рассмотренная

впредыдущей главе, описывает стационарную (не меняю­ щуюся во времени) экономику. Существенно более общую ситуацию (нестационарную экономику) описывает модель типа Неймана — Гейла, которая определяется последова­

тельностями

(Xt )£L0 , (#;)(=(),

(Zt)?=o, гДе

Xt совпадает

с

арифметическим

пространство*! i?n<

размерности nt,

Kt

=

Zt

— выпуклый,

замкнутый

конус,

лежащий

в

R+t X

и

такой,

что

(0, у) 65 Zt

при

у =f= О,

Pr 2 Zt

П i n t Kt+1 =h Ф-

 

 

 

 

 

 

Модель типа Неймана — Гейла, так же как и модель

Неймана — Гейла,

описывает

экономику,

функциони­

рующую в дискретном времени. Представляет интерес рас­ смотреть и непрерывные модели экономической динамики.

Изучение некоторых свойств траекторий указанных

выше моделей

можно

провести

с

единой точки

зрения.

С этой

целью

мы рассмотрим

общую технологическую

модель

экономической

динамики,

содержащую

модели,

о которых речь шла выше, как частные случаи. В §§ 8, 9 изучаются траектории общей модели; в § 10 полученные для общей модели результаты конкретизируются по отно­

шению к моделям

Неймана — Гейла,

типа Неймана —

Гейла

и непрерывной экономики.

 

 

 

2.

Определение

модели. Траектории.

Для того чтобы

задать общую технологическую

модель экономической ди­

намики ЗК, надо

указать.

 

 

 

 

а) Множество неотрицательных вещественных чисел Е,

которое обладает

 

лишь

следующими

двумя

свойствами:

1) 0 ЕЕ Е; 2) Е содержит

более одного

элемента. В даль­

нейшем будем называть элементы Е

индексами или мо­

ментами времени. Положим Е =

{(%, t) ЕЕ Е

X Е | т > t).

б)

Семейство

конечномерных

векторных

пространств

{Xt)tl=E.

 

 

 

(Kt)tSE\

 

 

Kt

 

в)

Семейство

конусов

здесь

— выпуклый

замкнутый выступающий телесный конус *) в простран­ стве Xt.

*) В дальнейшем может встретиться случай, когда простран­ ство Xf нульмерно, т. е. Xt = {0}. В этом случае Kt = {0}. Счи­ таем, что этот конус, по определению, телесен.

142

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И Й

 

[ Г Л . I I I

г) Семейство

отображений

(я^,

( ) е ^ .

Здесь

а%, i (( T i t) ЕЕ Е) — суперлинейное

отображение;

точнее

говоря, а Т )

t ЕЕ Л

(Kt, Кх)\

считаем,

что семейство

(я Т ; t )

удовлетворяет

следующему

условию

согласо­

вания: если

t, t\ t"

ЕЕ Е,

t <

t' <

t", то

 

 

 

fie, v о Я/', i —

(?

 

(8.1)

Отображения я х , t в дальнейшем будем называть производ­ ственными отображениями модели.

Итак, по определению,

ЗЯ = {Е, (Xt)leE,

(Kt)leE,

(ox, , ) ( , , 0 e g } .

В дальнейшем, если это не вызовет недоразумений, общую технологическую модель экономической динамики 351 мы будем называть технологической моделью; если из кон­ текста ясно, о каких пространствах и конусах идет речь, то будем писать

Приведем простейшую экономическую интерпретацию модели SR.

Элементы множества Е будем интерпретировать как моменты времени. Элементы конуса Кх можно рассма­ тривать как ресурсы экономики в момент т; элементы кону­

са я т , i (Kt) — как совокупность всех выпусков

«продук­

тов», которые могут быть произведены в момент

т при за­

тратах в момент t. Отображения ат , t служат для непо­

средственного

описания

функционирования

экономики;

точнее говоря,

вектор

у (у ЕЕ Кх)

является

элементом

множества ахЛ

(х) (х ЕЕ Kt) тогда

и только тогда, когда

при затратах х в момент t возможен выпуск у в момент т.

Условие согласования

(8.1) означает, что для любого

х ЕЕ Kt

 

at", i{x)=

U <(*) Я/», v (у)

[t,t',t"EEE,

*<*'<*")•

Иными

словами,

1)

если вектор z может быть

получен

в момент t" при затратах х в момент t, то в любой

момент

t' ЕЕ Е

(t < t' <i

t")

найдется вектор у, который

может

§ 8] ОБЩАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 143

быть получен при затратах х (за период времени от t до t') и из которого можно произвести z (за период времени от t' до t")\ 2) если затрачивая в момент t вектор х, мы произво­ дим в момент t' вектор у, а из у в свою очередь можно получить z (в момент t"), то z может быть непосредственно

произведен при затратах х за период времени от t

до t".

Основным объектом изучения в технологических

моде­

лях является

траектория. Траекторией технологической

модели Ш назовем

семейство

% =

(z*)teE такое, что

s) xlElKl

(t<=E),

 

 

 

б) жт е= а*, <

( ( t , « ) E £ ) .

 

 

 

Если % =

(xt)i^E

— траектория

модели ЭД; то элемент

Xi (t ЕЕ Е) назовем состоянием

траектории % (в момент t);

в частности, элемент х0 называется

начальным состоянием

этой траектории. Будем также говорить, что траектория % исходит из точки х, если ее начальное состояние совпа­ дает с х, траектория проходит через точку х в момент t,

если х совпадает

с состоянием этой траектории в момент t.

Заметим, что

траекторию % модели

можно рассма­

тривать, как элемент прямого произведения П Xt.

Совокупность всех траекторий технологической модели 9К назовем пучком траекторий этой модели и обозначим символом Pw. Следующая теорема показывает, что пучок траекторий Р ж непуст.

Т е о р е м а

 

8 . 1 . Пусть

у0 ЕЕ

К0

 

и

у'

ЕЕ

ас,о (Уо)

(t' ЕЕ

Е,

t' ^> 0). Тогда найдется траектория

% модели Ж,

исходящая из у0

и проходящая

в момент t' через

у'.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нам

будет удобно

присое­

динить к конусу Kt

какую-нибудь точку ut

из Xt,

в Kt

не

входящую. Положим Lt

=

Kt

\J {ut}

(t

ЕЕ

E)

И через L

обозначим

 

прямое

произведение

п

 

 

множеств

 

J-ц.

 

Выберем

теперь

в

L

подмножество

М,

состоящее

из

элементов

 

% =

 

(£<)«=£,

которые

обладают

следующим

свойством: найдется подмножество Ех

множества Е такое,

что

1)

0 ЕЕ

Ех,

 

t'

ЕЕ

Ех

 

2)

если

t,

х

ЕЕ

Ех,

т >

t,

то

 

ЕЕ

a T j t

(xt),

3)

х0

=

у0,

xv

=

у',

4) если t ЕЕ

Е \

 

Ех,

то

xt

=

ut.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество М непусто

(оно

содержит, например,

эле­

мент

х

=

(xt)tt=E,

где

х0

= у0,

хг

=

у',

xt

=

щ

(t

ЕЕ

Е,

t =j= 0, £')'» в этом случае Ех = {0, t'}.

144

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л . I I I

Введем в М отношение порядка

положив

Xi ^= Хз

(%i =

{X})I<=E

£Е

М,

Хз =

(4)«=д 6= М ) ,

тогда и

только

тогда,

когда

a)

EXl

ZD ЕУ!,

б)

х} = х* (t

ЕЕ EXl).

 

Покажем, что упорядоченное множество М индуктивно (т. е. каждая цепь в М ограничена сверху). Пусть (Ха)аеА —

цепь *)

в

М, %а

= (ж?) ( е В

(а ЕЕ .4). Определим элемент

X = ( Х 4 ) ( Е Е

множества L соотношениями:

 

x ^ s f ,

если

t(BEXa,

=

е с л и

' ^ в У д £ х « -

Так

как (Ха'аел — цепь,

то приведенное

определение

корректно. Непосредственно из этого определения вытека­

ет, что х ЕЕ М

(причем Ех =

(J

£ Х а ) .

При любом а ЕЕ -4

откуда и вытекает, что цепь

( X O W A

ограничена.

 

 

Из

леммы Цорна (см., например, Райков [1]) теперь сле­

дует, что множество М

имеет максимальные

элементы.

Для завершения доказательства осталось проверить,

что каждый

максимальный

элемент

х =

(xt)teE

множе­

ства М обладает тем свойством, что Ех

=

Е. Предполагая

противное, найдем точку В, принадлежащую Е

\ Ех, и по­

ложим

Fx

=

{t ЕЕ Ех

| t <

0},

F2

=

{т ЕЕ

Ех

| т >

0}.

Множество

Fx

непусто

(О ЕЕ

Fj).

Будем

считать,

что

F2

также непусто (в противном случае доказательство лишь облегчится). Символом F обозначим прямое произведение

F2

X Ег.

Для пары (т, t) ЕЕ

F

положим

 

 

 

 

 

Ъ-,,1 = а^0(хх)

П ao,t(xt).

 

Отметим

некоторые простые

свойства

множества £Х ) t .

 

1) bXj

t

непусто ((т, t) ЕЕ F).

В самом

деле,

поскольку

t <

0 <

т

и хх £Е ат , ( (xt)

=

а,, в о во,( (х<),

то найдет­

ся элемент у конуса К@ такой, что

 

 

 

 

 

У е яо,«(xt ),

 

хт ЕЕ я,, в (г/).

 

*)

Подмножество iV упорядоченного множества М

называется

цепью,

если любые два его элемента сравнимы (если х,

у g= N, то

либо х

^= у, либо х ^

у).

 

Смотрите также файлы