Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я

М О Д Е Л Ь

 

 

145

Из

написанных соотношений

следует,

что

у Е= bx

t,

т. е.

 

2) hx,t компактно ((т,

t)

ЕЕ F).

Действительно,

по­

скольку

отображение a0>t

суперлинейно,

то

множество

я0,< {xt)

компактно;

так

как,

кроме

того,

множество

ат~о (х%)

замкнуто, то bXjt

компактно.

 

 

 

 

 

'

3) Если (т, tj) ЕЕ F,\x,

t2)

ЕЕ F

и

tx >

tt,

то

Ьх,и CZ

CI

bXft2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, поскольку

t2

< tx

<

0, то

 

 

 

 

 

«о, h (ж;.) — о0 , (, о а,„ / a (ж,,),

 

 

 

 

и, следовательно, а0>и

(a;J =э a0 ,t, (ж*,),

откуда

и

следует

нуншое нам включение. Таким же образом

проверяется

свойство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Если

(тх ,

i) ЕЕ ^,

(т2 ,

i) ЕЕ ^

и тх >

та ,

то

ЬТ 1 ) ( Z)

3

bXtft.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из свойств 1), 3) и 4) следует, в частности, что семейст­

во

(^T,«)(t,oeF

центрировано*).

Действительно,

пусть

(тг ,

гг )

ЕЕ F ( i =

1, 2,...,

п).

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х — mia

t{,

t =

max

fi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

г

 

 

 

 

 

Очевидно, (т,

г) е

При

этом Ьт > < с

Ьх, ц

CZ Ьт., 4{i

=

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

=• 1, 2, . . .,

п), т. е. Ьт,(С: П Ьт=., t.- Поскольку bXtt

 

непу-

 

 

 

 

 

 

71

 

 

 

 

 

 

 

сто,

то и пересечение

Л

Ъх. t. непусто.

 

 

 

 

 

 

Р1з

компактности

множеств bXjt

и

центрированности

семейства

( Ь т < ) ( т , O S F

вытекает, что

П

Ъх

\ фф-

Пусть

г/в ЕЕ

П

 

г- Рассмотрим элемент

% — {St)t^E

множест-

ва ЛТ, определенный следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt,

 

 

tS3Ex,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г/в,

 

t

= 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и„

 

*ЕЕ£ \( Я Х U {б})-

 

 

 

 

*) Семейство множеств называется центрированным, если

каждое

его

конечное подсемейство имеет непустое пересечение.

Отметим, что пересечение центрированного семейства компактных множеств непусто.

146

 

 

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

 

 

 

[ГЛ . I I I

 

Элемент х б М ,

 

причем

Е^ — Ек

[} {6}. Кроме того,

X

 

%> X =h Х- Последнее, однако, невозможно,

так как

% — максимальный

 

элемент

множества

М.

Полученное

противоречие и доказывает теорему.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем некоторые

следствия из

теоремы 8 . 1 .

 

 

С л е д с т в и е

1. Из

каждой точки х конуса К0

исхо­

дит траектория

модели Ш.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

 

2. Если х ЕЕ atj0

(К0)

(t

ЕЕ Е),

то най­

дется траектория

% модели

3R, состояние

которой в мо­

мент t совпадает с х.

3. Пусть (tx,

t2)

ЕЕ Е

(t2

^> 0)

и эле­

 

С л е д с т в и е

 

 

менты хг,

х2 таковы, что х2

ЕЕ я*., о ( А 0 ) ,

хх

6= аи,и

(^г)-

Тогда существует

траектория

модели

5Ш,

проходящая

в момент tt

через точку xt

(i

= 1, 2).

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы показать справедливость этого следствия, рас­

смотрим технологические

модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)Г =

{ £ - , ( а т , , ) ( т ( ) е £ . _ }

и

^ +

=

{ E + , ( a : , (

) ( T , 0 e g + } '

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е-

=

Е

П [0, U),

Е

+

=

[Е

П [* , ос)) -

t2,

 

а Х} t

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

вт+/„(+/,

 

 

((t,t)eEE+).

 

В

силу

следствия

2

существует

траектория

%~ =

=

( а Г ( ) ( , = Е -

модели

ЭГ такая, что

xl2

=

ж2;

в

силу теоре­

мы найдется траектория

х + = {xt)t&s,+

 

модели 9К+, исходя­

щая из точки х2 и такая,

что

 

—

 

 

Нетрудно

про­

верить, что семейство % =

(z^^g,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

__

[хТ,

 

t<=ET,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xt~\xU>

 

 

* e * s

+

£ +

 

 

 

 

является траекторией технологической

модели

9К, при­

чем эта траектория проходит в момент tt

через

точку х{

(ъ =

1,2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Дискретные модели. В дальнейшем

часто

придется

рассматривать модели, у которых множество моментов вре­ мени дискретно. Множество Е, элементы которого являют­ ся неотрицательными числами (в частности, 0 ЕЕ Е), на­ зовем дискретным, если для каждого элемента из Е най­ дется непосредственно за ним следующий (в смысле по­ рядка, индуцированного из R1).

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

147

Технологическую модель

Ш = {Е, К , ( ) ( Т | ( ) е Е }

назовем дискретной, если множество Е дискретно. Ис­ пользуя условие согласования (8.1), нетрудно проверить, что в случае, когда модель ЗК дискретна, семейство отоб­ ражений (а Т ) t ) ( ) e g - полностью определяется семейством *)

(яг, t)i<=E, гДе t' =

m i n т. Если

— дискретная модель,

 

teE, t>i

 

 

 

то, как следует из сказанного выше, семейство % —

(xt)tSE

входит в пучок траекторий P$i

модели

тогда и только

тогда, когда

 

 

 

 

xaGzK0,

Ху ЕЕ ас, t (xt)

(*ЕЕ£).

 

Вернемся теперь к общему случаю. Пусть Е — произ­ вольное множество неотрицательных чисел (0 GE Е, 0 < < sup Е). Обозначим супремум Е через Т. Технологичес­ кую модель

 

П = {Е,

( « , , 4 , i ) e

E }

 

 

назовем моделью первого рода, если Т

ЕЕ Е, и моделью вто­

рого рода в

противном случае. Иными словами, модель

Щ — первого

рода,

если

множество индексов

этой моде­

ли имеет «последний элемент», SR — второго

рода,

если

этого «последнего элемента» нет.

 

 

 

Пусть

= {Е,

(а Т ) t ) ( x ( ) e g-} — технологическая

мо­

дель второго

рода

и е — дискретное

конфинальное

под­

множество множества Е (конфинальность е означает, по определению, что для любого числа t ЕЕ Е найдется число

t' ЕЕ е

такое, что t' >

t). Дискретную

модель

 

 

 

 

э)ге = {в, К , ( ) ( т , о е 7 >

 

 

назовем

дискретным

разряжением

модели $9}. Нетрудно

проверить

справедливость следующих

утверждений:

а) если

 

% = (xt)l£E

— траектория

модели

59?, то се­

мейство

Хе

=

(zt)t<=e является траекторией модели ЗК ;

 

 

 

 

 

 

е

*) Более

 

точно: если

(г, t) ЕЕ Е и

0 =

max

t (т = 0'), то

а-с,1=а0',0° • • • ° V ) ' , i'° ai', i-

148

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И Й

ГЛ .

I I I

б) если

%' — (xt ) г е е

— траектория модели Ше, то най­

дется траектория % =

(xt)ieE

модели

такая, что xt

=

-x't (t ЕЕ е).

4. Подмодели.

Рассмотрим

 

технологическую

модель

 

Я» =

{Е,

(Xt)leB,

(Kt)teE,

(flT l ()( т , 0 eg}.

 

Пусть

х ЕЕ

К0.

Через

Г;4

(t

ЕЕ Е, t

0)

обозначим

грань*).

Г (а < ) 0

(х))

конуса Kt,

порожденную

множеством

at; 0 (х). Положим также Го = Г ({а;}), .где Г ({ж}) — грань конуса К0, порожденная точкой х. Через Lf обозна­

чим аффинную оболочку ГГ — Г* конуса Yf (t ЕЕ Е). Напомним, что, в силу предложения 2.15,

Г* = Со « О , г » ,

Т? = Со (ИА,, о (х))

(8.2)

(здесь символ Со означает взятие конической оболочки, символ п — взятие нормальной оболочки; нормальная оболочка множества att 0 (х) понимается в смысле конуса Кt (или, что то же самое, в смысле конуса Г*; напомним, что в силу предложения 2.14 обе эти нормальные оболочки совпадают)).

Рассмотрим объект

ЗЯЯ

= {Е, (Lf)leE,

(Tf)leE,

« t ) ( x . i ) e S }

(8-3)

(где через

с£, ( обозначено

сужение

отображения

а Т ) t

на конус Г?) и покажем, что этот объект является техно­ логической моделью.

В самом деле, как следует непосредственно из опреде­ ления, конус Г? является выпуклым, замкнутым и высту­ пающим. Кроме того, в силу предложения 2.12 этот ко­ нус телесен (в пространстве Z,?).

Проверим теперь суперлинейность отображений

ux,i ((т, t) ЕЕ Е); точнее говоря, покажем, что a?j t ЕЕ А (Г*, Г?). В доказательстве нуждаются лишь следующие утвер­

ждения

1)< ( ( Г П с г Г *

2)< ( ( I ? ) n int Т*фф.

*)

Определение грани Г (£), порожденной множеством £, см.

в п.

11 § 2.

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

149

 

Начнем с утверждения 1). Пусть у ЕЕ Г? (определен­ ности ради, считаем, что t ^> 0). Привлекая формулу (8.2),

найдем число

X ^> 0,

при

котором

выполняется соотно­

шение Ху ЕЕ natl0

(х).

По свойствам нормальной

оболочки

найдем элемент и из множества

аио

(х)

такой,

что

и ^>

Ху. (Мы считаем, что пространство

Xt

упорядочено

конусом Kf)

Отображение

n a X ) i

суперлинейно

и,

кроме

того, 0 £Е naXjt

(х) при всех х ЕЕ

Kt-

Поэтому

 

(см. пред­

ложение 4.11) оно возрастает, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПЙ-, ; (и) ZD Мт, ( (Ху).

 

 

 

 

 

 

С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ПОСКОЛЬКУ U ЕЕ

й(,0

(ж), то

 

 

 

ат, t (и) cz От, / о а,, о (х)

=

«г, о

И

 

 

 

и, стало быть,

па-с,t(u)

ana?,

0(х).

Итак,

 

 

 

 

 

От, ( (Ху) CZ Пит, i (Ху) CZ

 

; (и)

CZ ПОх, 0

 

(х),

 

откуда, снова привлекая формулу (8.2), получим

 

 

 

 

t (у)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

я% ((J/) =

<= —

»ат , о (ж) с=

Г*.

 

 

 

Таким образом, утверждение 1) доказано.

 

 

 

Перейдем к утверждению 2). Мы покажем,

 

что имеет

место соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о.т, о (Го)

П int Г? ф ф

(х ЕЕ Е, х >

0).

(8.4)

Утверждение 2) легко следует из (8.4). В самом деле,

a* i (If)

=

аТ | ( ( I f ) =э ат> ( (а( )

0 (Гд)) = ат,0 (Го),

 

и потому, если (8.4) выполнено, то

a*ti

 

(Г?)

f]

i n t Г* ф ф

(в чем и заключается утверждение 2)).

 

 

 

 

 

Докажем формулу (8.4). Предполагая, что она неверна,

найдем собственную грань Г конуса Г?, содержащую

множество

аХ}0

(Го).

Поскольку

aXi0 (х)

CZ ах>0 ( О ,

то

«т,о (ж) С Г

и,

стало

быть, r f =

Г ( a T l 0

(х)) CZ Г,

что

невозможно. Таким образом, формула (8.4), а с ней и утверждение 2) доказаны.

Мы проверили, что а?,( CZ A ( I f , Г?). Кроме того, семейство (a?,()(x,t)e Ё удовлетворяет условию согласования.

Смотрите также файлы