Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

150

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[гл. n i

Итак,

объект 58}*, определенный формулой

(8.3),

П р е д л о ж е н и е 8 . 1 . Пусть

х, у ЕЕ К0.

Подмодели

и §W, порожденные точками х

и у соответственно,

совпадают тогда и только тогда, когда Т% =

Го-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

ffix =

ffl",

то

и

Го = T Q . Докажем обратное утверждение. Так как Гц

=

= Гц, то у ЕЕ Гц, и потому, как

следует из формулы

(8.2),

nat<0

возрастает, и потому natt0

(х)

ZD natt0

(Ку).

Из сказанного вытекает, что

Tf

=

Со (nai, о (х))

ZD Со (/га,, „ (\у))

=

Со (/га,,0

(у))

=

Г".

Поскольку х я у полностью

равноправны,

то

Г" I D Г; Т

и, стало быть, Tt =

Г". Полученное

равенство и доказы­

вает

предложение.

Если конус К 0 многогранен, то модель

С л е д с т в и е .

59J может иметь лишь конечное число различных

подмо­

делей.

Если х — внутренняя точка конуса К0,

то,

как

нет­

рудно

проверить, Шх

= 2D?.

В самом деле, как следует из предложения 4.7, в нашем

случае

и потому Г (atlQ

{х))

= Kt.

Кроме

того, T j =

К0.

Отметим еще, что

каждая траектория

подмодели

SR*

является траекторией модели SK; обратно, каждая

траек­

тория

модели

931, исходящая

из

точки,

лежащей

на

грани

Гц, является

траекторией модели СТО*.

5.

Оптимальные

траектории

в моделях

первого

рода.

Рассмотрим

модель

первого

рода:

=

{Е, ( Х , ) , е Е , (Kt)tes,

( a , , , ) ( T i ( ) c ? } .

Положим Т

— sup Е.

Напомним,

что, по

определению,

Т ЕЕ Е.

назовем слабо оп­

Траекторию

% =

(#*)*=£

модели

тимальной,

если найдется отличный от нуля

функционал

О Б Щ А Я

Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

151

/ из конуса К*т такой, что

f{xT)=

max

f{y).

(8.5)

Из любой точки х0

конуса К0 исходят слабо оптимальные

траектории (это

вытекает

из

компактности

множества

ле /). Если / (у) >

0 (г/ ЕЕ ат,о (^о))> т 0 такое положение дел

достаточно

естественно:

каждый элемент у

множества

ат,о ixo)

является в некотором смысле «экстремальным эле­

ментом»

этого

множества (например, %у QE ат,0

(хв) при

К ] > 1). Если

же / (у) =

О (у ЕЕ ат,о (^о))) т 0

и з

точки х0

могут выходить

оптимальные

траектории,

приходящие

в заведомо

«неэкстремальный

элемент» (в указанном вы­

ше смысле).!

(L*)*,

положительный на

конусе Г*, отличный от нуля и

такой,

что

f(xT)=

max

f(y)=

max f(y).

(8-6)

152

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л .

I l l

Указанную траекторию будем иногда

называть

опти­

мальной

в смысле /. Отметим, что оптимальные траектории

исходят из любой точки х конуса

К0.

Так как х является внутренней точкой конуса Гц, то

(предложение 4.7)

множество ат,0

(х) содержит внутрен­

ние точки конуса

Г 7-,

и потому для оптимальной в смысле

/ траектории % = [xt)i^E

выполняется

max

/ (у)

=

=f(xT)^>0

(здесь и в дальнейшем мы считаем, что ат,0 (х)Ф

ф {0} и,

стало быть,

Г т ф

{0}).

Имеет место

8.2. Каждая оптимальная траек­

П р е д л о ж е н и е

ат,о(х) П i n t

= 0 ) ,

используя

теорему отделимости,

найдем функционал / такой, что

шах

/ (у) = inf

/ (z) = 0.

дящих из точки

х. Нам понадобятся следующие

опреде­

ления.

Если

| — подмножество векторного пространства

X (&ф

ф, {0}),

то элемент х множества £ назовем

гранич­

этого множества,

если

Кх бг \ при % ^> 1

(соответствен­

но, при 0 <

X <

1).

Траектория

% = ( x t ) l e E

П р е д л о ж е н и е

8.3.

модели SR,

исходящая

из точки

х, оптимальна тогда и

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

153

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть траектория

% оп­

(предложение

2.5)

f(xT)

=

m a x

/(у) =

m a x

/(у)

(где

пат, о (x )

— нормальная

оболочка

множества

ат, о(х)

в смысле

конуса

Тт,

или,

что то же самое, конуса Кт)-

Покажем,

что

хт — граничный сверху

элемент множест­

ва пат, о (х)-

В

самом деле,

предполагая противное, най­

дем

число

Х^>1

такое,

что

%х? ЕЕ пат, о (х )-

Так как

/ (хт)

> 0, то

1(хт)=

m a x Д у ) > / ( Л л т )

= Л,/(жт )>0,

что

невозможно.

что хт — граничный

2)

Предположим

теперь,

сверху

элемент множества пат, о Iх)'

и покажем, что траектория %

оптимальна. В силу предложения 2.12 множество

ат,0(х)

Содержит

внутреннюю (в

пространстве

Ьт) точку

грани

Тт

=

Г (ат, о (х)).

Отсюда

вытекает

телесность множества

пат, о (я). Обозначим

это

множество через Q и введем в

пространстве Ьт норму

единичный шар S которой

имеет вид S =

Q — Q. (Эта норма изучалась в п. 12 § 2;

относительно

конуса

Тт

и,

кроме

того,

что

Q

равно

множеству

{у ЕЕ Гт||г/||п <

1}.)

Так как хт — граничный сверху элемент Q, то \\хт\\п =

= 1. Привлекая теперь предложение 2.11,

найдем функ­

ционал / ЕЕ (Тт)* такой, что

f(xT)

= \\xT\\n

= l,

1/1=

m a x f(y)

=

i.

Траектория

х оптимальна в смысле /.

Предложение доказано.

Иногда нам будет удобно использовать предложение

8.3 в следующем виде.

8.3'. Траектория

(xt)t*=E

П р е д л о ж е н и е

% =

модели ffi,

исходящая

из

точки

х,

оптимальна

тогда и

только тогда,

когда

\\'Хт 1кт,о№ =

1-