Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

154

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И Й

 

 

ЕГЛ.

III

Доказательство предложения 8.3' по существу совпа­

дает с доказательством предложения 8.3.

 

 

 

 

Оптимальность траектории % = (xt)t^E

была определе­

на в терминах ее конечного состояния хт.

Полезно описать

оптимальность в терминах начального состояния

х0.

Справедливо

 

 

 

 

 

Траектория

% = (xt)i<=E

П р е д л о ж е н и е

8.4.

модели Ш, исходящая

из

точки

х, оптимальна

тогда

и

только

тогда,

когда

х

является

граничной

снизу

точкой

множества (пат,0)~г

(хт)-

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть траектория % оптималь­

на. Если х0ае

является граничной снизу точкой множества

(ггаг,0 )- 1

(хт), найдется КЕЕ(0,

1) такое, что Хж0 е(пат,0 )_ 1 (ят).

В этом

случае

уЯт£Епат1 0 (:Е0 ), что невозможно, так как

(предложение

8.3)

хт — граничный сверху

элемент мно­

жества^ пат,о (хо)-

( М ы

использовали здесь

полояштель-

ную однородность отображения пат,о-) Подобными аргу­ ментами доказывается и обратное утверждение.

Предложение доказано.

Приведем экономическую интерпретацию этого пред­ ложения, предполагая, что отображение ат,0 нормально. В этом случае множество (пат,о)~г (хт) = (ат,о)- 1 (хт) интерпретируется как совокупность всех затрат, при ко­ торых возможен выпуск хт. Предложение утверждает, что оптимальность траектории % равносильна следующему:

при затратах Хх0

(X <С 1) выпуск хт невозможен.

 

 

Из предложения 8.4 следует

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

8.2 ( п р и н ц и п

о п т и м а л ь н о ­

с т и ) .

Если % =

{xt)ie.E —

оптимальная

траектория мо­

дели Ж =

[Е,

(at ) ( )(T ,()e s},

то

при любом 0 £Е Е,

8 ^> О

семейство %о = (#*)(<=Е,/<О является оптимальной

траекто­

рией

модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шй

=

{Е П [0, 0], (ат ,,),, /евп». о* x>j}.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

%

оптимальна, то

х0 — граничная

снизу точка

множества

(пат^У1

(хт).

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(па0, о) - 1

(io) с

(па0, о)- 1 ° {пат, оГ1 (хт)

= (пат, оГ1

(хт),

то х0

является

граничной снизу точкой и множества

(пае,о)- 1 (^е),

откуда следует справедливость теоремы.

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

155

Опишем еще одно свойство оптимальных траекторий,

вытекающее из предложения 8.4.

 

П р е д л о ж е н и е 8.5. Если траектория % =

( ж * ) ( е Е

модели Ж оптимальна, то найдется ненулевой функционал f из конуса К0 такой, что

 

 

 

 

/ ( * ) =

min

f(y).

(8.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем считать,

что прост­

ранство Х0

упорядочено с помощью конуса К0.

Множест­

во (пат,о)-1

(хт) выпукло и замкнуто. Так как О ЕЕ пат,0

(х)

при всех х ЕЕ К0,

то (см. предложение 4.11) отображение

na-rl0 возрастает,

и потому (предложение 4.8)

множество

(пат,о)'

1

(хт)

является

7(Г-устойчивым. Отсюда следует,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

в частности,

что

это

множество

телесно. Поскольку

х0

является граничной снизу (н, следовательно, граничной) точкой множества (/гаг > 0 )_ 1 (хт), то найдется функционал f<E=XQ такой, что / =j= О и

f(x0)

=

min

f(y).

Поскольку

 

 

 

х0 +

К0

а (пат, о ) - 1

(хт),

то / ограничен снизу на конусе К0 и потому положителен. Предложение доказано.

З а м е ч а н и е . Попутно мы показали, что каждый линейный функционал /, удовлетворяющий условию (8.7), принадлежит ко­ нусу к*0.

Предложение 8.5 означает, что для каждой оптимальной

траектории % =

(xt)t^E

найдутся

такие цены в начальный

момент, что вектор х0

является наивыгоднейшим по этим

ценам вектором затрат, из которых в момент Т

получается

данный выпуск хт-

 

 

 

 

 

 

 

Следующий ниже пример показывает, что предложение

8.5 не допускает обращения.

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Рассмотрим модель

 

 

 

5№ =

{{0,

1}, № ) ( = о

л

,

(K,)l=0iV

a 1 0 },

 

где Х0 = ХГ = R2,

К0

=

КГ — Л 2

;

отображение a l l 0

определено на

156

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ. I I I

.ff2h

формулой (рис. 17):

 

 

 

«1, о (*) = {У е R\ | !/2

< Л У1 + У2 <*Г

+ *2}-

Более общее отображение рассматривалось в примере 3 п. 8 § 4. Там было показано, что это отображение двойственно к некоторому

Рис. 17. Рис. 18.

суперлпнейному и, стало быть, суперлинейно и нормально. Очевидно, для у £= R* (рис. 18)

аГ,Хо М

= ix е

R l \ х* >

»*•

х Х +

х" >уг

+ у*)-

 

Рассмотрим

теперь

траекторию

% =

( я , ) ( _ 0

х модели

ffl, где

х0 = (0, 1), zj =

(1/3, 1/3). Точка

хх

является

внутренней

точкой

множества а ъ 0 {х0)

(рис. 19), и потому траектория % не оптимальна

Рис. 19. Рис. 20.

(и даже не слабо оптимальна). В то же время функционал /, для ко­ торого выполнено (8.7), существует. Таким функционалом является,

например, / =

(1, 0) (см. рис. 20, на котором гиперплоскость,

опре­

деляемая этим функционалом и проходящая через точку х0,

совпа­

дает с осью О

хг).

 

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

157

6. Правильные модели. С экономической точки зрения наибольший интерес представляют технологические модели

 

Ж =

{Е,

( X , ) l e E l

(Kt)

 

такие,

что

Xt

(t ЕЕ Е)

— арифметическое пространство,

Kt (t ЕЕ

Е) — конус векторов пространства Xt

с неотри­

цательными компонентами.

 

Модели, обладающие указанным свойством,

будем на­

зывать правильными. Следующее предложение показыва­ ет, что в правильной модели первого рода оптимальность траектории можно сформулировать в терминах функцио­

налов из конуса (К?)*

(а не конуса (Г'т)*).

 

 

 

П р е д ло ж е н и е

8.6. Пусть SR =

{Е,

( a T | ) ) t ( ( _g}

—

правильная модель первого рода и точка х

из

конуса

К0

такова, что ат,0 (х)

=j= {0}

(здесь Т =

sup Е).

Для того

чтобы траектория

% =

(xt)t^E

модели

была оптималь­

на, необходимо и достаточно, чтобы нашелся функционал / из конуса Кт такой, что

 

f(xr)=

max

/ ( i / ) > 0 .

 

(8.8)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Необходимость.

Так как

траектория % оптимальна,

то

найдется

функционал

/,

положительный на конусе Тт и такой, что

 

 

 

 

/ > т ) =

max

f ( y ) > 0 .

 

 

 

 

Как следует из определения правильной модели, конус

Г т

является гранью конуса Я" . Определим на Rn

функцио­

нал /, положив для х ЕЕ

Пп

 

 

 

 

 

где

х — проекция

элемента

х

на подпространство Ьт

=

=

Гт — Гу. Функционал

/ положителен

и

 

 

 

f(xT)

=

max

f(y)>0.

 

 

 

2) Достаточность. Пусть функционал / удовлетворяет условию (8.8). Сужение f этого функционала на простран­ ство Ьт отлично от нуля (ибо / (хт) ^> 0). Ясно, что траек­ тория % оптимальна в смысле f.

Предложение доказано.

158

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ. Ш

7. Оптимальные траектории в моделях второго рода. Перейдем к изучению траекторий в моделях второго рода. Прежде всего введем одно важное в дальнейшем опреде­ ление.

Пусть

Ш = {Е, К , , ) ( т , 0 е £ }

— технологическая модель. Пусть, далее, Т ЕЕ Е, Т ^> 0. Положим Ет = Е f] [0, Т] и рассмотрим модель

Ыт={Ет, К 0 ( т , О е Е т } -

Траектории модели ЗКт мы будем называть Т-тпраектпо- риями модели 9К. Таким образом, /-траекторией модели

называется семейство хг = (#;)(<=Ет такое, что

х, ЕЕ К„ хт ЕЕ ат ,, (х,) ((т, t) ЕЕ 2?, t < Г).

Естественным образом определяются оптимальные (слабо

оптимальные)

/-траектории.

 

 

Если х =

(^f)feE

есть

траектория модели

Ж, то

/-траекторию

хт =

(zt)i<=ET

этой модели будем

называть

Т-куском (или просто куском) траектории х-

Заметим, что в новых терминах принцип оптимальности для моделей первого рода (теорема 8.2) может быть сфор­ мулирован так: если траектория % оптимальна, то и %-куски этой траектории (т ЕЕ Е, т ^> 0) оптимальны.

Будем считать теперь, что модель ЗК — второго рода. Благодаря принципу оптимальности естественно дать следующее определение.

Траекторию х модели 50J назовем оптимальной (эф­ фективной по другой терминологии), если при любом / ЕЕ

ЕЕ Е, Т ф 0 ее

/-кусок оптимален как траектория моде­

ли 5Кт-

 

При исследовании оптимальных траекторий в модели

первого рода мы

использовали множество (пат,0)~г (ху).

Введем в рассмотрение аналог этого множества. Если % =

— (xt)ts=E — траектория модели 5SR, то

положим

( n a ) - 1 ( x ) = ' U

(паи о Г 1

^ ) -

(ев, оо

 

 

Заметим, что множество ( п а ) - 1 (х) не совпадает со всем конусом К0 (ибо 0 §Ё ( п а ) - 1 (х))- Это множество, вообще го-

Смотрите также файлы